（新教材）2021-2022学年上学期高二第一次月考备考B卷-数学

这是一份（新教材）2021-2022学年上学期高二第一次月考备考B卷-数学，共23页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，下列说法不正确的是，设是空间的一个基底，若，，等内容，欢迎下载使用。
（新教材）2021-2022学年上学期高二第一次月考备考金卷数   学  （B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则与所成的锐角为（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【解析】设与所成的角为θ，且0°<θ<90°，则，，故选B．2．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ）A．A､B､D B．A､B､C C．B､C､D D．A､C､D【答案】A【解析】因为，所以，又有公共点，所以A､B､D三点共线，故选项A正确；显然不共线，所以、、三点不共线，故选项B错误；显然不共线，所以、、三点不共线，故选项C错误；因为，所以不共线，从而、、三点不共线，故选项D错误，故选A．3．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ）A． B．97 C． D．61【答案】C【解析】∵，∴，故选C．4．已知直线l过点和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（    ）A．5 B．14 C． D．【答案】C【解析】∵，，，∴点P到直线l的距离为．5．已知，，，若三向量共面，则实数等于（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】∵与不共线，则取，作为平面的一组基向量，又三向量共面，则存在实数使得，∴，解得，故选C．6．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】，因为分别为的中点，所以，，所以，故选A．7．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，设点P的坐标为，图中各点的坐标表示如下：B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，，，又，，即，所以，所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段，且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角逐渐增大，当点P位于C点处时，二面角最小，最小值为0，当点P位于BB1四等分点处时，二面角最大，此时，即为二面角的平面角，，所以二面角正切值的取值范围为，选项ACD错误，选项B正确，故选B．8．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设线段的中点为，连接，，为的中点，则，，则，，同理可得，，，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为，所以为等边三角形，故为的中点，平面，平面，则，，，平面，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，则、、、，由于点在平面内，可设，其中，且，从而，因为，则，所以，故当时，有最大值，即，故，即有最大值，所以，，故选D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法不正确的是（    ）A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角C．二面角的大小范围是D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小【答案】ABD【解析】当直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°时，直线l与平面α所成的角为60°，A不正确；向量夹角的范围是，而异面直线夹角为，B不正确；二面角的范围是，C正确；二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，D不正确，故选ABD．10．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】如图：在长方体中，设，，，则，，，，由图可知：三个向量共面，所以不能作为基底；三个向量不共面，三个向量不共面，三个向量不共面，所以，，可以作为基底，故选BCD．11．在长方体中，､､分别为棱､､的中点，，，则正确的选项是（    ）A．异面直线与所成角的大小为60°B．异面直线与所成角的大小为90°C．点到平面的距离为D．点到平面的距离为【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系，连接，则，，，，，所以，，所以，所以，所以异面直线与所成角的大小为90°，故A错误，B正确；又，，设平面的一个法向量，则，令，则，则点到平面的距离为，故C正确，D错误，故选BC．12．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（    ）A．与是异面直线     B．与所成角的大小为C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为【答案】AD【解析】对选项A，由图知：与是异面直线，故A正确；以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，对选项B，，，，，所以，，设与所成角为，则，又因为，所以，故B错误；对选项C，由题知：平面的法向量为，因为，，设与平面所成角为，则，，故C错误；对选项D，，，设平面的法向量，则，令，得；设平面的法向量，，则，令，得，设二面角的平面角为，则，又因为为锐角，所以，故D正确，故选AD． 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点，，，，则在上的投影向量的长度为________．【答案】【解析】由已知得，，∴，又，所以在上的投影向量的长度为，故答案为．14．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（O为坐标原点）__________．【答案】【解析】设，则，因为点Q在直线OP上运动，所以，所以，即，，所以，所以，所以当时，取得最小值，此时点Q的坐标为，故答案为．15．如图，在直三棱柱中，，，点､､分别是､､的中点，点是上的动点．若，则线段长度为__________．【答案】【解析】因为三棱柱是直三棱柱，且，所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，点､､分别是､､的中点，所以，，，因为点是上的动点，设，所以，，因为，所以，解得，所以，，所以，即线段长度为，故答案为．16．在棱长为的正方体中，，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时，______；满足条件的所有点构成的平面图形的周长为______．【答案】，【解析】如图，取、上的点分别为、，连接、、、，使得，、、、四点共面，且四边形为梯形．正方体的边长为，所以，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、．设点、，设，且，，，解得，，，，由，则平面．点在正方体表面上移动，且，则点的运动轨迹为梯形，，，解得，即点，所以，当在上运动时，，又，，，所以，梯形为等腰梯形，且梯形的周长，故答案为，． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为的重心．（1）求证：；（2）化简：．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1），①，②，③，①+②+③得．（2）因为，所以．18．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在棱上，且，是的中点．利用空间向量解决下列问题：（1）求与所成的角；（2）求与所成角的余弦值；（3）求两点间的距离．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，（1）因为，，所以，所以，故，即与所成的角为．（2）因为，所以，因为，且，所以，即与所成角的余弦值为．（3）因为是的中点，所以，又因为，所以，即两点之间的距离为．19．（12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，，分别是棱，的中点，是棱上一点．（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）依题意可得，．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，平面，∴．在中，，是棱的中点，所以，又，，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）如图，取的中点，连接，，则，，由（1）知平面，∴平面，∴是直线与平面所成角，∴，∴，∴，∴是棱的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则有，，，，∴，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，令，则；有，令，则，∴，∴锐二面角的余弦值为．20．（12分）在长方体中，底面是边长为1的正方形，为棱上的中点．（1）若，求的长度；（2）若二面角的余弦值为，求的长度．【答案】（1）2；（2）．【解析】（1）设，∵，∴，∴．（2）如图所示建立空间直角坐标系，设，，，，，则，，，设面的法向量为，则，令，得；设面的法向量为，则，令，得，所以，，．21．（12分）已知为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，如图1．沿EF将折起使平面平面，连接，，如图2．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）已知为棱上一点，试确定的位置，使平面．【答案】（1）；（2）当时，平面．【解析】（1）因为平面平面，，所以．又，所以建立如图1所示的空间直角坐标系，因为为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，则，，，，所以，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．（2）方法一：设，因为，所以．设为平面的一个法向量，则，即，因此可取，所以．因为平面，所以，即，所以当时，平面．方法二：当时，平面．证明如下：如图2，在平面内过作交于，连接．因为，，所以四边形为平行四边形，所以．因为，所以，又，所以．因为平面，所以平面．又因为，平面，所以平面．因为，所以平面，因为平面，所以平面．22．（12分）在①平面，②平面平面，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）．（1）求点到平面的距离；（2）若__________，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在三棱锥中，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，，为中点，所以，，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，∴，，两两垂直．∴，又，∴，∴点到平面的距离为．（2）与平面所成角的正弦值的取值范围为．以选条件①为例（亦可使用综合法、综合与向量混用法）在三棱锥中，以为坐标原点，为正交基底，建立空间直角坐标系，则，，，，，设，则，，，，，设平面的法向量为，则，即，即，不妨令，则；同理可求得平面的法向量，（选条件①）因为平面，平面，∴，即，即，∴，又，∴，∴，又平面，∴是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，令，，，∴，令，则，∴在上单调递增，∴，∴，∴，∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．选条件②，条件③结果相同．