2020-2021学年2.3互斥事件复习练习题

二十一　互 斥 事 件

(20分钟·35分)

1.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数,分别有下列事件:

①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数;

②至少有一个是奇数和两个数都是奇数;

③至少有一个是奇数和两个数都是偶数;

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

其中,为互斥事件的是 (　　)

A.①  B.②④  C.③  D.①③

【解析】选C.由互斥事件的定义知,只有③的两个事件不会同时发生.

2.某城市2019年的空气质量状况如表所示:

其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污染.该城市2019年空气质量达到良或优的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.根据题意,空气质量达到良或优的概率为++=.

3.把红、黑、黄、白4球随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1个球,事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是              (　　)

A.对立事件

B.不可能事件

C.互斥但不对立事件

D.以上答案都不对

【解析】选C.因为两个事件不能同时发生,但可能同时不发生,所以是互斥事件,不是对立事件.

4.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则 (　　)

A.A⊆B      B.A⊇B

C.A与B互斥     D.A与B对立

【解析】选C.显然事件A与B不能同时发生,但又不一定非要发生一个,有可能都不发生,故A与B互斥,不是对立事件.

5.从一批羽毛球产品中任取一个,如果其质量小于4.8 g的概率是0.3,质量不小于4.85 g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85) g范围内的概率是______. 

【解析】设事件A=“质量小于4.8 g的羽毛球”,B=“质量在[4.8,4.85) g范围内的羽毛球”,C=“质量不小于4.85 g的羽毛球”.则A,B,C互斥,且A+B+C=Ω,所以P(Ω)=P(A+B+C),即1=0.3+P(B)+0.32,所以P(B)=0.38.

答案:0.38

6.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:

已知同种血型的人可以互相输血,O型血可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血,李明是B型血,若他因病需要输血,问:

(1)任找一个人,其血可以输给李明的概率是多少?

(2)任找一个人,其血不能输给李明的概率是多少?

【解析】对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,

P(D′)=0.35.

(1)因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事件B′+

D′,根据概率的加法公式,得P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.

(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能输给B型血的人”为事件A′+C′,且P(A′+ C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.

(30分钟·60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”,事件D为“落地时向上的点数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是              (　　)

A.A与B     B.B与C

C.A与D     D.B与D

【解析】选C.A与D互斥,但不对立.

2.围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,从中取出2粒都是白子的概率是.那么,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是              (　　)

A.    B.   C.   D.1

【解析】选C.“2粒恰好是同一色”包含两个互斥事件:“2粒都是黑子”和“2粒都是白子”,所以所求概率P=+=.

3.据某医疗机构调查,某地区居民血型分布为:O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%.现有一血型为A的病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率约为              (　　)

A.65%   B.45%   C.20%   D.15%

【解析】选A.A型或者O型可为A型病人输血,所以所求概率约为50%+15%=65%.

4.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是              (　　)

A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件

B.B+C与D是互斥事件,也是对立事件

C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件

D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件

【解析】选D.由于A,B,C,D彼此互斥,且A+B+C+D是一个必然事件,故其事件的关系可由图表示.由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.

5.从1,2,3,…,9这九个数字中,随机抽取一个数,则这个数是3的倍数或5的倍数的概率是              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.取到的数是3的倍数的概率P1==,取到的数是5的倍数的概率为P2=,所以取到的数是3的倍数或5的倍数的概率P=P1+P2=.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.从一篮子鸡蛋中任取一个,其质量小于30克的概率为0.3,质量在[30,40](克)的概率为0.4,则其质量大于40克的概率为________. 

【解析】其质量大于40克的概率P=1-0.3-0.4=0.3.

答案:0.3

7.某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________. 

【解析】该射手在一次射击中不超过8环的概率为P=1-0.2-0.3=0.5.

答案:0.5

8.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球,从中摸出1个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为________. 

【解析】所求概率P=1-0.45-0.23=0.32.

答案:0.32

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.袋中装有大小和质地相同的红球、白球、黑球若干个,它们的数量比依次是2∶1∶1,现用分层抽样的方法从中抽取一个样本,抽出的红球和黑球一共有6个.

(1)求样本中红球、白球、黑球的个数;

(2)若从样本中任取2个球,求下列事件的概率:

①含有红球;

②恰有1个黑球.

【解析】(1)因为红球和黑球在总数中所占比例为=,样本中所有球的总数N==8.

所以红球的个数为×8=4,白球的个数为×8=2,黑球的个数为×8=2.

(2)记“2个球1红1白”为事件A,“2个球1红1黑”为事件B,“2个球都是红球”为事件C,“2个球1白1黑”为事件D.

则A中的基本事件个数为8,B中的基本事件个数为8,C中的基本事件个数为6,D中的基本事件个数为4,全部基本事件的总数为28.

①方法一:含有红球的概率P1=P(A)+P(B)+P(C)=++=.

方法二:“2个都是白球”“2个都是黑球”的基本事件个数都为1,含有红球的概率P1=1-=.

②恰有1个黑球的概率P2=P(B)+P(D)=+=.

10.据统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下:

求:(1)至多有两人排队等候的概率;

(2)至少有三人排队等候的概率;

(3)至少有两人排队等候的概率.

【解析】记“在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人或更多”的事件分别为A,B,C,D,E,F.则A,B,C,D,E,F彼此互斥.

(1)至多有两人排队等候的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一:至少有三人排队等候的概率为

P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二:因为至少三人排队等候与至多两人排队等候是对立事件,故由对立事件的概率公式,至少三人排队等候的概率是

P(D+E+F)=1-P(A+B+C)=1-0.56=0.44.

(3)方法一:至少有两人排队等候的概率为P(C+D+E+F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)

=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.

方法二:至少有两人排队与少于两人排队等候是对立事件,所以所求概率为1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.1+0.16)=0.74.

1.某商店月收入(单位:元)在下列范围内的概率如表所示:

已知月收入在[1 000,3 000)内的概率为0.67,则月收入在[1 500,3 000)内的概率为______. 

【解析】令A表示月收入在[1 000,1 500),B表示月收入在[1 500,2 000),C表示月收入在[2 000,2 500),D表示月收入在[2 500,3 000),因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.

答案:0.55

2.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.

(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;

(2)求他不乘轮船去的概率;

(3)如果他乘A或B去开会的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?

【解析】记“他乘火车去”为事件A1,“他乘轮船去”为事件A2,“他乘汽车去”为事件A3,“他乘飞机去”为事件A4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥.

(1)P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.

(2)设他不乘轮船去的概率为P,

则P=1-P(A2)=1-0.2=0.8.

(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,

1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.4+0.1)=0.5,

故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.

【补偿训练】

如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.

【解析】(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),

所以用频率估计相应的概率为0.44.

(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,

故由调查结果得频率为

(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.

由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,因为P(A1)>P(A2),所以甲应选择L1.

同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,

P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,因为P(B1)<P(B2),所以乙应选择L2.