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    考向24 平面向量的基本定理及坐标表示(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)

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    这是一份考向24 平面向量的基本定理及坐标表示(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用),共20页。试卷主要包含了平面向量共线的坐标表示,向量的夹角等内容,欢迎下载使用。

    1.(2021·全国高考真题(理))已知向量,若,则__________.
    【答案】
    【分析】
    根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程,即可解出.
    【详解】
    因为,所以由可得,
    ,解得.
    故答案为:.
    【点睛】
    本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示,设,
    ,注意与平面向量平行的坐标表示区分.
    2.(2019·江苏高考真题)如图,在中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点.若,则的值是_____.
    【答案】.
    【分析】
    由题意将原问题转化为基底的数量积,然后利用几何性质可得比值.
    【详解】
    如图,过点D作DF//CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.

    得即故.
    【点睛】
    本题考查在三角形中平面向量的数量积运算,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法,利用数形结合和方程思想解题.
    1.应用平面向量基本定理的关键点
    (1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.
    (2)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.
    (3)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.
    2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路
    (1)先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合,再进行向量的运算.
    (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要熟练运用线段中点的向量表达式.
    3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.
    4.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.
    .
    1.平面向量基本定理
    如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
    2.向量坐标的求法
    (1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
    (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).
    3.向量加法、减法、数乘向量及向量的模
    设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x2+x1,y2+y1),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),
    |a|=,|a+b|=.
    4.平面向量共线的坐标表示
    设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
    5.向量的夹角
    已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.

    【知识拓展】
    向量共线(平行)的坐标表示
    1.利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量共线的向量时,可设所求向量为 (),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入即可得到所求的向量.
    2.利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,则利用“若,,则的充要条件是”解题比较方便.
    3.三点共线问题.A,B,C三点共线等价于与共线.
    4.利用向量共线的坐标运算求三角函数值:利用向量共线的坐标运算转化为三角方程,再利用三角恒等变换求解.
    1.(2021·天水市第一中学高一期末)如图,平行四边形ABCD中,E是AD的中点,F在线段BE上,且,记,,则( )
    A.B.C.D.
    2.(2021·广东高三其他模拟)在四边形中,,单位向量与平行,是的中点,,若在、、、中选两个作为基本向量,来表示向量,则___________.
    3.(2021·全国高三其他模拟(文))已知向量,,,,___________.
    4.(2021·全国高三其他模拟(理))若向量,,则___________.

    1.(2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟(理))在平行四边形中,,,,为的中点,则( )
    A.9B.12C.18D.22
    2.(2021·全国高三其他模拟(文))已知向量,,,,则的值为( )
    A.B.C.2D.10
    3.(2021·福建三明一中高三其他模拟)已知向量,,且与共线,则x=( )
    A.B.C.D.
    4.(2021·北京高一其他模拟)已知向量,向量,若,则( )
    A.B.5C.D.
    5.(2021·云南省文山壮族苗族自治州第一中学高一期末)在中,,D是上的点,若,则实数x的值为( )
    A.B.C.D.
    6.(2021·全国高三其他模拟(文))在中,点是边上的点,满足,,,则的最大值为( )
    A.B.C.D.
    7.(2021·全国)(多选题)已知向量,则下列结论正确的是( )
    A.,使得
    B.,使得
    C.小于
    D.
    8.(2021·河北唐山一中高三其他模拟)(多选题)设是已知的平面向量且,向量,和在同一平面内且两两不共线,关于向量的分解,下列说法正确的是( )
    A.给定向量,总存在向量,使;
    B.给定向量和,总存在实数和,使;
    C.给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
    D.给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使.
    9.(2021·全国高三其他模拟(文))已知向量+=(0,5),2﹣=(3,1),则的值为___________.
    10.(2021·全国高三其他模拟(理))在平行四边形中,点为边的中点,,则________.
    11.(2021·宁夏高三其他模拟(理))已知(1,1),(0,1),(1,0),为线段上一点,且,若,则实数的取值范围是___________.
    12.(2021·辽宁高三其他模拟)在边长为2的正三角形中,D是的中点,,交于F.①若,则___________;②___________.

    1.(2013·陕西高考真题(文))已知向量,,若,则实数等于( )
    A.B.C.或D.0
    2.(2012·广东高考真题(文))若向量=(1,2),=(3,4),则=
    A.(4,6)B.(-4,-6)C.(-2,-2)D.(2,2)
    3.(2015·四川高考真题(理))设四边形ABCD为平行四边形,,.若点M,N满足,则( )
    A.20B.15C.9D.6
    4.(2013·广东高考真题(文))设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:
    ①给定向量,总存在向量,使;
    ②给定向量和,总存在实数和,使;
    ③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
    ④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;
    上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是
    A.1B.2C.3D.4
    5.(2014·福建高考真题(理))在下列向量组中,可以把向量表示出来的是
    A.B.
    C.D.
    6.(2013·安徽高考真题(理))在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足,则点集所表示的区域的面积是
    A.B.C.D.
    7.(2016·四川高考真题(文))已知正三角形ABC的边长为,平面ABC内的动点P,M满足,,则的最大值是
    A.B.C.D.
    8.(2014·上海高考真题(文))已知曲线C:,直线l:x=6.若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的点Q使得,则m的取值范围为 .
    9.(2018·全国高考真题(理))已知向量,,.若,则________.
    10.(2017·江苏高考真题)在同一个平面内,向量的模分别为与的夹角为,且与的夹角为,若,则_________.

    1.【答案】D
    【分析】
    取,作为基底,把 用基底表示出来,利用向量的减法即可表示出.
    【详解】
    取,作为基底,则.
    因为,所以,
    所以.
    故选:D.
    2.【答案】
    【分析】
    根据向量的线性运算即可得解.
    【详解】

    故答案为:
    3.【答案】
    【分析】
    利用向量的坐标运算求出,进而求出,,结合向量的数量积公式即可求解.
    【详解】

    又,
    利用向量的数量积公式可知
    故答案为:
    【点睛】
    关键点点睛:本题考查向量的线性运算与向量的数量积公式的应用,解题的关键是熟悉公式的应用,考查学生的运算求解能力,属于基础题.
    4.【答案】48
    【分析】
    直接利用平面向量的坐标运算求解.
    【详解】
    .
    故答案为:48



    1.【答案】B
    【分析】
    利用基底向量表示出,再根据数量积的运算律以及定义即可求出.
    【详解】
    因为,
    所以.
    故选:B.
    2.【答案】C
    【分析】
    先求出的坐标,再借助向量垂直的坐标表示即可得解.
    【详解】
    因,,则,而,,
    于是得,即,解得,
    所以的值为2.
    故选:C
    3.【答案】B
    【分析】
    先表示出向量和的坐标,然后由与共线,列方程可求出的值
    【详解】
    ∵,,与共线,
    ∴,解得.
    故选:B.
    4.【答案】A
    【分析】
    根据向量共线的坐标表示,求出的值,从而得到的坐标,然后由向量模长的坐标公式求出.
    【详解】
    向量,向量,且,
    所以,解得,
    所以,所以.
    故选:A.
    5.【答案】D
    【分析】
    由得到,然后带入,进而得到,然后根据B,D,E三点共线,即可求出结果.
    【详解】
    解:∵,∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵B,D,E三点共线,∴,∴.
    故选:D.
    6.【答案】C
    【分析】
    利用向量的线性运算,结合解三角形余弦定理可得,再利用基本不等式进行求解即可.
    【详解】
    ,,
    又,
    所以,,
    所以,
    即,,
    故,
    根据基本不等式可得,
    解得:,
    当且仅当,即,时取等号,
    故的最大值为.
    故选:C.
    7.【答案】AC
    【分析】
    根据平面向量数量积、线性运算的坐标表示一一验证即可;
    【详解】
    解:因为,所以,令,
    因为,且所以与异号,故A正确;
    ,若,则,解得,即当时,故B错误;
    设与的夹角为,则
    若夹角为小于,则,解得
    因为,所以小于,故C正确;
    因为,
    所以,显然当时,故D错误;
    故选:AC
    8.【答案】AB
    【分析】
    由平面向量的加减法可判断A,由平面向量基本定理可判断B,举出反例可判断C、D.
    【详解】
    对于A,给定向量,总存在向量,使,故A正确;
    对于B,因为向量,,在同一平面内且两两不共线,由平面向量基本定理可得:
    总存在实数和,使,故B正确;
    对于C,设,给定,则不存在单位向量和实数,使,故C错误;
    对于D, 设,给定,则不存在单位向量和单位向量,使,故D错误.
    故选:AB.
    9.【答案】
    【分析】
    利用向量坐标的线性运算求出,再由向量数量积的坐标运算即可求解.
    【详解】
    由+=(0,5),2﹣=(3,1),
    两式相加可得,解得,
    所以,
    所以.
    故答案为:
    10.【答案】
    【分析】
    找一组基向量分别表示出,再用待定系数法即可求得.
    【详解】

    又因为,所以,解得所以.
    故答案为:
    11.【答案】
    【分析】
    根据可得,再表示出坐标,由条件可得,再将代入可得关于的不等式,从而可得答案.
    【详解】
    解析:设点,由,得,所以.
    因为,所以,
    即,化简得
    将代入,得,即,
    解得.
    因为为线段上一点,且,所以.综上,可知.
    故实数的取值范围是.
    【点睛】
    关键点睛:本题主要考查向量的线性运算,数量积的坐标运算,解答本题的关键是由条件可得和,然后代入消去, 得到关于的不等式,属于中档题.
    12.【答案】
    【分析】
    作辅助线,利用平行线的性质,确定出F点是AD的几等分点,利用平面向量的线性运算即可用表示,求得x, y进而得解;再用来表示,用平面向量的数量积即可,即可得解.
    【详解】
    如图,过E作交于M,
    由,得,,
    又D是的中点,得,,故,即,
    所以
    所以,故
    易知
    由已知得
    所以
    故答案为:,
    【点睛】
    关键点点睛:本题考查平面向量的基本定理,平面向量的数量积的运算,解题的关键是利用平面向量的线性运算用表示,,考查学生的分析与转化能力,及计算能力,属于中档题.


    1.【答案】C
    【分析】
    根据平面向量共线的坐标表示计算可得;
    【详解】
    解:因为,,且
    所以
    解得
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查向量共线求参数的值,属于基础题.
    2.【答案】A
    【详解】
    .

    3.【答案】C
    【分析】
    根据图形得出,,
    ,结合向量的数量积求解即可.
    【详解】
    因为四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,
    根据图形可得:,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,


    故选C.
    本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.
    考点:向量运算.

    4.【答案】B
    【详解】
    试题分析:利用向量加法的三角形法则,易知①正确;利用平面向量的基本定理,易知正确;以的终点作长度为的圆,这个圆必须和向量有交点,这个不一定能满足,故③是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须,所以④是假命题.综上,本题选B.
    考点:1.平面向量的基本定理;2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则.

    5.【答案】B
    【详解】
    试题分析:由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有成立.故选B.
    考点:平面向量的基本定理.
    6.【答案】D
    【详解】
    ,则知是等边三角形,以为直角坐标系原点,在轴,则,
    当, 表示的区域是下图中的①;
    当, 表示的区域是下图中的②;
    当, 表示的区域是下图中的③;
    当, 表示的区域是下图中的④;
    则表示的区域就是图中的平行四边形,其面积为
    【考点定位】考查平面向量的概念,平面向量基本定理,以及线性规划面积,以及考查逻辑思维能力和转化思想.
    7.【答案】B
    【详解】
    试题分析:如图可得.以为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,则设由已知,得,又
    ,它表示圆上的点与点的距离的平方的,,故选B.
    【考点】向量的夹角,解析几何中与圆有关的最值问题
    【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模,由于结论是要求向量模的平方的最大值,因此我们要把它用一个参数表示出来,解题时首先对条件进行化简变形,本题中得出,且,因此我们采用解析法,即建立直角坐标系,写出点的坐标,同时动点的轨迹是圆,则,因此可用圆的性质得出最值.因此本题又考查了数形结合的数学思想.
    8.【答案】
    【详解】
    故答案为.
    9.【答案】
    【分析】
    由两向量共线的坐标关系计算即可.
    【详解】
    由题可得

    ,即
    故答案为
    【点睛】
    本题主要考查向量的坐标运算,以及两向量共线的坐标关系,属于基础题.
    10.【答案】
    【详解】
    以为轴,建立直角坐标系,则,由的模为与与的夹角为,且知, ,可得,,由可得,,故答案为.
    【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系,属于难题.向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算:建立坐标系转化为解析几何问题解答,这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便.

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