考向29 数列求和（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

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1．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】
因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【点睛】
本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
2．（2011·全国高考真题（理））等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由an＝化简bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】
（1）设数列{an}的公比为q,
由＝9a2a6得＝9,
所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
（2）bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.
故.
所以数列的前n项和为
1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；
(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.
2.解答数列应用题的步骤
(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.
(3)求解——求出该问题的数学解.
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
【知识拓展】
数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.

1．（2021·南昌市豫章中学高三开学考试（理））已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2，记数列的前n项和为Tn，n∈N*.则使得T20的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国高三专题练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，S7＝35，将a3，a7，a11，a15中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项，则数列{anbn}的前10项的和T10＝（ ）
A．10212B．9212C．11212D．12212
3．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知数列满足，，则数列的前项的和等于_______．
4．（2022·全国高三专题练习）已知表示不超过的最大整数，例如：，在数列中，，记为数列的前项和，则 ___________.
1．（2021·全国高三（文））已知数列满足()，且中任何一项都不为，设数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
2．（2021·全国高三专题练习（文））我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设，，设数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国高三专题练习）设数列{an}满足，若，且数列{bn}的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·江苏南京师大附中）已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．1010D．1011
5．（2021·浙江高三开学考试）设是定义在上的奇函数，满足，数列满足，且.则（ ）
A．0B．C．21D．22
6．（2022·全国高三专题练习（文））已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项，设，则数列的前2020项和为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·全国高三）已知数列满足，，，则下列表达式的值为____________．
8．（2022·全国高三专题练习）已知数列满足，，数列的前项和，.若，则的最小值为_______________.
9．（2021·云南昆明市·高三（文））已知等差数列的前项和为，，．
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和．
10．（2021·吉林长春市·高三（理））设数列的前项和为，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
11．（2021·乐清市知临中学高三月考）已知数列和满足，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的正整数的值.
12．（2021·全国）已知数列为等差数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和.
1．（2012·四川高考真题（理））设函数，是公差为的等差数列，，则
A．B．C．D．
2．（2012·上海高考真题（理））设，. 在中，正数的个数是（ ）
A．25.B．50.C．75.D．100.
3．（2011·安徽高考真题（文））若数列的通项公式是，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2015·江苏高考真题）数列满足，且（），则数列的前10项和为_______．
5．（2012·福建高考真题（理））数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________
6．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.
7．（2015·天津高考真题（理））已知数列满足，且成等差数列.
（Ⅰ）求的值和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
8．（2012·江西高考真题（理））已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.
（1）确定常数k，求an；
（2）求数列的前n项和Tn．
9．（2014·浙江高考真题（理））已知数列和满足.若为等比数列，且
（1）求与；
（2）设．记数列的前项和为.
（i）求；
（ii）求正整数，使得对任意，均有．
10．（2013·安徽高考真题（文））设数列满足，,且对任意，函数满足
(Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
1．【答案】C
【分析】
根据联系到通项与前n项和公式的关系 ，求出
，根据式子特点，求前n项和用裂项相消法，即可求出T20。
【详解】
由可得，当时， ； 当 时，，
作差可得 ，即 ，
而 ，符合，那么.
，
，
所以 .
故选：C
2．【答案】A
【分析】
先设等差数列的公差，根据公式求和，判断是等比数列{bn}的前三项，再求得公比和，代入计算，最后利用错位相减法求即可.
【详解】
设等差数列{an}的公差为，则，解得.
故，即，
由题意知，是等比数列{bn}的前三项，即，公比，故.
故，，
，两式作差得，，所以.
故选：A.
3．【答案】
【分析】
推导出数列是每项均为的常数列，数列是首项为，公差为的等差数列，然后利用分组求和法可求得数列的前项的和.
【详解】
，，
所以，当时，有；
当时，有，
所以，数列是每项均为的常数列，
数列是首项为，公差为的等差数列，
设数列的前项和为，
则，
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
4．【答案】4956
【分析】
首先分别计算当，时，， 时的数值，再求即可.
【详解】
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
.
故答案为：
1． 【答案】D
【分析】
由得，从而，再由即可求出.
【详解】
因为，所以，
所以，即，
所以，
，
所以，
所以.
故选：D.
2． 【答案】B
【分析】
求得，利用等比数列的求和公式可求得，利用分组求和法可求得，由已知条件可得出关于的不等式，即可得解.
【详解】
，则，故数列是公比为的等比数列，
则，
所以，，
由可得，
，所以，即.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
3． 【答案】D
【分析】
由已知可求得，再利用裂项相消法可求得.
【详解】
由可得，
，，
则可得数列为常数列0，即，，
，
.
故选：D.
4．【答案】B
【分析】
用错位相减法求得复数后可得虚部．
【详解】
因为，
所以，
相减得，
所以，虚部为．
故选：B．
5．【答案】A
【分析】
根据题意变形可得，根据累加法求出，是定义在上的奇函数，满足，所以，所以周期，
所以即可得解.
【详解】
由
可得，
通过累加法可得：
所以 ，所以20，
是定义在上的奇函数，满足，
所以，
所以周期，
由是定义在上的奇函数，所以，
，
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用累加法求数列通项，考查了裂项相消法，同时考查了利用函数对称性求周期，有一定的计算量，属于中档题.
本题的关键点有：
（1）累加法求通项；
（2）裂项相消法求和；
（3）函数利用对称性求周期.
6． 【答案】D
【分析】
利用等比中项求出通项，再利用裂项相消法得解
【详解】
等差数列中，，公差大于0,设公差为，
因为是与的等比中项
；
解得或（舍去）

设数列的前2020项和为
故选：D
【点睛】
正确运用裂项相消法求和是解题关键. 用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几.
7．【答案】
【分析】
依次求得，由此求得所求表达式的值.
【详解】
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
8．【答案】1
【分析】
由题意，可得，转化为，可得，结合的范围即得解.
【详解】
由，可得，由，可得，故.
因为，所以，
所以.
由题意可知，则，故为递增数列.
因为，所以，故，所以的最小值为1.
【点睛】
本题考查了数列的递推公式以及裂项求和法，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于中档题
9．【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）由已知可得，解方程组求出，从而可求出及；
（2）由（1）可得，然后利用分组求和与裂项相消法求
【详解】
解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，整理得，解得，
∴，．
（2），
∴
．
10．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）推导出，利用等差数列的定义可证得结论成立；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】
（1），，则，所以，
有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，故，，①
①，得，②
①②得，，
所以.
11．【答案】（1），；（2）或.
【分析】
（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得的通项公式，即可得出的通项公式，利用裂项求和法可求得的通项公式；
（2）利用错位相减法结合分组求和法可求得，根据已知条件可得出关于的二次不等式，结合可得出的取值.
【详解】
（1）对任意的，，则，且，
所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，
故，，
因为，
所以，
；
（2）设数列的前项和为，
则，
所以，，
上式下式，得，
所以，，
，
则，
由可得，
整理可得，解得，
因为，故或.
12．【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用等差数列基本量的关系即可求解的通项公式；
（2）利用分组求和､等比数列求和､裂项相消法求和即可求解.
【详解】
（1）由得.
设数列的公差为，
则，∴，
故.
（2）由（1）得，
∴
.
1．【答案】D
【详解】
∵数列{an}是公差为的等差数列，且
∴
∴ 即
得
∴
[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.
2．【答案】D
【详解】
由于f（n）=sin的周期T=50
由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0
且sin，sin…但是f（n）=单调递减
a26…a50都为负数，但是|a25|＜a1，|a26|＜a2，…，|a49|＜a24
∴ S1，S2，…，S25中都为正，而s26，s27，…，s50都为正
同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，
故选D
3．【答案】A
【分析】
根据通项公式求出前十项，由此求得前十项的和.
【详解】
由于，故.故选A.
【点睛】
本小题主要考查数列求和，考查运算求解能力，属于基础题.
4．【答案】
【解析】
试题分析：：∵数列满足，且（），
∴当n≥2时，．
当n=1时，上式也成立，∴．∴．
∴数列的前n项的和
∴数列的前10项的和为
考点：数列求通项公式求和
5．【答案】3018
【解析】
【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和，考查数列求和能力.此类问题关键是并项求和
6．【答案】5
【分析】
（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.
【详解】
（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；
故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，
设，
则，
两式作差得：
，
因此，.
故答案为：；.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
7．【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ）.
【详解】
（Ⅰ） 由已知，有，即，
所以，又因为，故，由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，设数列的前项和为，则
，
两式相减得
，
整理得
所以数列的前项和为.
考点：等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.
8．【答案】（1）
（2）Tn
【详解】
试题分析：（1）当时，取最大值，即，故，从而，又，所以
（1） 因为，
所以
考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和．
点评：典型题，本题首先由的关系，确定数列的通项公式是关键．不求和过程中应用了“错位相减法”．在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到．
9．【答案】（1），；（2）（i）；（ii）．
【解析】
试题分析：（1）求与得通项公式，由已知得，再由已知得，，又因为数列为等比数列，即可写出数列的通项公式为，由数列的通项公式及，可得数列的通项公式为，；（2）（i）求数列的前项和，首先求数列的通项公式，由，将，代入整理得，利用等比数列求和公式，即可得数列的前项和；（ii）求正整数，使得对任意，均有，即求数列的最大项，即求数列得正数项，由数列的通项公式，可判断出，当时，，从而可得对任意恒有，即．
（1）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；
（2）（i）由（1）知，，所以；
（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．
点评：本题主要考查等差数列与等比的列得概念，通项公式，求和公式，不等式性质等基础知识，同时考查运算求解能力．
10．【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）
【解析】
由
所以，
是等差数列.
而
（2）
第（1）题，通过求导以及，能够判断出是等差数列是等差数列，由第（1）题的结论能够写出的通项公式，根据的特征，选择求和的方法，利用分组求和的方法即可求出.
【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.