专题11 空间几何体 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）学案

这是一份专题11 空间几何体 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）学案，共9页。

知识梳理.空间几何体
1．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
eq \a\vs4\al(1.简单几何体,1多面体的结构特征)
(2)旋转体的结构特征
4．空间几何体的表面积与体积公式
题型一.正方体的展开与折叠问题
1．如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ）
A．B．C．D．
2．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中不相交的线段的对数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A．AE∥CDB．CH∥BEC．DG⊥BHD．BG⊥DE
题型二.多面体表面最短距离问题
1．如图，正三棱锥S﹣ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（ ）
A．2B．3C．23D．33
2．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为（ ）cm．
A．12B．13C．61D．15
3．如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求绳子最短时，顶点到绳子的最短距离 （用x表示）．
题型三.截面问题
1．如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ）
A．EH∥FGB．EF∥HGC．Ω是棱柱D．Ω是棱台
2．（2018·全国1）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A．334B．233C．324D．32
3．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 ．
题型四.一般空间几何体的表面积与体积
1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A．122πB．12πC．82πD．10π
2．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为（ ）
A．16πB．8πC．16π3D．8π3
3．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 ．
4．已知边长为3的正三角形ABC三个顶点都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为该球半径的一半，则球O的表面积为 ．
5．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为（ ）
A．2B．1C．2D．22
6．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝ cm2．
7．已知正四棱台的侧棱长为3cm，两底面边长分别为2cm和4cm，则该四棱台的体积为 ．
题型五.三棱锥的表面积与体积
1．（2019·全国3）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g．
2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则四面体A﹣EFB的体积为（ ）
A．26B．212C．24D．22
3．如图，在正三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A﹣BCD的体积是 ．
4．如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为 ．
5．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
题型六.空间几何体的最值问题
1．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A出发，绕圆锥侧面一周，再次回到A点，则该质点经过的最短路程为 ．
2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，则P到各顶点的距离的不同取值有 个．
3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段EF，GH分别在AB，CC1上移动，且EF+GH=12，则三棱锥E﹣FGH的体积最大值为 ．
4．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，2，a，且长为a的棱与长为2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．212B．312C．26D．36
5．如图所示，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为棱AC的中点，点P是侧棱AA1上的动点，求△PBD面积的最大值．
6．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方体的表面DCC1D1（包括边界）上的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P﹣BCD体积的最大值是（ ）
A．123B．36C．24D．183
7．若一个圆锥的母线长为4，高为2，则过这个圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值是 ．
8．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（ ）
A．(0，3510π]B．[3S10π，+∞)C．(S5π，3S10π]D．[3S10π，S2π)
课后作业.空间几何体
1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2＝（ ）
A．1：3B．1：1C．2：1D．3：1
2．已知底面半径为1，体积为3π的圆柱，内接于一个高为23圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为（ ）
A．8B．43C．42D．4
3．已知一个圆台的下底面半径为r，高为h，当圆台的上底半径r′变化时，圆台体积的变化范围是 ．
4．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为（ ）
A．13B．14C．12D．16
5．《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍薨，底面ABCD为矩形，且EF∥底面ABCD，EF到平面ABCD的距离为h，BC＝a，AB＝b，则EF＝c时，则VB-CDEFVE-ABD=2时，bc=（ ）
A．12B．32C．23D．1
6．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝4，当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC﹣A1B1C1的体积为（ ）
A．163B．16C．162D．32
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且相等
多边形
互相平行且相似
侧棱
互相平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球▲
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
长度相等且相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3