北京市延庆区2021届高三第一次模拟考试数学试题

这是一份北京市延庆区2021届高三第一次模拟考试数学试题，共13页。

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延庆区高三模拟考试试卷
数学 2021.3
本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，，则=
（A） （B） （C） （D）
2．已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是
（A） （B） （C）是递减数列（D）存在最小值
3．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点的横坐标为
（A） （B） （C） （D）
4．设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是直角三角形,俯视图是直角梯形,则该四棱锥的体积是
（A） （B）
（C） （D）
6．在平面直角坐标系中，直线的方程为，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为
（A） （B） （C） （D）
7．已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
8．设为所在平面内一点，，则
（A） （B）
（C） （D）
9．已知函数 则不等式的解集是
（A）（B） （C） （D）
10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：驾驶员的血液中酒精含量为，不构成饮酒驾车行为（不违法），达到的即为酒后驾车，及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过
（参考数据：）
（A）4小时 （B）6小时 （C）8小时 （D）10小时



第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则=___________．
12．已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为 .
13．在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是___________．
14．已知的面积为，，则= .
15．同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是 .
①如果，那么函数为奇函数；
②如果,那么为单调函数；
③如果，那么函数没有零点；
④如果那么函数的最小值为2.



三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题共13分）
已知函数(),再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间.
条件①：的最大值为2； 条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

17．（本小题共14分）
如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面为矩形，且侧面底面，，分别是的中点.

（Ⅰ）；
（Ⅱ）










18．（本小题共14分）
2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目。下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：
2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）
2022年
2月
北京赛区
延庆赛区
张家口赛区

开闭幕式
冰壶
冰球
速度
滑冰
短道
速滑
花
样
滑
冰
高
山
滑
雪
有舵雪橇
钢架雪车
无舵雪橇
跳台滑雪
北欧两项
越野滑雪
单板滑雪
冬季两项
自由式
滑雪
当
日
决
赛
数
5（六）

*
*
1
1




*
1

1
*
1
1
6
6（日）

*
*
1

*
1


1
1

1
1

1
7
说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.
（Ⅰ）(i)若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；
(ii)若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；

（Ⅱ）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记为赛区的个数，求的分布列及期望.



19．（本小题共15分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）求函数的极值；
（Ⅲ）设，判断函数的零点个数，并说明理由.

20．（本小题共15分）
已知椭圆经过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点且在的上方），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，将、、如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论．

21．（本小题共14分）
若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.
（Ⅰ）若具有性质“”，且，，求；
（Ⅱ）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；
（Ⅲ）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，求证：具有性质“”.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
延庆区2020—2021学年度高三数学模拟试卷参考答案
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
A
A
B
A
B
A
D
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
题号
11
12
13
14
15
答案




②③
注：第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。
16解：（Ⅰ）选择①：因为 …………2分
所以，其中， …………3分
所以，又因为，所以. …………5分
选择②：，所以. …………5分
（①不写不扣分，②每个值计算正确各给一分）
（Ⅱ）因为 …………7分
所以 …………9分
则， …………11分
， …………12分
所以函数的单调增区间为 …………13分
(一个都没写的扣一分)



17．（Ⅰ）证明：连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以. …………2分
由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面. …………5分
（Ⅱ）因为底面是正方形，所以，又因为侧面底面，且侧面底面，所以，所以，，又因为侧面为矩形，所以，如图建立空间直角坐标系， …………7分
其中，，，，且，， …………8分
因为，所以，
故，…10分
设为平面的法向量，则
即 ，不妨设，可得． …………12分
所以， …………13分
因为二面角的平面角是钝角, 所以二面角的余弦值.
…………14分








18.解：（Ⅰ）(i) 记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶冰球”为事件. 由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有种不同方法，其中恰好看到冰壶冰球，共有种不同方法．所以，． …3分
(ii) 记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件. 由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有种不同方法，其中两场决赛恰好在北京赛区共有种不同方法，在张家口赛区共有．所以. 6分
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为． …7分
根据题意，， …9分
， …11分
． …13分
随机变量的分布列是：









数学期望． …………………………14分




19.解：（Ⅰ）设切点为， 因为， ……………….1分
所以，，， ……………….3分
所以切线方程为，即 .……………….4分
（Ⅱ）的定义域为 ……………….5分
令即，， .……………….6分
令，得，令，得，故在上单调递减，
在上单调递增， .……………….8分
所以存在极小值，无极大值. .……………….10分
（Ⅲ）函数有三个零点，理由如下：. ………….11分
由（Ⅱ）知在上单调递减，在上单调递增， ……………….12分
由且，，
所以存在唯一，使得， ……………….13分
又因为， ……………….14分
， ……………….15分
且三个零点互不相同，所以函数有三个零点.

20.解：（Ⅰ）由点在椭圆上得， ①， ……………….1分
② ……………….2分
由 ①②得， ……………….4分
故椭圆的标准方程为 ……………….5分
（Ⅱ）或能构成一个等差数列 …………….6分
椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，
设 ③ …………….7分
代入椭圆方程，整理得，易知….8分
设，则有 ④ ……………….10分
在方程③中，令，得，从而
， ………….11分
因为
= ⑤，将④代入⑤得
………….13分
而，所以，即为、的等差中项， 14分
所以或为等差数列。 ……………….15分
21解 ：（Ⅰ）因为具有性质“”，所以，. ……1分
由，得，由，得. ..………………3分
因为，所以，即. .………………4分
（Ⅱ）不具有性质“”. . .………………5分
由等比数列的公比为，由 ，得，故 …………6分
设等差数列的公差为，由 ，，
得，由，所以，故. ..………………7分
所以.若具有性质“”，则，.
因为，，所以，故不具有性质“” …9分
（Ⅲ）因为具有性质“”，所以，.①
因为具有性质“”，所以，.②
因为，，所以由①得；由②，得， ……10分
所以，即. ..………………11分
由①②，得，， ……………12分
所以，， ..………………13分
所以具有性质“” .………………14分