高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第六节简单的三角恒等变形课时规范练含解析文北师大版

第三章　三角函数、解三角形

第六节　简单的三角恒等变形

课时规范练

A组——基础对点练

1．化简：＝(　　)

A．sin2α　　　　　　 B．tan2α

C．sin2   D．tan2

解析：原式＝＝tan2 .

答案：D

2．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝.

答案：A

3．计算：＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：原式＝－·＝·tan ＝－.

答案：D

4．(2020·长沙质检)sin 163°sin 223°＋sin 253°·sin 313°等于(　　)

A．－  B．

C．－  D．

解析：原式＝sin 163°sin 223°＋cos 163°·cos 223°＝cos(163°－223°)＝cos(－60°)＝.

答案：B

5．(2020·吉林三模)已知＝tan β，且β－α＝，则m＝(　　)

A．1  B．－1

C.  D．－

解析：由于＝＝tan β＝tan(α＋)＝，故m＝1.

答案：A

6．(2020·青岛二模)若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α为第二象限角，则tan(α＋)＝(　　)

A．7  B．

C．－7  D．－

解析：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，即sin αcos β sin β－cos αsin2 β－cos αcos2 β－sin αsin βcos β＝，即cos α＝－.又α为第二象限角，

∴tan α＝－，∴tan(α＋)＝＝，故选B.

答案：B

7．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋·tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)

A．α＜＜β  B．β＜＜α

C.＜α＜β  D．＜β＜α

解析：因为α是锐角且sin α－cos α＝＞0，

所以sin α＞cos α，即tan α＞1，故α＞，

又因为tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，

所以tan(α＋β)＝＝，

故α＋β＝，所以α＝－β＞，

故β＜，所以β＜＜α.

答案：B

8．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为的偶函数

解析： f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)，f(－x)＝(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为的偶函数，选D.

答案：D

9．(2020·宁波模拟)已知sin α＝，α∈(，π)，则＝________．

解析：＝

＝cos α－sin α，

∵sin α＝，α∈(，π)，

∴cos α＝－，∴原式＝－.

答案：－

10．(2020·江西名校联考)已知cos(α－)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是________．

解析：∵cos(α－)＋sin α＝，

∴cos α＋sin α＝，(cos α＋sin α)＝，sin(＋α)＝，

∴sin(＋α)＝，

∴sin(α＋)＝－sin(＋α)＝－.

答案：－

B组——素养提升练

11．已知f(x)＝2tan x－，则f＝______．

解析：因为f(x)＝2tan x－＝2tan x＋2·＝＋＝＝，

所以f＝＝＝8.

答案：8

12．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小值是__________．

解析：f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＝＋sin 2x＝sin＋，当sin＝－1时，f(x)min＝.

答案：

13．已知函数f(x)＝sin(3x＋)．

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)·cos 2α，求cos α－sin α的值．

解析：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.

(2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，所以sin αcos ＋cos αsin ＝(cos αcos －sin αsin )·(cos2α－sin2α)，

即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．

当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cos α－sin α＝－.

当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.

由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，

此时cos α－sin α＝－.

综上所述，cos α－sin α＝－或－.

14．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期是π.

(1)求函数f(x)在区间x∈(0，π)上的单调递增区间；

(2)求f(x)在上的最大值和最小值．

解析：(1)f(x)＝4cos ωxsin

＝4cos ωx

＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1－1

＝sin 2ωx－cos 2ωx－1

＝2sin－1，

且f(x)的最小正周期是＝π，所以ω＝1，

从而f(x)＝2sin－1.

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

所以函数f(x)在x∈(0，π)上的单调递增区间为和.

(2)当x∈时，2x∈，

所以2x－∈，

2sin∈，

所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，

当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1，

所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－1.