2022年高考数学一轮复习考点练习33《直线、平面的垂直关系》(含答案详解)

一轮复习考点练习33《直线、平面的垂直关系》

一、选择题

1.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(　　)

A.β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直

B.β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

C.β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直

D.β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

2.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)

A.AB∥m         B.AC⊥m      C.AB∥β         D.AC⊥β

3.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)

A.m∥l         B.m∥n        C.n⊥l         D.m⊥n

4.已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，m⊥α，n⊂β.给出下列四个命题：

①若α∥β，则m⊥n；

②若m⊥n，则α∥β；

③若m∥n，则α⊥β；

④若α⊥β，则m∥n.

其中正确命题的个数是(　　)

A.0         B.1      C.2         D.3

5.对于四面体ABCD，给出下列四个命题：

①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；

②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.

其中为真命题的是(　　)

A.①②        B.②③         C.②④        D.①④

6.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：

①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；

②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m，n与α所成的角相等，则m∥n；

④若m∥α，α∩β=n，则m∥n.

其中正确命题的个数是(　　)

A.1       B.2           C.3       D.4

7.如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA=1，PB=PD=，则它的五个面中，互相垂直的面共有(　　)

A.3对         B.4对       C.5对         D.6对

8.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)

A.AH⊥平面EFH   B.AG⊥平面EFH    C.HF⊥平面AEF    D.HG⊥平面AEF

9.三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　 　)

①CC1与B1E是异面直线；

②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；

③AC⊥平面ABB1A1；

④A1C1∥平面AB1E.

A.②      B.①③        C.①④      D.②④

10.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，下面结论错误的是(　 　)

A.BD∥平面CB1D1

B.异面直线AD与CB1所成的角为45°

C.AC1⊥平面CB1D1

D.AC1与平面ABCD所成的角为30°

11.如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是(　 　)

A.平面BCE⊥平面ABN       B.MC⊥AN

C.平面CMN⊥平面AMN       D.平面BDE∥平面AMN

12.已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F，G分别是线段DC，D1D和D1B上的动点.

给出下列结论：

①对于任意给定的点E，存在点F，使得AF⊥A1E；

②对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E；

③对于任意给定的点G，存在点F，使得AF⊥B1G；

④对于任意给定的点F，存在点G，使得AF⊥B1G.

其中正确结论的个数是(　　)

A.0         B.1         C.2         D.3

二、填空题

13.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

14.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为________.

15.已知三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是________.

16.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是BC，CD中点，G是EF中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.

则下列说法错误的是________.(将符合题意的序号填到横线上)

①AG⊥△EFH所在平面；

②AH⊥△EFH所在平面；

③HF⊥△AEF所在平面；

④HG⊥△AEF所在平面.

0.答案解析

1.答案为：C；

解析：如图，设平面α与平面β的交线为a，若在平面β内的直线与α，β的交线a平行，

则该直线与m垂直.但β内不一定存在直线与m平行，只有当α⊥β时才存在.故选C.

2.答案为：D；

解析：因为直线m∥α，m∥β，α∩β=l，所以m∥l，所以AB∥m正确，AC⊥m正确；根据线面平行的判定定理可得AB∥β正确；当直线AC不在平面α内时，尽管AC⊥l，AC与平面β可以平行，也可以相交(不垂直)，所以AC⊥β不一定成立.故选D.

3.答案为：C；

解析：因为α∩β=l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.

4.答案为：C；

解析：依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，m⊥β，又n⊂β，因此m⊥n，①正确；对于②，当α⊥β时，设α∩β=n，在平面β内作直线m⊥n，则有m⊥α，因此②不正确；对于③，由m∥n，m⊥α得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，当m⊥α，α∩β=n，α⊥β时，直线m，n不平行，因此④不正确.综上所述，正确命题的个数为2，故选C.

5.答案为：D

解析：①如图，

取BC的中点M，连接AM，DM，由AB=AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，

而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO(图略)，

由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.故选D.

6.答案为：B

解析：对于①，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，故该命题为真命题；对于②，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故该命题为真命题；对于③，若m，n与α所成的角相等，则m与n可能平行、相交或异面，故该命题为假命题；对于④，若m∥α，α∩β=n，则m与n的位置关系不确定，故该命题为假命题.故选答案为：B.

7.答案为：C；

解析：因为AB=AD=AP=1，PB=PD=，所以AB2＋AP2=PB2，PA2＋AD2=PD2，则PA⊥AB，PA⊥AD，可得PA⊥底面ABCD，又PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD，AD∩PA=A，所以AB⊥平面PAD，所以平面PAB⊥平面PAD.又BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC.又CD⊥AD，CD⊥AP，AD∩AP=A，所以CD⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD.故选C.

8.答案为：A

解析：由平面图形可得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF=H，∴AH⊥平面HEF.故选A.

9.答案为：A.

解析：对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；

对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1，故正确；

对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；

对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误.故选A.

10.答案为：D.

解析：因为BD∥B1D1，所以BD∥平面CB1D1，A不符合题意；因为AD∥BC，所以异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1=45°，B不符合题意；因为AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，C不符合题意；AC1与平面ABCD所成的角为∠CAC1≠30°，故选D.

11.答案为：C；

解析：如图，分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP=CQ=1，

连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体.

∴BC⊥平面ABN，又BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确；

连接PB，则PB∥MC，显然，PB⊥AN，

∴MC⊥AN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，AC.

∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形，

∴AF⊥MN，CF⊥MN，

∴∠AFC为二面角A-MN-C的平面角，

∵AF=CF=，AC=，∴AF2＋CF2≠AC2，即∠AFC≠，

∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；

∵DE∥AN，MN∥BD，

DE∩BD=D，DE，BD⊂平面BDE，MN∩AN=N，MN，AN⊂平面AMN，

∴平面BDE∥平面AMN，故D正确.故选C.

12.答案为：C；

解析：由DE⊥平面A1D，根据三垂线定理，①对于任意给定的点E，A1E在平面A1D的射影为A1D，所以存在点F，使得AF⊥A1E，所以①正确；②如果对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E，那么，由A1D⊥AD1，可知过A有两条直线与A1D垂直，故②错误；③只有AF垂直B1G在平面AD1的射影时，AF⊥B1G，故③正确；④只有AF⊥平面BB1D1D时，④才正确，AF与平面BB1D1D不垂直，故④错误.

13.答案为：DM⊥PC(或BM⊥PC等)(不唯一)

解析：如图，连接AC，

∵四边形ABCD的各边都相等，

∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.

又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC.∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

14.答案为：.

解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意πrl=3πr2，即l=3r，

母线与底面夹角为θ，则cos θ==.

15.答案为：.

解析：因为三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，

∴S在平面ABC内的射影为AB中点，记为H，连接CH，SH，∴SH⊥平面ABC，

∴SH上任意一点到A，B，C的距离相等，∴三棱锥的外接球的球心在线段SH上，

记为O，连接OC，设外接球的半径为R，则SO=OC=R=－OH，在△OCH中，

由OH2＋HC2=OC2，得OH2=(－OH)2－12，得OH=，

故外接球的球心到平面ABC的距离是.

16.答案为：①③④

解析：根据折叠前AB⊥BE，AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面EFH，即②正确；∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确；∵AG⊥EF，AH⊥EF，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF.过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，∴③不正确；∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，∴④不正确.综上，说法错误的是①③④.