中考数学二轮复习压轴专题：三角形（含解析）学案

这是一份中考数学二轮复习压轴专题：三角形（含解析）学案，共33页。学案主要包含了探究发现，数学思考等内容，欢迎下载使用。

《三角形》

1．在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM＝135°，CN＝CM，如图①
（1）求证：∠ACN＝∠AMC
（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：
（3）延长线段AB到点P，使BP＝BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN＝CP始终成立？（写出探究过程）

解：（1）∵∠BAC＝45°，
∴∠AMC＝180°﹣45°﹣∠ACM＝135°﹣∠ACM，
∵∠NCM＝135°，
∴∠ACN＝135°﹣∠ACM，
∴∠ACN＝∠AMC；
（2）过点N作NE⊥AC于E，

∵∠CEN＝∠CDM＝90°，∠ACN＝∠AMC，CM＝CN，
∴△NEC≌△CDM（AAS）
∴NE＝CD，CE＝DM；
∵S1＝AC•NE，S2＝AB•CD，
∴＝；
（3）当AC＝2BD时，对于满足条件的任意点N，AN＝CP始终成立，
理由如下：过点N作NE⊥AC于E，

由（2）可得NE＝CD，CE＝DM，
∵AC＝2BD，BP＝BM，CE＝DM，
∴AC﹣CE＝BD+BD﹣DM
∴AE＝BD+BP＝DP，
∵NE＝CD，∠NEA＝∠CDP＝90°，AE＝DP，
∴△NEA≌△CDP（SAS）
∴AN＝PC．
2．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．
（Ⅰ）求C点的坐标；
（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．

解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：
∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠MAC＝∠OBA，
在△MAC和△OBA中，，
∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
∴OM＝6，
∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），
故答案为（﹣6，﹣2）；
（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，
则四边形OEDQ是矩形，
∴DE＝OQ，
∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠QPD＝∠OAP，
在△AOP和△PDQ中，，
∴△AOP≌△PDQ（AAS），
∴AO＝PQ＝2，
∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；
（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，
则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，
∴四边形OSFT是正方形，
∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，
∴∠HFS＝∠GFT，
在△FSH和△FTG中，，
∴△FSH≌△FTG（AAS），
∴GT＝HS，
又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），
∴OT═OS＝4，
∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，
∴﹣4﹣m＝n+4，
∴m+n＝﹣8．



3．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P
（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为　AE＝BD　．
②∠APC的度数为　60°　．
（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明
（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为　AE＝BD，AE⊥BD　．

解：（1）观察猜想：①如图1，

设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，
∴∠ACE＝∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE＝S△BCD，
∵∠AOC＝∠DOP，
∴∠DPO＝∠ACO＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵S△ACE＝S△BCD，
∴×AE×CH＝×BD×CG，
∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，
∴CP平分∠APB，
∴∠APC＝60°，
故答案为AE＝BD，60°．

（2）数学思考：：①成立，②不成立，

理由：设AC交BD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，
∴∠ACE＝∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，
∵∠AOP＝∠DOC，
∴∠APO＝∠DCO＝60°，
∴∠DPE＝120°，
∵S△ACE＝S△BCD，
∴×AE×CH＝×BD×CG，
∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，
∴CP平分∠DPE，
∴∠DPC＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴①成立，②不成立；

拓展应用：

设AC交BD于点O．
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，
∴∠ACE＝∠DCB
∴△AEC≌△DBC（SAS），
∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE，
∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE，
∴∠DCO＝∠APO＝90°，
∴AE⊥BD，
故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．
4．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．
（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．

解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：
如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，
∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，
∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，
∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，
∴∠CDN＝∠EDM，
∵D是BC边的中点，
∴DE＝BD＝CD，
在△CDN和△EDM中，
，
∴△CDN≌△EDM（ASA），
∴CN＝EM，
∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；
（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：
如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠NCD＝120°，
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，
∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，
∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，
∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，
∴∠CDN＝∠EDM，
∵D是BC边的中点，
∴DE＝BD＝CD，
在△CDN和△EDM中，
，
∴△CDN≌△EDM（ASA），
∴CN＝EM，
∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，
∴BM﹣CN＝BD．
5．△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，0°＜∠PBC＜180°，DB平分∠PBC，且DB＝DA．
（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；
（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD平分∠PBC，
∴∠PBD＝∠CBD＝30°，
∵DB＝DA，
∴∠PBD＝∠BPD＝30°；

（2）如图2，连接CD，

∵点D在∠PBC的平分线上，
∴∠PBD＝∠CBD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵BP＝BA，
∴BP＝BC，
∵BD＝BD，
∴△PBD≌△CBD（SAS），
∴∠BPD＝∠BCD，
∵DB＝DA，BC＝AC，CD＝CD，
∴△BCD≌△ACD（SSS），
∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴∠BPD＝30°；

（3）
如图3，连接CD，
∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，
∴△ACD≌△BCD（SSS）
∴∠ACD＝∠BCD＝30°，
∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，
∴△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD＝∠BCD＝30°，
如图4，连接CD，

∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，
∴△ACD≌△BCD（SSS）
∴∠ACD＝∠BCD＝30°，
∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，
∴△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD＝∠BCD＝30°，
如图5，连接CD，

∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，
∴△ACD≌△BCD（SSS）
∴∠ACD＝∠BCD＝＝150°，
∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，
∴△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD＝∠BCD＝150°，



6．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．

（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF+S△CEF＝S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；
（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF+S△CEF＝S△ABC，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系；
（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF+S△CEF＝S△ABC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系．
解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形DECF是矩形，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵D为AB边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，AC＝2CE，
同理：DF＝AC，
∵AC＝BC，
∴DE＝DF，
∴四边形DECF是正方形，
∴CE＝DF＝CF＝DE，
∵S△DEF＝S△CEF＝2＝DE•DF＝DF2，
∴DF＝2，
∴CE＝2，
∴AC＝2CE＝4；
（2）S△DEF+S△CEF＝S△ABC成立，理由如下：
连接CD；如图2所示：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，
∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，S△ABC＝2S△BCD，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF．S△CDE＝S△BDF．
∴S△DEF+S△CEF＝S△CDE+S△CDF＝S△BCD＝S△ABC；
（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：
连接CD，如图3所示：
同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，
∴S△DEF＝S五边形DBFEC，
＝S△CFE+S△DBC，
＝S△CFE+S△ABC，
∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．


7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容
2．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：
线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．
求证：PA＝PB．
分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°， AC＝15，则DE的长为　5　．
解：定理证明：
∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
又∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴PA＝PB．
定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．

∵直线m是边BC的垂直平分线，
∴OB＝OC，
∵直线n是边AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∴OA＝OB
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH；
（2）如图③中，连接BD，BE．

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，
∴DA＝DB，EB＝EC，
∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，
∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，
∴DE＝5，
故答案为：5．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为直角边作等腰Rt△BCD，∠CBD＝90°，斜边CD交AB于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，BE＝4，作EH⊥BC于H，求线段BC的长；
（2）如图2，作CF⊥AC，且CF＝AC，连接BF，且E为AB中点，求证：CD＝2BF．

解：（1）∵∠ABC＝60°，EH⊥BC，
∴∠BEH＝30°，
∴BE＝2BH＝4，EH＝BH，
∴BH＝2，EH＝2，
∵∠CBD＝90°，BD＝BC，
∴∠BCD＝45°，且EH⊥BC，
∴∠BCD＝∠BEC＝45°，
∴EH＝CH＝2，
∴BC＝BH+HC＝2+2；
（2）如图，过点A作AM⊥BC，

∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝MC＝BC＝DB，
∵∠DCB＝45°，AM⊥BC，
∴∠DCB＝∠MNC＝45°，
∴MN＝MC＝BD，
∵AM∥DB，
∴△CNM∽△CBD
∴，
∴CD＝2CN，AN＝BD，
∵CF⊥AC，∠BCD＝45°，
∴∠ACD+∠BCF＝45°，且∠ACD+∠MAC＝45°，
∴∠BCF＝∠MAC，且AC＝CF，BC＝AN，
∴△ACN≌△CFB（SAS）
∴BF＝CN，
∴CD＝2BF
9．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．

【探究发现】
证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD
∴∠DCB＝∠DBC＝45°
∴DB＝DC
即DP＝DB；
【数学思考】
证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°
∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∵∠BDP＝∠CDG＝90°
∴∠CDP＝∠BDG
，在△CDP和△GDB中，，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴DP＝DB．
10．已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足（m﹣n）2+|m﹣5|＝0．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E．
（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，则PE与AB的数量关系为　AB＝2PE　
（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由！
（3）设AB＝5，若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．

解：（1）∵（m﹣n）2+|m﹣5|＝0，
∴m﹣n＝0，m﹣5＝0，
∴m＝n＝5，
∴A（5，0）、B（0，5），
∴AC＝BC＝5，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，
∵PO＝PD，
∴∠POD＝∠PDO，
∵D是x轴正半轴上一点，
∴点P在BC上，
∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，
∴∠POC＝∠DPE，
在△POC和△DPE中，
，
∴△POC≌△DPE（AAS），
∴OC＝PE，
∵C为AB的中点，
∴AB＝2OC，
∴AB＝2PE．
故答案为：AB＝2PE．
（2）成立，理由如下：
∵点C为AB中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，
∵PO＝PD，
∴∠POD＝∠PDO，
∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，
∴∠POC＝∠DPE，
在△POC和△DPE中，
，
∴△POC≌△DPE（AAS），
∴OC＝PE，
又∠AOC＝∠BAO＝45°
∴OC＝AC＝AB
∴AB＝2PE；
（3）∵AB＝5，
∴OA＝OB＝5，
∵OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，
∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°，
∴∠APD＝∠BOP，
在△POB和△DPA中，
，
∴△POB≌△DPA（SAS），
∴PA＝OB＝5，DA＝PB，
∴DA＝PB＝5﹣5，
∴OD＝OA﹣DA＝5﹣（5﹣5）＝10﹣5，
∴点D的坐标为（10﹣5，0）．
11．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点D为AB中点，求OE的长；
（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．

解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，
∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，
∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，
∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，
∴m＝2，n＝4，
∴点A为（2，0），点B为（0，4）；
（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，
设OE＝x，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOC＝45°，
∵DE∥OC，
∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，
∴OE＝OF＝x，
在△ADF和△BDG中，
，
∴△ADF≌△BDG（SAS），
∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，
∴∠G＝∠BEG＝45°，
∴BG＝BE＝4﹣x，
∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，
∴OE＝1；
（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），
∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），
∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，
∵∠PEF＝90°，
∴∠PEN+∠FEM＝90°，
∵FM⊥y轴，
∴∠MFE+∠FEM＝90°，
∴∠PEN＝∠MFE，
在△EFM和△PEN中，
，
∴△EFM≌△PEN（AAS），
∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，
∴点F为（m+2x﹣4，m+x），
∵F点的横坐标与纵坐标相等，
∴m+2x﹣4＝m+x，
解得：x＝4，
∴点P为（4，﹣4）．


12．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD　＝　BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝　30　度；
（2）设直线BE与直线AM的交点为O．
①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．

解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ADC和△BEC中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵线段AM为BC边上的中线
∴∠CAM＝∠BAC，
∴∠CAM＝30°．
故答案为：＝，30；
（2）①AD＝BE，
理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE．
②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，
理由如下：
当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，

又∠ABC＝60°，
∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，
∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线
∴AM平分∠BAC，即，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．
当点D在线段AM的延长线上时，如图2，

∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE
∴∠ACD＝∠BCE
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
同理可得：∠BAM＝30°，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．
13．小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．小明同学对以上结论作了进一步探究．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，则：∠ABC＝30°．
探究结论：（1）如图1，CE是AB边上的中线，易得结论：△ACE为　等边　三角形．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，CP是AB边上的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD，在AB边上方作等边△ADE，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想加以证明．
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当点C在第一象内，且B（2，0）时，求点C的坐标．

解：探究结论（1）∵CE是AB边上的中线，

∴CE＝AE＝AB，
∵AC＝AB，
∴AC＝CE＝AE，
∴△ACE是等边三角形．
故答案为：等边；
（2）如图2中，结论：ED＝EB．

理由：取AB的中点P，连接CP、PE．
∵△ACP，△ADE都是等边三角形，
∴AC＝AP＝PC，AD＝AE＝DE，∠CAP＝∠DAE＝60°，
∴∠CAD＝∠PAE，
∴△CAD≌△PAE（SAS），
∴∠ACD＝∠APE＝90°，
∴EP⊥AB，
∵PA＝PB，
∴EA＝EB，
∵DE＝AE，
∴ED＝EB．
拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．

∵A（﹣，1），
∴∠AOH＝30°，
由（2）
可知，CO＝CB，
∵CF⊥OB，
∴OF＝FB＝1，
∴可以假设C（1，n），
∵OC＝BC＝AB，
∴1+n2＝1+（+2）2，
∴n＝2+，
∴C（1，2+）．
14．如图，等边△ABC外有一点D，连接DA，DB，DC．

（1）如图1，若∠DAB+∠DCB＝180°，求证：BD平分∠ADC；
（2）如图2，若∠BDC＝60°，求证：BD﹣CD＝AD；
（3）如图3，延长AD交BC的延长线于点F，以BF为边向下作等边△BEF，若点D，C，E在同一直线上，且∠ABD＝α，直接写出∠CEF的度数为　60°﹣α　（结果用含α的式子表示）．
（1）证明：过点B作BM⊥CD于点M，BN⊥AD于点N，

∴∠ANB＝∠CMB＝90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，
∵∠DAB+∠DCB＝180°，
∠DCB+∠BCM＝180°，
∴∠OAB＝∠BCM，
∴△ABN≌△CBM（AAS），
∴BM＝BN，
∴BD平分∠ADC；
（2）证明：在BD上取点E，使DE＝CD，

∵∠BDC＝60°
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD＝BE，
∴BD﹣CD＝AD；
（3）解：∵△ABC，△BEF为等边三角形，∴AB＝CB，BF＝BE，∠ABF＝∠CBE
∴△ABF≌CBE（SAS），
∴∠DFB＝∠CEB，
∵∠CEB+∠CEF＝60°，∠EFB＝60°
∴∠FDE＝180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF＝60°
∴∠ADC＝120°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
由（1）得BD平分∠ADC
∴∠BDE＝60°，
∴∠FDB＝120°，
∴∠FDB+∠FEB＝180°，
∴F，E，B，D四点共圆，
∴∠CEF＝∠DBF
∵∠DBF＝60°﹣α．
∴∠CEF＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α．
15．已知，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，m），过B点作直线a与x轴互相垂直，C为x轴上的一个动点，且∠BAC＝90°．
（1）如图1，若点B是第二象限内的一个点，且m＞2时，求点C的坐标；（用m的代数式表示）
（2）如图2，若点B是第三象限内的一个点，设C点的坐标（x，0），求x的取值范围：
（3）如图3，连接BC，作∠ABC的平分线BD，点E、F分别是射线BD与边BC上的两个动点，连接CE、EF，当m＝3时，试求CE+EF的最小值．
解：（1）如图1，过B点作BH⊥y轴于点H，

∴∠BHA＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°，
∴∠BHA＝∠AOC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH+∠CAO＝90°，
∴∠ABH＝∠CAO，
∵点A（0，2），B（﹣2，m），
∴AO＝BH＝2，OH＝m，
∵AO＝BH，∠ABH＝∠CAO，∠BHA＝∠AOC＝90°，
∴△BHA≌△AOC（ASA）
∴CO＝AH＝OH﹣AO＝m﹣2，
∵m＞2，点C在x轴负半轴，
∴点C（2﹣m，0）；

（2）如图2，过B点作BK⊥y轴于点K，则∠AKB＝90°，

∵∠BAC＝90°，
∴∠BAK+∠CAK＝90°，且∠BAK+∠ABK＝90°，
∴∠CAK＝∠ABK，
∵点A（0，2），B（﹣2，m），
∴AO＝BK＝2，OH＝m，
∵AO＝BK，∠CAK＝∠ABK，∠AOC＝∠AKB＝90°，
∴△ABK≌△CAO（AAS）
∴CO＝AK＝2﹣m，
∵C点的坐标（x，0），
∴CO＝x＝2﹣m，
∵点B是第三象限内的一个点，
∴m＜0，
∴2﹣m＞2，
∴x＞2；
（3）如图3，在AB上截取BN＝BF，

∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，且BE＝BE，BF＝BN，
∴△BEF≌△BEN（SAS）
∴EF＝EN，
∴CE+EF＝CE+EN，
∴当C，E，F三点共线，且N与点A重合时，CE+EF有最小值，
此时最小值为AC，
由（1）可知：点C（2﹣m，0）；
且m＝3，
∴点C（﹣1，0），
∴CO＝1，
∴AC＝＝＝，
∴CE+EF的最小值为．