2022届新高考数学人教版一轮课件：第八章 第七节　抛物线

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知识点一　抛物线的定义　满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离 ；(3)定点 定直线上．
• 温馨提醒 • 　抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．　
1．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有(　　)A．0个　　　　　　　　B．1个C．2个D．4个2．(易错题)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．答案：6
知识点二　抛物线的标准方程和几何性质
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝________.答案：8
1.求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
2.运用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
题型二　抛物线的定义及应用　　多维探究与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等．常见的命题角度有：(1)焦点与定点距离之和最小问题；(2)点与准线的距离之和最小问题；(3)焦点弦中距离之和最小问题.
考法(二)　点与准线的距离之和最小问题[例2]　(2021·邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是__________．[解析]　依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.[答案]　5
考法(三)　焦点弦中距离之和最小问题[例3]　已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．[解析]　由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值，依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.[答案]　2
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
解析：圆C：x2＋(y－1)2＝16的圆心为(0,1)，半径r＝4，与y轴的正半轴的交点为(0,5)，抛物线E：x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线为y＝－1，联立圆的方程和抛物线的方程可得A，B两点的纵坐标为3，所以yP∈(3,5)，故A错误；由抛物线的定义可得|PN|＋|NF|等于点P到抛物线准线的距离，故B正确；圆C的圆心到抛物线准线的距离为2，故C正确；△PFN的周长为|PF|＋|PN|＋|NF|＝r＋yP＋1＝yP＋5∈(8,10)，故D正确．
　直线与抛物线相交问题处理规律(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．
(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．
直观想象——抛物线几何性质的创新应用
求解此类问题有两种方法：一是利用条件坐标化解决，注意几何性质的运用；二是数形结合充分利用平面几何性质，结合定义转化求解，注意向量的工具作用.
[对点训练](多选题)过抛物线y2＝3x的焦点F的直线与抛物线交于A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M(O为坐标原点)，则下列说法正确的是(　　 )