（新高考）2021-2022学年上学期高三第一次月考备考A卷-数学

这是一份（新高考）2021-2022学年上学期高三第一次月考备考A卷-数学，共20页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
（新高考）2021-2022学年上学期高三第一次月考备考金卷数   学  （A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，集合，集合，根据补集的概念及运算，可得，故选C．2．已知复数，，则的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故虚部为，故选B．3．“点，到直线的距离相等”是“”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为点，到直线的距离相等，所以，所以或．因为“或”是“”的必要非充分条件，所以“点，到直线的距离相等”是“”的必要非充分条件，故选B．4．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（    ）（参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】C【解析】每经过5730年衰减为原来的一半，生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为．现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有年，由题意可得，因为，所以，故选C．5．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（    ）A．AB与CF成45°角 B．BD与EF成45°角C．AB与EF成60°角 D．AB与CD成60°角【答案】D【解析】由题意得，将正方体的平面展开图还原为正方体，如图，CF和BD平行，AB垂直与BD，所以AB与CF成角，故A错误；BD与CF平行，CF垂直与EF，所以BD与EF成角，故B错误；EF与CG平行，AB与CG成角，所以AB与EF成角，故C错误；CD与AE平行，在三角形AEB中，AE=EB=AB，所以，所以AB与CD成角，故D正确，故选D．6．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，所以的取值范围是，故选A．7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以，又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率，故选A．8．已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴函数关于对称，又，∵，∴，∴恒成立，则是增函数，∵，∴，∴，得，故选A． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（    ）A．  B．展开式中没有常数项C．展开式所有二项式系数和为1024 D．展开式所有项的系数和为256【答案】BD【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为，所以，A错误；因为，，因为，所以展开式中没有常数项，B正确；展开式所有二项式系数和为，C错误；令，可得展开式所有项的系数和为，D正确，故选BD．10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为【答案】AB【解析】对于A选项，2个球都是红球的概率为，A选项正确；对于B选项，2个球中恰有1个红球的概率为，B选项正确；对于C选项，至少有1个红球的概率为，C选项错误；对于D选项，2个球不都是红球的概率为，D选项错误，故选AB．11．已知函数的图象经过点，则（    ）A．点是函数的图象的一个对称中心B．函数的最小正周期是C．函数的最大值为2D．直线是图象的一条对称轴【答案】ACD【解析】因为函数的图象经过点，所以，得，因为，所以，所以，因为图象的对称中心是点，所以令，得，当时，，所以点是函数图象的一个对称中心，所以A正确；因为函数的最小正周期，所以B错误；因为，所以的最大值为2，所以C正确；因为图象的对称轴方程是，，所以令，，得，，当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以D正确，故选ACD．12．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（    ）A．  B．C． D．【答案】AD【解析】设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，则从新数列的第1个1到第个1一共有项，从新数列的第1个1到第个1一共有项，所以，解得，而，所以，故A正确，B错误；，令，则，，，所以，故D正确，C错误，故选AD． 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知，，则的取值范围是________．【答案】【解析】，，，，的取值范围是，故答案为．14．已知关于，的一组数据：根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为，则的值为________．【答案】【解析】由题意，根据表格中的数据，可得，，即样本中心为，则，即，解得，故答案为．15．已知平面向量，，是单位向量，且，则的最大值为_________．【答案】【解析】因为，所以，如图建系，设，，，因为，所以终点为单位圆上任意一点，又，所以，表示点与点间的距离，由图可得，当位于图中B点时，点B与点A间的距离最大，且为，所以的最大值为，故答案为．16．已知定义在上的函数为增函数，且函数的图象关于点成中心对称，若实数、满足不等式，则当时，的最大值为_________．【答案】【解析】函数的图象关于点成中心对称，则函数的图象关于原点对称，所以，函数为奇函数，且该函数在上为增函数，由，得，，，则有，不等式组所表示的平面区域如下图所示的，联立，得，可得点，同理可得点，代数式可视为点到平面区域内的动点的距离的平方，由图象可知，当点与点或点重合时，取最大值，故答案为． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角，，所对的边分别是，，，且．（1）求证：三内角，，成等差数列；（2）若的面积为，，求的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由正弦定理得，，，又，所以，所以，，所以，所以，所以成等差数列．（2）由题意，，又，由正弦定理得，由，解得（边长为正，负的舍去），，所以三角形周长为．18．（12分）已知数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，当时，，当时也成立，所以．（2）令，所以数列前项和．19．（12分）如图，四棱锥的底面是边长为6的正方形，．（1）证明：；（2）当四棱锥的体积为时，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴，在中，∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴．（2）由（1）知，平面平面，在上取一点O，连接，使，则是四棱锥的高，∵，解得，∵，则，即O为正方形的中心，以O为坐标原点，过点O且垂直于的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，，；设平面的一个法向量，则，取，，则，设二面角的平面角为，则，∴二面角的正弦值为．20．（12分）2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作，9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：9:46，记作时刻46．（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．附：若随机变量T服从正态分布，则，，．【答案】（1）10:04；（2）答案见解析；（3）819．【解析】（1）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：，即10:04．（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组这一区间内的车辆数，即，所以X的可能取值为0，1，2，3，4．所以；；；；，所以X的分布列为：01234（3）由（1）得，．所以，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在通过的车辆数，由，得，所以估计在9:46~10:40之间通过的车辆数为．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上､下顶点分别为，，左焦点为F，左顶点为A，椭圆过点，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F且斜率为的动直线l与椭圆C交于P､Q两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得x轴为的平分线？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，坐标为．【解析】（1）由题意，椭圆，可得，，，，则，，所以，即，又因为椭圆过，所以，联立可得，，所以椭圆的方程为．（2）由题意设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，所以，，若轴为的平分线，得，所以，所以，所以，所以，所以，整理得，因为直线l为动直线，所以，即，故存在满足条件的定点M，其坐标为．22．（12分）已知函数．（1）判断的单调性；（2）若，求证．【答案】（1）在上单调递增；（2）证明见解析．【解析】（1）函数的定义域为，因为，，所以，所以当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，则当时，取得极小值，也是它的最小值，所以，所以，则在上单调递增．（2）因为，所以不妨设，所以要证，只需证．因为，所以只需证，只需证，只需证．设，则，，则，所以当时，，在上单调递减，则，所以在上单调递增，则，即，所以．