2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：5 函数的单调性与最值

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[基础达标]
一、选择题
1．[2021·山西名校联考]下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x|B．y＝3－x
C．y＝eq \f(1,x)D．y＝－x2＋4
2．已知函数f(x)＝eq \r(x2－2x－3)，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是( )
A．(－∞，0) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C．[0，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
4．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x2－3x＋1的单调递增区间为( )
A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))
5．[2021·河北大名一中月考]下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝B．f(x)＝x3
C．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xD．f(x)＝3x
二、填空题
6．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
7．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
8．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
9．试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
10．已知函数f(x)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,x)(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，求a的值．
[能力挑战]
11．[2021·河南鹤壁高中月考]若函数y＝ax与y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )
A．增函数B．减函数
C．先增后减D．先减后增
12．[2020·全国卷Ⅰ模拟]已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2a－1，x>1，,x＋a2，x≤1))在R上为增函数，M＝f(a)，N＝f(lg43·lg45)，则M，N的大小关系是( )
A．M＝NB．M>N
C．M13．定义新运算eq \\ac(○,+)：当a≥b时，aeq \\ac(○,+)b＝a；当aA．－1B．1
C．6D．12
课时作业5
1．解析：y＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，y＝3－x在R上单调递减，y＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上单调递减．故选A项．
答案：A
2．解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
答案：B
3．解析：y＝|x|(1－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x(1－x)，x≥0,－x(1－x)，x<0))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋x，x≥0,x2－x，x<0))
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(1,4)，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2－\f(1,4)，x<0.))
画出函数的草图，如图．
由图易知原函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递增．
答案：B
4．解析：令μ＝2x2－3x＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2－eq \f(1,8)，因为μ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2－eq \f(1,8)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4)))上单调递减，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))μ在R上单调递减．所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x2－3x＋1在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4)))上单调递增．
答案：B
5．解析：f(x)＝，f(y)＝，f(x＋y)＝，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，故A错误；f(x)＝x3，f(y)＝y3，f(x＋y)＝(x＋y)3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，故B错误；f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上是单调递减函数，故C错误；f(x)＝3x，f(y)＝3y，f(x＋y)＝3x＋y，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(x)在R上是单调递增函数，故D正确．故选D.
答案：D
6．解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－eq \f(1,a)，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－eq \f(1,a)≥4，解得－eq \f(1,4)≤a<0.
综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))
7．解析：
解法一 在同一直角坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示．易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
解法二 依题意，h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，02.))
当0当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
所以h(x)在x＝2处取得最大值h(2)＝1.
答案：1
8．解析：因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－2答案：[0,1)
9．解析：解法一 设－1f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x－1)))，
f(x1)－f(x2)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2－1)))
＝eq \f(a(x2－x1),(x1－1)(x2－1))，由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)解法二 f′(x)＝eq \f((ax)′(x－1)－ax(x－1)′,(x－1)2)
＝eq \f(a(x－1)－ax,(x－1)2)＝－eq \f(a,(x－1)2).
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
10．解析：(1)证明：任取x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,x1)－eq \f(1,a)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1－x2,x1x2)，因为x1>x2>0，
所以x1－x2>0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上为增函数，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,a)－2＝eq \f(1,2)，
f(2)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,2)＝2，
解得a＝eq \f(2,5).
11．解析：∵y＝ax与y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－eq \f(b,2a)<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．
答案：B
12．解析：由题意知1＋2a－1≥1＋a2，∴(a－1)2≤0，∴a＝1.又lg43·lg45f(lg43·lg45)，即M>N.故选B.
答案：B
13．解析：由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1答案： C