高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试精品同步测试题

8.2三角恒等变换同步练习人教   B版（2019）高中数学必修第三册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

A.  B.  C.  D.

2. 如果，那么的值为 

A.  B.  C.  D.

3. 已知方程的两根分别为，，且，，则

A.  B. 或 C. 或 D.

4. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则           

A.  B.  C.  D.

5. 已知是第二象限角，且，则   

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则 

A.  B.  C.  D.

7. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则

A.  B.  C.  D. 1

8. 已知，，则     

A.  B.  C.  D.

9. 若，则

A.  B.  C.  D.

A.  B.  C.  D.

11. 在中，若，则的形状为      

A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

A.  B.  C.  D. 1

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知，则的值是          ．
14. 设当时，函数取得最大值，则          ．
15. 在ABC中，A，是方程的两根，则          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知，则          ，          ．
17. 已知，则          ；          ．
18. 已知锐角满足，，则          ，          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知函数．

求的最小正周期

求在区间上的最大值和最小值．






 

20. 已知，，且．

求的值

求．






 

21. 已知，，且，
    求的值；
    求．
    
    
    
    
    
    
     
22. 计算：；
    已知，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知，为锐角，，．

求的值；

求的值．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了和角正弦公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
结合辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解．

【解答】

解：


．
故选：A．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．
根据求解即可．

【解答】

解：，

，
故选C．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查两角和的正切公式的应用，属于中档题．
根据韦达定理得到，，则利用两角和的正切公式得到，即可求出答案，注意隐含条件，的挖掘．

【解答】

解：由题意知，，，
．
，
，
，，
又，，
，，
，
又，
．
故选D．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于中档题．

由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为，列方程组求出直角边得出，代入所求即可得出答案．

【解答】

解：由题意可知小正方形的边长为a，大正方形的边长为5a，
直角三角形的面积为，

设直角三角形的直角边分别为x，y且，则由对称性可得，

直角三角形的面积为，

联立方程组可得，，

，．

，

故选D．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式，属基础题．
根据条件求出，再利用二倍角公式即可求出结果．

【解答】

解：是第二象限角，且，

所以，

则．

故选D．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数基本关系以及二倍角公式的应用，属于基础题．
先求出，再利用二倍角公式即可求解．

【解答】

解：由，可得，
由，
可得，
故选C．

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
推导出，从而，进而，由此能求出结果．

【解答】

解：角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
终边上有两点，，且，
，解得，
，，
，
故选：B．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
由二倍角公式化简已知条件可得，结合角的范围可求得，，可得，根据同角三角函数基本关系式即可解得的值．

【解答】

解：，
由二倍角公式可得，
，，，
，
则有，
解得．
故选B．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式，利用同角三角函数中的平方关系，完成弦与切的互化，属于基础题．

【解答】

解：由，
得
，
故选D．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的求值，考查诱导公式与两角和的正切公式应用，是基础题．
利用诱导公式变形，再由两角和的正切即可求解．

【解答】

解：
，
故选D．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查三角形形状的判断，涉及两角和与差的三角函数公式、二倍角正弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．由得，运用两角和与差的三角函数公式及二倍角正弦公式求解．

【解答】

解：，
，
，
，
，
或，
，
，
为直角三角形或等腰三角形．
故选D．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
根据，利用两角和的正切公式的变形可得，移项得解．

【解答】

解：
，
．
．
故选D．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数公式及二倍角公式的应用，是中档题．
由已知求得，分类利用公式求得，的值，展开两角和的正弦求的值．

【解答】

解：由，得，
，解得或．
当时，，
，
；
当时，，，
．
综上，的值是．
故答案为：．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．
根据三角函数的诱导公式进一步分析得，从而求出的值即可．

【解答】

解：函数，
其中，，，
当时，函数取得最大值，
，，即，，
，
故答案为：．

15.【答案】2
 

【解析】

【分析】

此题考查学生灵活运用韦达定理、诱导公式及两角和的正切函数公式化简求值，是中档题．
首先根据韦达定理表示出两根之和与两根之积tanAtanB，然后根据三角形的内角和为，把角C变形为，利用诱导公式化简后，然后再利用两角和的正切函数公式化简，把与tanAtanB代入即可求出值．

【解答】

解：，tanB是方程的两个根，
根据韦达定理，
则，，
则


．
故答案为2．

16.【答案】

1

【解析】

【分析】

本题考查了二倍角的余弦公式、辅助角公式，熟练掌握公式是解题的关键．
根据二倍角的余弦公式、辅助角公式化简左边，即可得到答案．

【解答】

解：

，
，，
故答案为：；1．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用．
利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．

【解答】

解：，
则．
．
故答案为：；．

18.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．
先求出角的正弦和正切，再利用两角和的正切公式求解即可

【解答】解：锐角满足，，
，，
则，
，，故．
故答案为．  

19.【答案】解：因为



，
所以的最小正周期为
因为，
所以．
故当，即时，取得最大值
当，即时，取得最小值．
 

【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．
利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，即可求出函数的最小正周期
先根据x的取值范围求得的范围，再由正弦函数的性质即可求出函数的最大值和最小值．
 

20.【答案】解：由，，
得．

，

．

由，得．

，

．

由，
得

，
又，
．

【解析】本题考查同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题．

先求，再求，用正切函数的二倍角公式可得结果；

先求，再根据求得，即得结果．

21.【答案】解：由，，可得，
，则；
由，，且，
得，
可得，

．
 

【解析】由已知求得，进一步得到，再由二倍角的正切求解；
由已知求得，利用，展开两角差的余弦得答案．
本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．
 

22.【答案】解：原式
；
原式
．
 

【解析】本题考查了指数与对数的运算、三角函数的公式应用问题，解题的关键是掌握对数和指数的运算性质以及三角恒等式，属于基础题．
直接利用有理指数幂和对数的运算性质进行变形化简，即可得到答案；
利用二倍角公式以及两角和差公式将要求解得式子化简，然后再利用同角三角函数关系求解即可．
 

23.【答案】解：因为，所以，
所以或，

又，所以                                

所以；                                

因为，，为锐角，
所以，

所以，
                                    
．

【解析】本题考查三角函数化简求值，考查两角和与差的三角函数公式，考查推理能力和计算能力，属于一般题．
先求出，再利用二倍角公式即可求解；
先求出，再利用即可求解．