高中数学北师大版必修12.2指数运算的性质教案

3．2.2　指数运算的性质

一．教学目标

1．知识与技能：

（1）掌握根式与分数指数幂互化；

（2）能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简，求值.

2．过程与方法：

通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.

3．情感、态度、价值观

（1）培养学生观察、分析问题的能力

（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.

二．重点、难点：

1．重点：运用实数指数幂性质进行化简，求值.

2．难点：实数指数幂性质的灵活应用.

三．学法：

讲授法、讨论法.

四．教学设想：

导入新课　　　　　

前面我们把指数幂从整数指数幂扩充到实数指数幂，我们这节课来学习：教师板书本堂课的课题——指数运算的性质．

请打开课本第66页，初中时我们已经学习过整数指数幂的运算性质

1这个性质对任意实数成立吗？

2能把5个性质归纳一下吗？然后能给出实数指数幂的运算法则吗？

3为什么规定底数是正数？

活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳．

对问题(1)结合整数指数幂的运算法则，既然实数指数幂(a＞0，x是无理数)是一个确定的实数，那么实数指数幂的运算法则应当与整数指数幂的运算法则类似，并且相通．

对问题(2)课本例3，P68练习3

对问题(3)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．

学生讨论，老师引导

讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若，那么就无意义，规定了底数是正数后，就不会出现这种问题．

(2)因为实数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，整数指数幂的运算性质，同样也适用于实数指数幂．类比整数指数幂的运算性质可以得到实数指数幂的运算法则：

对任意的实数m，n，均有下面的运算性质：

①(，m，n∈R);

②(，m，n∈R);

③(，b＞0，r∈R)．

思路1

例1 在实数范围内，对比和(其中，b＞0，b≠0)，说明后者可以归入前者．

解：，因此，性质可以归入性质

练习：

P68 3

在实数范围中，对比性质（4），当时，有和性质（1）

，说明性质（4）可以归入性质（1）。

解：，因此，性质（4）可以归入性质（1）

例2 化简(式中字母均为正实数)：

(1)；

(2)．

活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)(2)由里向外，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律．

解：(1)；

(2).

点评：注意运算性质的应用．

例3 已知，，求，，，

活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应利用运算性质，然后再求值，要有预见性，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示．

解：＝3×4＝12；

＝；

＝；

点评：运用整体思想和运算法则是解决本题的关键，要深刻理解这种做法．

练习

分组计算P68练习1,2比比看哪组算得又快又准

思路2

例1  计算：(1)；P68，4

(2)；

(3)()()；

(4)()÷()．

活动：学生观察、思考，根式化成分数指数，利用幂的运算性质解题，另外要注意整体的意识，教师有针对性地提示引导，对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行，对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行，对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行，对(4)要利用平方差公式先因式分解，并对学生作及时的评价．

解：(1)原式＝6.

(2)原式＝.

(3)()()＝(－2×3)()

＝.

(4)()÷()＝[()2－()2]÷()

＝()()÷()

＝.

点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．

例2  化简下列各式：（式中各字母都为正数）

(1)

(2)        备(2)－；

(3)．

活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示：对于(1)分子用完全平方公式，分母用平方差。对(2)考查与的关系可知，立方关系就出来了，公式便可运用。对备(2)考查x2与的关系可知x2＝()3，立方关系就出来了，公式便可运用，对(3)先利用平方差，再利用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流．

解：

(1)原式＝

(2)原式.

备(2)原式＝－

＝()2－＋()2－[()2＋()()＋()2]

＝.

(3)原式＝

      .

点评：注意立方和、立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方差公式一般在使用中一目了然，而对立方和、立方差公式却一般不易观察到。

当堂检测

1．求值：               

2．计算＋0.1－2＋－3π0＋9－0.5＋490.5×2－4.

解：原式＝＋100＋－3＋＝＋100＋－3＋＋＝100.

3．计算．        

4．已知则                     23

对任意的实数m，n，均有下面的运算性质：

①(，m，n∈R);

②(，m，n∈R);

③(，b＞0，n∈R)．．

习题3—2　A组6,8.

教学中让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对性质的理解，让学生体会类比的思想，多做练习，提高学生理解问题、分析问题的能力.

[备用习题]

1．对于a＞0，b＞0,x，y∈R，以下运算中正确的是(　　)．

A．    B． 

C．     D．

答案：B

2．化简(1＜b＜2)．

解：＝＝－1(1＜b＜2)．

3．化简－

解：原式＝－

＝()2－＋()2－[()2＋()()＋()2]

＝.