高考数学一轮复习第十一章基本算法语句及鸭第三节选修4_5不等式选讲课时规范练理含解析新人教版

选修4-5 不等式选讲

[A组　基础对点练]

1．(2021·黑龙江大庆模拟)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋4|.

(1)解不等式：f(x)>0；

(2)若f(x)＋3|x＋4|≥|a－1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．

解析：(1)原不等式即为|2x－1|－|x＋4|>0，

当x≤－4时，不等式化为1－2x＋x＋4>0，解得x<5，

即不等式组的解集是{x|x≤－4}．

当－4<x<时，不等式化为1－2x－x－4>0，解得x<－1，即不等式组的解集是{x|－4<x<－1}．

当x≥时，不等式化为2x－1－x－4>0，解得x>5，

即不等式组的解集是{x|x>5}．

综上，原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}．

(2)∵f(x)＋3|x＋4|＝|2x－1|＋2|x＋4|＝|1－2x|＋|2x＋8|≥|(1－2x)＋(2x＋8)|＝9，

∴由题意可知|a－1|≤9，解得－8≤a≤10，

故所求a的取值范围是{a|－8≤a≤10}．

2．设函数f(x)＝|x＋1|.

(1)若f(x)＋2x＞2，求实数x的取值范围；

(2)设g(x)＝f(x)＋f(ax)(a＞1).若g(x)的最小值为，求a的值．

解析：(1)∵f(x)＋2x＞2，即|x＋1|＞2－2x⇔或⇔x＞，

∴实数x的取值范围是.

(2)∵a＞1，∴－1＜－＜0，

∴g(x)＝

易知函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，

∴g(x)min＝g＝1－，

∴1－＝，解得a＝2.

3．已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.

(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；

(2)证明：＋＋≤＋＋.

证明：(1)1＋a≥2，1＋b≥2，1＋c≥2，

相乘得(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8＝8.

(2)＋＋＝ab＋bc＋ac，

ab＋bc≥2＝2，

ab＋ac≥2＝2，

bc＋ac≥2＝2，

相加得＋＋≤＋＋.

4．解不等式：|x＋1|＋|x－1|≤2.

解析：当x＜－1时，

原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，

解得x≥－1，又因为x＜－1，故无解；

当－1≤x≤1时，

原不等式可化为x＋1＋1－x＝2≤2，恒成立；

当x＞1时，

原不等式可化为x＋1＋x－1≤2，

解得x≤1，又因为x＞1，故无解．

综上，不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为[－1，1].

5．若x∈[－1，1]，|y|≤，|z|≤，求证：|x＋2y－3z|≤.

证明：因为x∈[－1，1]，|y|≤，|z|≤，

所以|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|≤1＋2×＋3×＝，

所以|x＋2y－3z|≤成立．

[B组　素养提升练]

1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2.

(1)求证：a2＋b2≥2；

(2)求证： ≥1＋.

证明：(1)a2＋b2≥(a＋b)2＝2.

(2)因为＋＝·＝＋＋≥＋＝，当且仅当a＝4－2，b＝2－2时取等号，所以 ≥1＋.

2．已知函数f(x)＝|2x－1|.

(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；

(2)若关于x的不等式f(x)＜m－f(x＋1)的解集不是空集，求m的取值范围．

解析：(1)f(x)－f(x＋1)≤1⇔|2x－1|－|2x＋1|≤1，

则或

或

解得x≥或－≤x＜，即x≥－，

所以原不等式的解集为.

(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|＜m有解，

则m＞(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．

由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈时等号成立，故m＞2.所以m的取值范围是(2，＋∞).

3．已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|.

(1)若不等式f(x)≤|a＋1|恒成立，求a的取值范围；

(2)求不等式|f(x)－|x＋2||＞3的解集．

解析：(1)f(x)＝|x－1|－|x＋2|≤|(x－1)－(x＋2)|＝3，

由f(x)≤|a＋1|恒成立得|a＋1|≥3，即a＋1≥3或a＋1≤－3，解得a≥2或a≤－4，

∴a的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞).

(2)不等式|f(x)－|x＋2||＝||x－1|－2|x＋2||＞3等价于|x－1|－2|x＋2|＞3或|x－1|－2|x＋2|＜－3，

令g(x)＝|x－1|－2|x＋2|＝.

由x＋5＝－3得x＝－8，

由－3x－3＝－3得x＝0，

作出g(x)的图象如图所示，

由图象可得原不等式的解集为{x|x＜－8或x＞0}．