高三理科数学一轮单元卷：第四单元 导数及其应用 B卷

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B）

第四单元 导数及其应用

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图像可能是（    ）

A．  B．

C．  D．

2．点在曲线上移动，若曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

3．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．函数，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

5．若函数在内有极小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．若函数在上递减，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．函数在区间上的最大值是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数在处有极值，则的值为（    ）

A．或 B．或 C． D．

9．已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．设函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

11．设若函数，有大于零的极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数满足，当时，，若在区间内，曲线与轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）

13．若函数其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是__________．

14．抛物线与直线所围成封闭图形的面积为________．

15．函数有个不同的单调区间，则实数的取值范围是_________．

16．已知定义在上的函数满足，且对于任意正实数，恒成立(为自然对数的底数)，则不等式的解集为___________．

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

17．（10分）已知曲线．

（1）试求曲线在点处的切线方程；

（2）试求与直线平行的曲线的切线方程．

18．（12分）设函数，其中为实数，当的定义域为时，求的单调减区间．

19．（12分）某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率与日产量的函数关系是：；

（1）将该厂的日盈利额T（元）表示为日产量（件）的函数；

（2）为获得最大盈利，该厂的日产量应为多少件？

20．(12分)设，若过点的切线与直线垂直．

（1）求切线的方程；

（2）求函数的极值．

21．(12分)已知函数；

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证：若，则对任意的，有．

22．(12分）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B）

第四单元 导数及其应用

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【答案】C

【解析】∵函数在上可导，其导函数，

且函数在处取得极小值，∴当时，；

当时，；当时，．

∴当时，；当时，；

当时，．故选C．

2．【答案】A

【解析】，即切线的斜率范围是，那么倾斜角的范围是，故选A．

3．【答案】C

【解析】若函数是上的单调函数，则恒成立，

∴，∴．故选C．

4．【答案】B

【解析】∵，∴，当时，恒成立，

于是函数在上单调递减，∴，故选B．

5．【答案】D

【解析】∵，∴，又函数在内有极小值，

∴函数在内有零点，由的图象可知应满足，

即，解得，，故选D．

6．【答案】D

【解析】由题意知在上恒成立，即，∴，故选D．

7．【答案】C

【解析】由，令得，，而，，，∴最大值为．故选C．

8．【答案】D

【解析】∵，∴，

由题意得，解得或．

当时，，不是极值点，舍去；

当时，，是极值点；

这时，，故选D．

9．【答案】B

【解析】由题意，不等式在有解，∴，即在有解，令，则，当时，，递增，

，∴，∴，故选B．

10．【答案】B

【解析】∵，∴，

∴，故选B．

11．【答案】B

【解析】∵，∴，设为大于的极值点，∴，∴，∴，∴，即，∴．故选B．

12．【答案】C

【解析】当时，，∴，∴，

作出图象，如图所示，

设直线与()的图象相切，其切点为，则，，．又点与原点连线的斜率为，故曲线与轴有三个不同的交点，可知实数的取值范围是，故选C．

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）

13．【答案】

【解析】函数区间内不是单调函数，

即在区间内存在零点，

所以实数满足解得．

14．【答案】

【解析】联立得，抛物线与直线交点坐标为，

∴．

15．【答案】

【解析】易知函数为偶函数，若函数有个不同的单调区间，则只需在上存在3个单调区间，即时，存在两个不等的正根，所以，解得．

16．【答案】

【解析】令，则，

∴函数为上的减函数．不等式即．

∵，∴，∴．

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

17．【答案】（1）；（2）或．

【解析】（1）∵，∴，求导数得，

∴切线的斜率为，

∴所求切线方程为，即．

（2）设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为．

又∵所求切线与直线平行，∴，

解得，代入曲线方程得切点为或，

∴所求切线方程为或，

即或．

18．【答案】见解析．

【解析】∵的定义域为，∴恒成立，

∴，解得；

∵，∴，

令，则或；

当时，由得，； 

当时，； 

当时，由得，；

综上知，当时，的单调减区间为；

当时，无单调减区间；

当时，的单调减区间．

19．【答案】（1）；（2）16件．

【解析】（1）由题设得，

；

∴该厂的日盈利额（元）表示为日产量（件）的函数为．

（2）由（1）得，，令，得到或，

∵，∴为唯一的极大值点，

根据实际问题，它为最大值点，即当时盈利最大．

∴为获得最大盈利，该厂的日产量应为16件．

20．【答案】（1）；（2）极小值．

【解析】（1）∵，∴；

则，

∵直线与直线垂直，∴直线的斜率为，

则，∴；

故，∴，

即切点为，∴直线的方程为，

即为．

（2）由（1）知，

∴，函数的定义域为，

∴；

令，则或（舍去），

当时，，∴函数在上单调递减，

当时，，∴函数在上单调递增，

故当时，函数取得极小值．

21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）∵，函数的定义域为，

∴，

令，则或；

①若，即，则，∴函数在上单调递增；

②若，又，故时，当时，；

当时，；当时，；

∴函数在，上单调递增；函数在上单调递减；

③若，即，同理可得，函数在，上单调递增；

函数在上单调递减；

（2）令，定义域为，

则；

∵，∴

；

∵，∴，即；

∴函数在上单调递增，故当时，，

即，∴，

∵，∴．

22．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）函数的定义域为．

．

当时，，故在单调递增；

当时，，故在单调递减；

当时，令，解得．

当时，，在单调递增；

当时，．在单调递减．

（2）因为，所以当时，恒成立．

令，则，

因为，由得，且当时，；当时，．所以在上递增，在上递减．

所以，故．