2021届高中数学一轮复习人教版（文理通用）第8章第5讲椭圆作业

这是一份2021届高中数学一轮复习人教版（文理通用）第8章第5讲椭圆作业，共8页。
对应学生用书[练案58理][练案54文]第五讲　椭圆A组基础巩固一、选择题1．(2019·上海浦东新区模拟)方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　D　)A．k>4　 B．k＝4C．k<4　 D．0<k<4[解析]　椭圆的标准方程为＋＝1，焦点在x轴上，所以0<k<4.2．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程为(　A　)A．＋＝1　 B．＋＝1C．＋＝1　 D．＋＝1[解析]　设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则a2－b2＝c2＝5，且＋＝1，解方程组得a2＝15，b2＝10，故所球椭圆方程为＋＝1.3．(2020·河南中原名校模拟)已知点P(x1，y1)是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是(　B　)A．　 B．12C．16(2＋)　 D．16(2－)[解析]　∵椭圆的方程为＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝×(2×3)×4＝12，故选B． 4．(2020·杭州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　A　)A．＋＝1　 B．＋y2＝1C．＋＝1　 D．＋＝1[解析]　由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A．5．(2019·惠州二模)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　D　)A．　 B．　C．　 D． [解析]　如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D． 6．(2020·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为(　D　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　设P(x0，y0)，则×＝－，化简得＋＝1，则＝，e＝＝＝，故选D．7．(2019·河北省衡水中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(　A　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　直线l的斜率为－，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以＝，又b2＋c2＝a2⇒(c)2＋c2＝a2⇒c2＝a2，所以e＝＝，故选A．8．(2019·辽宁省大连市模拟)过椭圆＋＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为(　D　)A．12　 B．14　C．16　 D．18[解析]　设椭圆另一个焦点为F′，则|PF|＝|F′Q|，∴|PF|＋|FQ|＝|F′Q|＋|FQ|＝2a＝10，又|PQ|＝2|OQ|≥8(当Q为短轴端点时取等号)∴△PFQ周长的最小值为8.故选D．9．(2019·广西桂林期末)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　C　)A．2　 B．3　C．6　 D．8[解析]　设点P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.又因为点F(－1,0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(·)max＝6.10．(2019·南昌二模)已知椭圆C：＋x2＝1，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　B　)A．9x－y－4＝0　 B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0　 D．x＋y－5＝0[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋x＝1，＋x＝1，两式相减得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又y1＋y2＝1，x1＋x2＝1，∴kAB＝＝－9，∴直线AB的方程为y－＝－9(x－)，即9x＋y－5＝0，故选B．二、填空题11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为＋＝1　.[解析]　由题意得解得所以椭圆C的方程为＋＝1.12．(2019·重庆一中、湖北鄂州期中)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>3)的左、右焦点，P为椭圆上一点且满足∠F1PF2＝120°，则|PF1|·|PF2|的值为36  .[解析]　由题意知4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4(a2－c2)＝4b2＝36.13．(2020·武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，若—个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为－　.[解析]　设另一个焦点为F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，∴△ABC为等腰直角三角形．∴1＋1＋＝4a，则a＝.∴|AF|＝2a－1＝，∴1＋()2＝4c2，∴c＝，∴e＝＝－.三、解答题14．已知椭圆的两焦点为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e＝.(1)求此椭圆的方程；(2)设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．(3)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．[解析]　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝，＝，所以a＝2，b＝1，所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)由消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，则Δ>0，得m2<5.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1－y2＝x1－x2，|PQ|＝＝2.解得m＝±，满足(*)，所以m＝±.(3)显然直线x＝0不满足题设条件，可设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，整理得(k2＋)x2＋4kx＋3＝0，∴x1＋x2＝－，x1·x2＝，由Δ＝(4k)2－4(k2＋)×3＝4k2－3>0得，k>或k<－.①又∠AOB为锐角，∴·>0，∴·＝x1x2＋y1y2>0.又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，∴＋>0，即k2<4，∴－2<k<2.②由①②得，－2<k<－或<k<2.B组能力提升1．(2019·河南洛阳一模)已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于(　C　)A．5　 B．6　C．9　 D．10[解析]　由椭圆＋＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得＝2，解得m＝9.故选C．2．(2020·安徽六校联考)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为(　A　)A．－1　 B．　C．　 D．[解析]　由题意得：PF1⊥PF2，且|PF2|＝c，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a－c，由勾股定理得：(2a－c)2＋c2＝4c2⇒e2＋2e－2＝0，解得：e＝－1，故选A．3．(2019·河北唐山一模)椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2垂直x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则椭圆C的离心率为(　D　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　由得y＝±，由题意可知＝tan 30°＝，∴＝，即＝.解得e＝，故选D．4．(2019·年全国)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　B　)A．＋y2＝1　 B．＋＝1C．＋＝1　 D．＋＝1[解析]　如图，由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠F1AB＝＝，在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·＝4，解得n＝.∴2a＝4n＝2，∴a＝，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，∴所求椭圆方程为＋＝1，故选B．5．(2019·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4，A(，0)，A1(－，0)，点P为平面内一动点，以PA为直径的圆与圆C相切．(1)求证：|PA1|＋|PA|为定值，并求出点P的轨迹C1的方程；(2)若直线PA与曲线C1的另一交点为Q，求△POQ面积的最大值．[解析]　(1)设点P(x，y)，记线段PA的中点为M，则两圆的圆心距d＝|OM|＝|PA1|＝2－|PA|，所以|PA1|＋|PA|＝4>2，故点P的轨迹C1是以A，A1为焦点，以4为长轴的椭圆，C1的方程为＋y2＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋，代入＋y2＝1消去x，整理得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，△POQ的面积S＝|OA||y1－y2|＝2·.令t＝(0<t≤)，则S＝2·≤1(当且仅当t＝时取等号)．所以△POQ面积的最大值为1.