2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第八章第一讲　空间几何体的结构、表面积和体积学案

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第八章　立体几何

第一讲　空间几何体的结构、表面积和体积


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列命题正确的是(　　)
A.底面是矩形的平行六面体是长方体
B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C.棱台的相对侧棱延长后必交于一点
D.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
2.[新角度题]如图8 - 1 - 1,圆柱的底面半径为1,平面ABCD为圆柱的轴截面,从A点开始,沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点,若绳子的最短长度为3π,则该圆柱的侧面积为(　　)

图8-1-1
A.42π2 　　　B.22π2 C.52π2 　　　D.4π2
3.[2018全国卷Ⅰ]在长方体 ABCD - A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(　　)
A.8 B.62 C.82 D.83
4.[2015新课标全国Ⅰ][数学文化题]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图 8 - 1 - 2,米堆为一个圆锥的四分之一),

图8-1-2
米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
5.[2019天津高考]已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为　　　　. 
6.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图8 - 1 -3所).∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,
则这块菜地的面积为　　　　. 

图8-1-3
7.[2017全国卷Ⅱ]长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为　　　　. 


考法1 空间几何体的结构
1 给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台;
③圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形;
④圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中,面积最大的一个;
⑤三棱锥的四个面中最多只有三个直角三角形.
其中正确命题的个数是 　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
①只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,故①不正确;②只有平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故②不正确;③正确;④因为圆锥的母线长一定,根据三角形面积公式知,过圆锥顶点的截面中,两条母线的夹角的正弦值越大,截面面积就越大,所以当轴截面中两条母线的夹角为钝角时,轴截面的面积就不是最大的,故④不正确;⑤三棱锥的四个面中最多有四个直角三角形,故⑤不正确.
B
2 [2020湖北省部分重点中学第二次联考]如图8 - 1 - 4,正三棱锥A - BCD的底面边长为a,侧棱长为2a,点E,F 分别为AC,AD上的动点,则截面△BEF 周长的最小值为　　　　. 

图8-1-4

将正三棱锥A - BCD的侧面沿侧棱BA展开,得到一个由三个全等的等腰三角形拼接而成的五边形→截面△BEF 周长的最小值即线段BB1的长度→由平面几何知识计算线段BB1的长度
将正三棱锥A - BCD的侧面沿侧棱BA展开,得到一个由三个全等的等腰三角形拼接而成的五边形(如图8 - 1 - 5).

图8-1-5
利用平面上两点之间的线段最短原理知,截面△BEF 周长的最小值即图中线段BB1的长度.
由对称性知BB1∥CD,所以∠DF B1=∠ADC=∠ADB1,
所以B1F =B1D=BC=BE=a.
易知△B1F D∽△ACD,所以FDCD = B1DAD=a2a=12,所以F D=12a.
又EFCD=AFAD,所以EFa=2a-12a2a,即EF =34a.
所以BB1=2a+3a4=114a,即截面△BEF 周长的最小值为114a.
1.(1)[2019南昌市二模]已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面,设圆锥的底面半径为r,母线长为l,有以下结论:①l∶r=4∶3;②圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3;③圆锥的轴截面是锐角三角形.其中所有正确结论的序号是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
(2)[2020上海长宁区、嘉定区质检]如图8 - 1 - 6,已知正三棱柱的底面边长为2,高为5,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为　　　　. 

图8-1-6
考法2 求空间几何体的表面积(侧面积)
命题角度1　求空间几何体的表面积
3 [2018全国卷Ⅰ]已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为　　　　　　　　　　　　　
A.122π B.12π C.82π D.10π

由过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形→求出圆柱的高与底面圆的直径→代入圆柱的表面积公式求解
因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为22,底面圆的直径为22,所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2+22π×22=12π.
B
命题角度2　求空间几何体的侧面积
4[2018全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78.SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为　　　　. 
如图8 - 1 - 7所示,设S在底面的射影为S' ,连接AS' ,SS' .

图8-1-7
△SAB的面积为12·SA·SB·sin∠ASB=12·SA2·1-cos2∠ASB=1516·SA2=515,∴SA2=80,SA=45.
∵ SA与底面所成的角为45°,
∴∠SAS' =45°,AS' =SA·cos 45°=45×22=210.
∴底面周长l=2π·AS' =410π,∴圆锥的侧面积为12×45×410π=402π.
2.（1）[2020湖北省部分重点中学第二次联考]在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)
A.(5+2)π　 B.(4+2)π 　C.(5+22)π　 D.(3+2)π
(2)如图8 - 1 - 8所示,有两个相同的直三棱柱,高为2a,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是　　　　. 

图8 - 1 -8
考法3 求空间几何体的体积
命题角度1　求空间几何体的体积
5 [2018天津高考]如图8 - 1 - 9,已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1 - BB1D1D的体积为　　　　. 

图8-1-9
解法一　(公式法)连接A1C1交B1D1于点E,则A1E ⊥B1D1,A1E⊥BB1,则A1E ⊥平面BB1D1D,所以A1E为四棱锥A1 - BB1D1D的高,且A1E=22,矩形BB1D1D的长和宽分别为2,1,故VA1-BB1D1D=13×1×2×22=13.
解法二　(割补法)连接BD1,则四棱锥A1 - BB1D1D分成两个三棱锥B - A1DD1与B - A1B1D1,VA1-BB1D1D=VB-A1DD1+VB-A1B1D1=13×12×1×1×1+13×12×1×1×1=13.
命题角度2　体积的最值问题
6[2019南京师大附中考前冲刺]在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是
A.2327 B.13 C.239 D.33
如图8 - 1 - 10,取AB的中点E,连接CE,DE.

图8-1-10
设AB=2x(0