考向03 不等式性质与一元二次不等式（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题学案（新高考地区专用）

这是一份考向03 不等式性质与一元二次不等式（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题学案（新高考地区专用），共17页。学案主要包含了知识拓展，名师点睛，易错点睛，方法点睛等内容，欢迎下载使用。

（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版）设，，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
一、不等式的基本性质
1、不等式的基本性质
（1）不等式的基本性质1
如果，那么，此性质称为不等式的传递性
（2）不等式的基本性质2
如果，那么，此性质称为不等式的加法性质
（3）不等式的基本性质3
如果，那么，如果，那么.此性质称为不等式的乘法性质
2、其他性质
（4）（同向相加性）；
（5）（同向相乘性，特别注意符号限制，需满足正号）；
（6）（可乘方性，特别注意符号限制，需满足正号）；
（7）（可开方性，特别注意符号限制，需满足正号）。
（8） （可倒性，特别注意符号性质，需满足正号）
3．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
4．三个“二次”间的关系
5.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
【知识拓展】
不等式的证明方法：
1. 比较法
（1）求差比较法要证，只需证；要证，只需证．其步骤是：作差变形判断（与零比较）．
（2）求商比较法要证，而，只需证；要证，而，只需证．其步骤是：作商（除式分母大于零）变形判断（与1比较）
2. 综合法
利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种由因导果的证明方法叫做综合法．
3. 分析法
肯定待证的不等式成立，逆推到与已知条件或基本不等式相符合，这一系列的不等式中后者总是前者的充分条件．这种由果索因的证明方法叫做分析法，又称逆证法．
4．一元二次不等式
(1)解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形．
(2)不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（ ）
A．ac+bd>ad+bcB．ac+bdC．ac>bdD．ac2．（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）如果那么下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，使不等式成立的的取值范围为__________.
4．（2021·河北石家庄市·高三二模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为__________．
1．（2021·安徽马鞍山市·高三二模（理））已知，，下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．恒成立D．，使得
2．（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·北京八十中高三其他模拟）已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·江苏南京市·高三一模）若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·江苏盐城市·盐城中学高三其他模拟）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，且，则D．若，则
8．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版））能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.
9．（2021·浙江高三二模）已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________．
10．（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））定义在R上的奇函数满足，当时，，则当时，不等式的解为___________.
11．（2021·新疆乌鲁木齐市·高三二模（文））不等式的解集是___________.
12．（2020年江苏省高考数学试卷）设，解不等式．
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5zB．5z<2x<3y
C．3y<5z<2xD．3y<2x<5z
2．（广西玉林市陆川中学2018届高三期中考试数学（理）试题）若，，则
A．B．C．D．
3．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷参考版））已知，且，则
A．
B．
C．
D．
4．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版））设，，则“”是“”的
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷精编版））已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，则
A．
B．
C．
D．
6．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷精编版））已知实数a，b，c.
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100
B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100
D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
1．【答案】A
【分析】
利用作差法可判断A、B，利用特值法可判断C、D.
【详解】
解：对于A、B：
a>b，c>d，
ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0，故A正确，B错误；
对于C：当b=0，c<0时，ac<0，bd=0，故C错误；
对于D：当a>b>0，c>d>0时，ac>bd，故D错误；
故选：A.
2．【答案】D
【分析】
根据不等式的性质判断，错误的可举反例．
【详解】
因为，不等式两边同时减去得，D正确，
若，则AB错误，若，C错误．
故选：D．
3．【答案】
【分析】
通过因式分解，解不等式．
【详解】
，
即，
即，
故的取值范围是．
【点睛】
解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
4．【答案】
【分析】
根据特称命题为真命题，结合判别式可得结果.
【详解】
由题意可知，不等式有解，
∴ ，
∴实数的取值范围为，
故答案为：
1．【答案】D
【分析】
A选项可以构造幂型函数来判断；B、D选项借用求导的手段求出函数单调性来判断大小关系；C选项利用基本不等式可判断出大小关系.
【详解】
解：对于A：，所以，
因为，所以，所以，故A正确；
对于B：设，则，所以上单调递增，
因为，所以，所以，所以，故B正确；
对于C：已知，，
所以，当且仅当时，等号成立，
当时，成立，故C正确；
对于D：令，则，
因为，所以单调递增，则不存在，故D错误.
故选：D.
【点睛】
实数间的大小比较，常见解题思路如下
(1)构造幂型函数、指数型函数、对数型函数，三角函数等、利用函数性质，结合函数图象进行实数间的大小比较；
(2)利用基本不等式、不等式性质进行实数间的大小比较；
(3)利用导数判断函数单调性进行实数间的大小比较；
(4)利用函数单调性、对称性、奇偶性、周期性进行实数间的大小比较.
2．【分析】由给定条件分析出a>0，b<0及a与b间的关系，针对各选项逐一讨论即可得解.
【详解】
因，，则a>0，b<0，，A不正确；，则，B不正确；
又，即，则，，C正确；由得，D不正确.
故选：C
3．【答案】D
【分析】
当时，A,B,C均不成立，即可得到答案；
【详解】
对A，当时，不等式无意义，故A错误；
对B，当时，，故B错误；
对C，当时，，故C错误；
对D，当时，成立，故D正确；
故选：D.
4．【答案】ABD
【分析】
根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】
对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
5．【答案】AC
【分析】
根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.
【详解】
对于A选项, 由于,故,所以, 即,故A选项正确;
对于B选项, 由于,故, ,故,故B选项错误;
对于C选项, 因为,故,所以,所以,故C选项正确;
对于D选项,令,则,所以不成立,故D选项错误;
故选:AC
【点睛】
本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断.
6．【答案】AC
【分析】
对四个选项一一验证：
对于A：利用为增函数直接证明；
对于B：取特殊值判断；
对于C：若时，利用同向不等式相乘判断；若时，有，直接判断；若时，利用不等式的乘法性质进行判断
对于D：取特殊值判断；
【详解】
对于A：因为两个不为零的实数，满足，所以，而为增函数，所以，即；故A正确；
对于B：可以取，则有，所以；故B不正确；
对于C：若时，则有根据同向不等式相乘得：，即成立；
若时，有，故成立；
若时，则有，，因为，所以，即成立；
故C正确；
对于D：可以取，则有，所以；故D不正确；
故选：AC
【点睛】
（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；
（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.
7．【答案】BC
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可求解.
【详解】
选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B: ，
，所以本命题是真命题；
选项C: ，
，所以本命题是真命题；
选项D: 若时，显然不成立，所以本命题是假命题；
故选：BC．
8．【答案】
【解析】
试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.
【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．
9．【答案】
【分析】
考虑两个函数，，由此确定，时，，有相同的零点，得出的关系，检验此时也满足题意，然后计算出（用表示），然后由基本不等式得最小值．
【详解】
设，，
图象是开口向上的抛物线，因此由时，恒成立得，
时，，时，，时，，
因此时，，时，，，
所以①，②，
由①得，代入②得，因为，此式显然成立．
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数和，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数的关系，从而可求得的最小值．
10．【答案】
【分析】
根据奇函数的性质及条件求得函数周期，从而求得时对应的函数解析式，然后解一元二次不等式即可.
【详解】
，函数周期为2；
当时，，
则当时，，
由知，
当时，，
故时，
则不等式即，解得，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：难点在于求得函数在对应的函数解析式，从而解一元二次不等式.
11．【答案】
【分析】
由指数函数的单调性可得，求解即可.
【详解】
，，即，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：.
12．【答案】
【分析】
根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
【详解】
或或
或或
所以解集为：
【点睛】
本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
1．【解析】
令，则，，
∴，则，
，则，故选D.
点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.
2．【答案】C
【详解】
试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误，
因为选项C正确，故选C．
【考点】
指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】
比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
3．【答案】C
【详解】
试题分析：A：由，得，即，A不正确；
B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；
C：由，，得，故，C正确；
D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.
【考点】函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
4．【答案】C
【详解】
试题分析：,所以充分性不成立；，必要性成立，故选C.
【考点】充要条件的判断
【名师点睛】充要条件的三种判断方法：
1.定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假，并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
2.等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
5．【答案】D
【详解】
试题分析：，
当时，，，
当时，，
观察各选项可知选D.
【考点】对数函数的性质.
【易错点睛】在解不等式时，一定要注意对分为和两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．
6．【答案】D
【详解】
试题分析：采用排除法：A.令可排除此选项，
B.令可排除此选项，
C.令可排除此选项，故选D．
【考点】不等式的性质．
【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．
(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
(3)解一元二次不等式的步骤：
第一步，将二次项系数化为正数；
第二步，解相应的一元二次方程；
第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
(4)对含参的不等式，应对参数进行分类讨论

判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(x≠－\f(b,2a))))
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
不等式
解集
aa＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a{x|b