2021届北京市延庆区高三数学模拟考试试卷及答案

这是一份2021届北京市延庆区高三数学模拟考试试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三数学模拟考试试卷
一、单项选择题
1.全集 ，集合 ， ，那么 =〔    〕
A. {-1}                              B.                               C.                               D. 



2. 为无穷等比数列，且公比 ，记 为 的前 项和，那么下面结论正确的选项是〔    〕
A.                      B.                      C. 是递减数列                     D. 存在最小值



3. 为抛物线 的焦点，过点 的直线 交抛物线 于 两点，假设 ，那么线段 的中点 的横坐标为〔    〕
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5



4.设 ，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分而不必要条件           B. 必要而不充分条件

           C. 充要条件           D. 既不充分也不必要条件



5.某四棱锥的三视图如下列图，其中正(主)视图是等腰直角三角形，侧(左)视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，那么该四棱锥的体积是〔    〕

A. 1                                           B. 2

                                           C. 3                                           D. 4



6.在平面直角坐标系 中，直线 的方程为 ，以点 为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为〔    〕
A. 2                                          B.                                           C. 4                                          D. 8



7.定义在 上的幂函数 〔 为实数〕过点 ，记 ， ， ，那么 的大小关系为〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 



8.设 为 所在平面内一点， ，那么〔    〕
A. 
B. 


C. 
D. 



9.函数 那么不等式 的解集是〔    〕
A.                           B.                           C.                           D. 



10.酒驾是严重危害交通平安的违法行为．根据规定：驾驶员的 血液中酒精含量为 ，不构成饮酒驾车行为〔不违法〕，到达 的即为酒后驾车， 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 ，假设在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少 ，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过〔    〕
〔参考数据： 〕
A. 4小时                                 B. 6小时                                 C. 8小时                                 D. 10小时



二、填空题
11.假设复数 〔 为虚数单位〕是纯虚数，那么 =________．
12.双曲线 的一条渐近线过点 ，那么双曲线的离心率为________．
13.在二项式 的展开式中，系数为有理数的项的个数是________．
14. 的面积为 ， ，那么 =________．
15.同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 〔其中 ， 是非零常数，无理数 …〕，对于函数 以下结论正确的选项是________．
①如果 ，那么函数 为奇函数；
②如果 ，那么 为单调函数；
③如果 ，那么函数 没有零点；
④如果 那么函数 的最小值为2．
三、解答题
16.函数 ( )，再从条件①，条件②中选择一个作为，求：
条件①： 的最大值为2；条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
〔1〕的值；
〔2〕将 的图象向右平移 个单位得到 的图象，求函数 的单调增区间．
17.如图，四棱柱 的底面 是边长为 的正方形，侧面 为矩形，且侧面 底面 ， ， 分别是 的中点.

〔Ⅰ〕求证 平面 ；
〔Ⅱ〕求 二面角的余弦值
18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会〞，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上工程，延庆和张家口将承办所有的雪上工程．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：
2022年北京冬奥会赛程表〔第七版，发布自2021年11月〕

2022年
2月
北京赛区
延庆赛区
张家口赛区



开闭幕式
冰壶
冰球
速度
滑冰
短道
速滑
花
样
滑
冰
高
山
滑
雪
有舵雪橇
钢架雪车
无舵雪橇
跳台滑雪
北欧两项
越野滑雪
单板滑雪
冬季两项
自由式
滑雪
当
日
决
赛
数

5〔六〕

*
*
1
1




*
1

1
*
1
1
6

6〔日〕

*
*
1

*
1


1
1

1
1

1
7

说明：“*〞代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．
〔1〕①假设在这两天每天随机观看一个比赛工程，求恰好看到冰壶和冰球的概率；
②假设在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；
〔2〕假设在2月6日〔星期日〕的所有决赛中观看三场，记 为赛区的个数，求 的分布列及期望 ．
19.函数 ．
〔1〕求曲线 的斜率等于 的切线方程；
〔2〕求函数 的极值；
〔3〕设 ，判断函数 的零点个数，并说明理由．
20.椭圆 经过点 ，离心率 ．
〔1〕求椭圆C的标准方程；
〔2〕设 是经过椭圆右焦点 的一条弦〔不经过点 且 在 的上方〕，直线 与直线 相交于点M ， 记PA ， PB ， PM的斜率分别为 ， ， ，将 、 、 如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论．
21.假设无穷数列 满足： ，对于 ，都有 〔其中 为常数〕，那么称 具有性质“ 〞．
〔1〕假设 具有性质“ 〞，且 ， ，求 ；
〔2〕假设无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为 的等比数列， ， ， ，判断 是否具有性质“ 〞，并说明理由；

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】易知 ，那么 。
故答案为：D.

【分析】利用条件结合并集和补集的运算法那么，进而求出集合。
2.【解析】【解答】A：当 时， ， ，成立，当 时， ， ，不成立，A选项错误；
B： 成立，B选项正确；
C：当 时，数列 为递减数列，当 时，数列 为递增数列，C选项错误；
D：当 时， 存在最小值，当 时， 存在最大值，D选项错误；
故答案为：B.

【分析】利用条件结合等比数列的通项公式，再利用数列的单调性结合等比数列前n项和公式，进而结合分类讨论的方法求出等比数列前n项和的最值，从而选出结论正确的选项。
3.【解析】【解答】设 ，因为 ，
所以 ，
所以 。
故答案为：B.

【分析】设 ，再利用抛物线的定义结合抛物线的弦长公式，再结合条件 和中点坐标公式，进而求出线段 的中点 的横坐标。
4.【解析】【解答】 ； ；
易知集合 是 的真子集，故是充分不必要条件。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出 “ 〞是“ 〞的充分而不必要条件。
5.【解析】【解答】由三视图可得几何体是如下列图的四棱锥 ：

其中 面 , ，
底面 是直角梯形，其中 , ,
所以底面ABCD面积为 ，
所以 。
故答案为：A.

【分析】由三视图可得几何体是四棱锥 ， 再利用线面垂直的定义推出线线垂直，再利用直角梯形的结构特征和梯形的面积公式，再结合四棱锥的体积公式求出该四棱锥的体积。
6.【解析】【解答】由直线方程 可得该直线横过定点 ，
又由相切可得该圆的半径 等于圆心到直线的距离 ，
最大值为 。
故答案为：B.

【分析】由直线方程 可得该直线横过定点 ，再利用直线与圆相切的判断方法得出该圆的半径 等于圆心到直线的距离 ，再结合两点距离公式和几何法，从而求出圆的最大半径。
7.【解析】【解答】由题得 ，
函数 是 上的增函数，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 。
故答案为：A

【分析】利用条件结合代入法，进而求出m的值，从而求出幂函数的解析式，再利用增函数的定义判断函数 是 上的增函数，再结合对数函数的单调性，进而判断出a,b,c的大小。
8.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 。
故答案为：B

【分析】利用条件结合共线定理和三角形法那么，再结合平面向量根本定理，进而得出。
9.【解析】【解答】在同一坐标系中，作出函数 以及 的大致图象，
 
观察 的区域，
由图象可知，在区间 和 上
，由此 的解集 。
故答案为：A

【分析】利用条件作出分段函数 以及 的大致图象，再利用两函数的图像求出不等式 的解集。
10.【解析】【解答】依题意可知，在停止喝酒且经过 小时后，他血液中酒精含量为 ，
要想不构成酒驾行为，必有 ，即 ，
因为 为减函数，所以当 时， ，不符合题意，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，符合题意，
所以要想不构成酒驾行为，那么他至少经过10小时。
故答案为：D

【分析】利用实际问题的条件结合指数函数的单调性，进而结合分类讨论的方法，进而求出要想不构成酒驾行为，那么他至少经过10小时。
二、填空题
11.【解析】【解答】解：复数 是纯虚数，
，且 ，解得： 。
故答案为：-2。

【分析】利用复数为纯虚数的判断方法，进而求出a的值。
12.【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为
所以直线 过点 ，代入可得
所以
故答案为：

【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出双曲线一条渐近线的方程，再利用双曲线 的一条渐近线过点 结合代入法，进而求出a,b的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形结合双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出双曲线的离心率。
13.【解析】【解答】该二项式的通项公式为 ，故 时，系数为有理数，有4个。
故答案为：4.

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式结合有理数的定义，进而求出 系数为有理数的项的个数 。
14.【解析】【解答】 ,   
，解得 ,
所以 ，
∴ ,
∴ 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合三角形面积公式，进而求出a的值，再利用余弦定理求出b的值，再结合正弦定理求出的值。
15.【解析】【解答】对①：当 时，函数 ，此时 为偶函数，故①错误.
对②：当 时，令 ，函数 在其定义域上为增函数，函数 在其定义域上也为增函数，故函数 在其定义域上为增函数；当 ，函数 在其定义域上为减函数，函数 在其定义域上也为减函数，故函数 在其定义域上为减函数；综上：如果 ，那么 为单调函数；故②正确.
对③：当 时，函数 ，
当 时，函数 ；
综上：如果 ，那么函数 没有零点；故③正确.
对④：由 ，那么 ，
当 时，函数 ；
当 时，函数 ；
故 时，函数 没有最小值；故④错误.
故答案为：②③

【分析】利用条件结合奇函数的定义、增函数和减函数的定义、零点存在性定理、均值不等式求最值的方法，进而找出结论正确的选项。
三、解答题
16.【解析】【分析】〔1〕利用二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，假设选择①的条件函数 的最大值为2，进而求出a的值；假设选择②的条件 ，再结合代入法，进而求出a的值。
〔2〕利用正弦型函数的图像变换得出函数g(x)的图象，进而求出函数g(x)的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的单调递增区间。
 
17.【解析】【分析】〔1〕 连结 ，因为 分别为 的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，进而推出线线平行和中位线等于底边的一半，所以 ，且 ，又因为 为 的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，进而推出中位线等于底边的一半，所以 ，由题设知 且 ，可得 且 ，故 且 ， 再利用平行四边形的定义判断出四边形 为平行四边形，再结合平行四边形的性质推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行。
〔2〕因为底面 是正方形，所以 ，又因为侧面 底面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ， ，又因为侧面 为矩形，所以 ，如图建立空间直角坐标系 ，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的余弦值。
18.【解析】【分析】〔1〕 ① 利用2月5日和2月6日两天的赛程表结合古典概型求概率公式，进而求出恰好看到冰壶和冰球的概率。 ② 利用2月5日和2月6日两天的赛程表结合古典概型求概率公式，进而结合互斥事件加法求概率公式，从而求出两场决赛恰好在同一赛区的概率。
(2)利用条件求出随机变量 的所有可能取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
19.【解析】【分析】〔1〕利用导数的几何意义结合条件，进而求出切点的横坐标，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程。
〔2〕利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值。
〔3〕利用函数f(x)的解析式结合 ，进而求出函数g(x)的解析式， 由〔2〕知 函数在 上单调递减，在 上单调递增， 再利用零点存在性定理得出存在唯一 ，使得 ，又因为 ， ，且三个零点互不相同，进而求出函数 的零点个数。
 
 
 
20.【解析】【分析】利用条件椭圆 经过点 ，结合代入法得出a,b的一个方程，再利用椭圆的离心率个数结合条件椭圆的离心率 ，进而求出a,b的另一个方程，再解方程组求出a,b的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕 或 能构成一个等差数列，椭圆右焦点坐标 ，显然直线 斜率存在，设 的斜率为 ，那么直线 的方程为 ， 再利用直线AB与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，进而结合赋值法求出 ， 再利用两点求斜率个数，进而求出 、 、 ，再结合等差中项公式，进而证出 或 为等差数列 。
21.【解析】【分析】〔1〕利用无穷数列 满足： ，对于 ，都有 〔其中 为常数〕，那么称 具有性质“ 〞，再利用数列 具有性质“ 〞，且 ， ， 再结合等差中项公式，进而求出数列第三项的值。
〔2〕利用无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为 的等比数列， ， ， ， 再结合等比数列通项公式和等差数列通项公式，再利用性质“ 〞判断出数列 不具有性质“ 〞 。
〔3〕因为数列 既具有性质“ 〞，又具有性质“ 〞，其中 ， ， 再结合条件，进而证出数列 具有性质“ 〞。