2022版江苏高考数学一轮复习讲义：第8章 第5节 第2课时　直线与椭圆 Word版含答案学案

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第2课时　直线与椭圆

考点1　直线与椭圆的位置关系
　研究直线与椭圆位置关系的方法
直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，
①Δ＞0⇔直线与椭圆相交．
②Δ＝0⇔直线与椭圆相切．
③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．
　1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m＞1　　　　　　　 B．m＞0
C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5
D　[∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，
∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，
只需＋≤1，
即m≥1，
又m≠5，
故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D.]
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数； (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
考点2　弦长及中点弦问题
　中点弦问题
　处理中点弦问题常用的求解方法

(1)过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)
A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0
(2)[一题多解](2019·惠州模拟)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 ．
(1)B　(2)＋＝1　[(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由题意得
①－②得＋＝0，
又P(3,1)是AB的中点．
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
故直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，
即3x＋4y－13＝0，故选B.
(2)法一：(直接法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆方程为＋＝1(b>0)，由 消去x，
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知＝1，
∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆的方程为＋＝1(b>0)．
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得
＋＝0，
即·＝－，
又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，
k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，故所求的椭圆方程为＋＝1.]
　“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
提醒：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM＝－，
即kAB＝－比较方便快捷，
其中点M的坐标为(x0，y0)．
[教师备选例题]
已知椭圆＋y2＝1.
(1)若过A(2,1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程．
[解](1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点为M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：

①－②得＝－＝－，
所以－＝，
化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分)．
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，
因此所求直线方程是y－＝－，
化简得2x＋4y－3＝0.
　1.(2019·江西五市联考)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
A　[由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有ax＋by＝0，①
ax＋by＝0，②
由①－②得a(x－x)＝－b(y－y)，整理得·＝－，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，∴－×(－1)＝－，∴＝－，故选A.]
2.已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，点A和点B关于直线l对称，l与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是 ．

　[设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
因为直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，
所以方程有两个不等实根．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，
x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，
因为点A和点B关于直线l对称，
所以直线l为AB的垂直平分线，其方程为
y－y0＝－(x－x0)．
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋，
因为k≠0，所以－ 即点G横坐标的取值范围为.]
　弦长问题
　求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝(k为直线斜率)．
　(2019·武汉模拟)设离心率为的椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为－1.
(1)求E的方程；
(2)矩形ABCD的两顶点C，D在直线y＝x＋2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．
[解](1)Rt△PF1F2内切圆的半径r＝(|PF1|＋|PF2|－|F1F2|)＝a－c，依题意有a－c＝－1.
又＝，则a＝，c＝1，从而b＝1.
故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝x＋m，
代入椭圆E的方程，整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
由Δ>0得－ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.
|AB|＝|x2－x1|＝.
易知|BC|＝，则由－ 所以由已知可得|AB|＋|BC|＝，
即＋＝，
整理得41m2＋30m－71＝0，
解得m＝1或m＝－(均满足－ 所以直线AB的方程为y＝x＋1或y＝x－.
　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
[教师备选例题]
已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
[解](1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.
当t＝4时，椭圆E的方程为＋＝1，A(－2,0)．
由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0，
解得y＝0或y＝，
所以y1＝.
所以S△AMN＝2×××＝.
(2)由题意知t>3，k>0，A(－，0)，设M(x1，y1)，
将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1，
得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·(－)＝，
得x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)，
当k＝时上式不成立，因此t＝.
t>3等价于＝<0，即<0.
由此得或解得 因此k的取值范围是(，2)．
　1.斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D.
C　[设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0即t2<5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，|AB|＝＝≤(当且仅当t＝0时取等号)．]
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，|AB|＝4.

(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．
[解](1)由题意知e＝＝，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD的方程为y＝－(x－1)．
将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|
＝·＝.
同理，|CD|＝＝.
所以|AB|＋|CD|＝＋
＝＝，解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
考点3　直线与圆锥曲线的综合问题
　解决直线与圆锥曲线的综合问题的一般步骤
第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；
第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；
第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；
第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．
　椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值．
[解](1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.由题意知＝1，即a＝2b2.
又e＝＝，所以a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，
又F1(－，0)，F2(，0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为
lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
lPF2：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由题意知＝.
由于点P在椭圆上，
所以＋y＝1.
所以＝.
因为－ 可得＝，
所以m＝x0，因此－ (3)设P(x0，y0)(y0≠0)，
则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．
联立得
整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.
由题意Δ＝0，即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.
又＋y＝1，
所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，故k＝－.
由(2)知＋＝＋＝，
所以＋＝＝·＝－8，
因此＋为定值，这个定值为－8.
　本例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程．
[教师备选例题]
设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．
[解](1)因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以＝.
因为椭圆的离心率为，
所以＝，
又a2＝b2＋c2，
可解得b＝，c＝1，a＝.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)可知F(－1,0)，
则直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
联立
消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
又A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋＝8，
解得k＝±.
从而x1＋x2＝－＝－，
x1x2＝＝0.
所以|x1－x2|＝＝＝，
　|CD|＝|x1－x2|＝×＝.
而原点O到直线CD的距离d＝＝＝，
所以S△OCD＝|CD|×d＝××＝.
　(2019·南师附中四校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，过左焦点F(－，0)的直线l与椭圆交于A，B两点．当直线l⊥x轴时，AB＝1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在y轴上，且△PAB是以点P的直角顶点的等腰直角三角形，求直线AB的方程．
[解](1)由已知，得
得
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设AB的中点为M，连接PM(图略)，∵△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB＝2PM，
①若直线AB与x轴垂直，AB＝1，OF＝，不合题意，舍去．
②若直线AB与y轴垂直，AB＝4，当点P的坐标为(0,2)或(0，－2)时，符合题意，此时直线AB的方程为y＝0.
③若直线AB不与x轴垂直，设AB：y＝k(x＋)，
与椭圆方程＋y2＝1联立，整理得(1＋4k2)x2＋8k2x＋12k2－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得x1,2＝，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
∴AB＝|x1－x2|＝＝＝，
AB的中点M的横坐标为，
PM＝，
∴2＝，∴k＝±.
∴直线AB的方程为y＝(x＋)或y＝－(x＋)．
综上，直线AB的方程为y＝(x＋)或y＝－(x＋)或y＝0.
课外素养提升⑧　数学运算——“设而不求”在解析几何中的妙用

“设而不求”是解析几何解题简化运算的一种重要手段，它的精彩在于通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，最大限度地减少运算；同时，“设而不求”也是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．


活用定义，转化坐标

【例1】　在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 ．
y＝±x　[设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4×⇒yA＋yB＝p，
由 可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.]
[评析]　设出点的坐标，先通过抛物线的定义，实现点的坐标与几何关系|AF|＋|BF|＝4|OF|的转换，然后借助根与系数的关系建立参数a，b的等量关系，达到设而不求，从而求得双曲线的渐近线方程．
【素养提升练习】　抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为 ．
　[设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，
又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP，
则＝＝≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)，
所以≥，
所以的最小值为.]


妙用“点差法”，构造斜率
【例2】　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为(　　)
A.＋＝1　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
①－②得＋＝0，
所以kAB＝＝－＝.
又kAB＝＝，所以＝.
又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的方程为＋＝1.]
[评析]　该题目属于中点弦问题，可设出A，B两点的坐标，通过“点差法”，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
【素养提升练习】　1.抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是 ．
(－，)　[当k＝0时，显然成立．
当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得y<2x0，即(－k)2<2，所以－ 综上，k的取值范围为(－，)．]
2．已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
[解]　假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，由
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
又＝1，＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝2，
故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由 消去y得2x2－4x＋3＝0，
因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．


巧引参数，整体代入

【例3】　已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
[解](1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.
解得x1＝－2，x2＝－，所以M.
(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，
联立方程
化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
则xA＋xM＝，
xM＝－xA－＝2－＝.
同理，可得xN＝.
由(1)知若存在定点，则此点必为P.
证明如下：
因为kMP＝＝＝，
同理可计算得kPN＝.
所以直线MN过x轴上的一定点P.
[评析]　第(2)问先设出AM的方程为y＝k(x＋2)，联立方程，利用根与系数的关系求出xM，在此基础上借助kAM·kAN＝－1，整体代入求出xN.
【素养提升练习】　已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的最小值．
[解]　法一：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：x＝ty＋，则直线l1的斜率为，联立方程得 消去x得y2－2ty－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－1.
所以|AB|＝|y1－y2|＝·＝·＝2t2＋2，
同理得，用替换t可得|DE|＝＋2，所以|AB|＋|DE|＝2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t2＝，即t＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.
法二：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k，l2：y＝－.
由消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝1＋.
由抛物线的定义知，
|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋.
同理可得，用－替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当＝2k2，即k＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.