新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：4.4　第2课时　简单的三角恒等变换

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考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)y=3sin x+4cs x的最大值是7.( )
(2)在斜三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.( )
(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.( )
(4)存在实数α,使tan 2α=2tan α.( )
2.化简:sinα-2cs2α2sinα2-π4=( )

A.22csα2B.2csα2
C.22sinα2D.2sinα2
3.已知sinπ6-α=23,那么cs 2α+3sin 2α=( )
A.109B.-109C.-59D.59
4.若tan α=-3,则1cs2α+2sinαcsα的值为( )
A.103B.53C.23D.-2
5.设α1,α2∈R,且12+sinα1+20182+sin2α2=2 019,则tan(α1+α2)= .
关键能力学案突破
【例1】(1)sin(π+2α)1+cs2α·cs2αcs(π2+α)等于( )

A.-sin αB.-cs αC.sin αD.cs α
(2)化简:sin(2α+β)sinα-2cs(α+β).
解题心得1.三角函数式化简、求值的一般思路:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化等.
2.三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.
3.化简、求值的主要技巧:
(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;
(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.
对点训练1(1)化简:sin2α-2cs2αsin(α-π4)= .
(2)化简:2cs2α-12tan(π4-α)cs2(π4-α).
考向1 给角求值
【例2】cs10°(1+3tan10°)cs50°的值是 .
解题心得三角函数给角求值问题的解题策略:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.
对点训练2求值:cs20°cs35°1-sin20°=( )

A.1B.2C.2D.3
考向2 给值求值
【例3】已知sinα+π4=210,α∈π2,π.
求:(1)cs α的值;
(2)sin2α-π4的值.
解题心得三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
对点训练3(1)(2020河北保定二模,文6,理6)已知sinπ3+α=csπ3-α,则cs 2α=( )

A.0B.1C.22D.32
(2)设α为锐角,若csα+π6=45,则sin2α+π12的值为 .
考向3 给值求角
【例4】(1)(2020湖南师大附中一模,理7)已知α为锐角,且cs α(1+3tan 10°)=1,则α的值为( )
A.20°B.40°C.50°D.70°
(2)若sin 2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是( )
A.7π4B.9π4
C.5π4或7π4D.5π4或9π4
解题心得解决“给值求角”问题的一般思路:从给的条件中先求出角的某种三角函数的值;然后根据已知条件确定角的范围;最后根据角的范围写出所求的角.在求角的某种三角函数值时,选函数的原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,选正弦较好.
对点训练4(1)已知锐角α,β满足sin α=55,cs β=31010,则α+β等于( )

A.3π4B.π4或3π4
C.π4D.2kπ+π4(k∈Z)
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .
【例5】(2020陕西宝鸡三模,文17)已知函数f(x)=cs xsin(π-x)+3sin2x-3,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在-π8,π4上的值域.
解题心得三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将f(x)化为asinx+bcsx的形式;
(2)利用和(差)角公式,将f(x)=asinx+bcsx转化为f(x)=Asin(x+φ)的形式;
(3)利用f(x)=Asin(x+φ)研究三角函数的性质.
对点训练5(2019浙江,18)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=fx+π122+fx+π42的值域.
第2课时 简单
的三角恒等变换
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.A 原式=2sinα2csα2-2cs2α222sinα2-csα2=22csα2.
3.A ∵cs2α+3sin2α=2sin2α+π6=2sinπ2-π3+2α=2sinπ2-2π6-α=2cs2(π6-α)
=2-4sin2π6-α=109.
4.D tanα=-3,即1cs2α+2sinαcsα=sin2α+cs2αcs2α+2sinαcsα=tan2α+11+2tanα=9+11-6=-2.故选D.
5.1 ∵α1,α2∈R,且12+sinα1+20182+sin2α2=2019,∴sinα1+2=1,2+sin2α2=1,
求得sinα1=-1,sin2α2=-1,
∴α1=2kπ-π2,且2α2=2nπ-π2,k,n∈Z,∴α2=nπ-π4,n∈Z,
∴α1+α2=(2k+n)π-3π4,n,k∈Z,
∴tan(α1+α2)=tan-3π4=1.
关键能力·学案突破
例1(1)D sin(π+2α)1+cs2α·cs2αcs(π2+α)=-sin2αcs2α2cs2α(-sinα)=-2sinαcsα·cs2α2cs2α(-sinα)=csα.
(2)解原式=sin(2α+β)-2sinαcs(α+β)sinα
=sin[α+(α+β)]-2sinαcs(α+β)sinα
=sinαcs(α+β)+csαsin(α+β)-2sinαcs(α+β)sinα
=csαsin(α+β)-sinαcs(α+β)sinα
=sin[(α+β)-α]sinα=sinβsinα.
对点训练1(1)22cs α 原式=2sinαcsα-2cs2α22(sinα-csα)=22csα.
(2)解原式=cs2α2sin(π4-α)cs(π4-α)=cs2αsin(π2-2α)=cs2αcs2α=1.
例22 原式=cs10°+3sin10°cs50°
=2sin(10°+30°)cs50°=2sin40°sin40°=2.
对点训练2C 原式=
cs20°cs35°|sin10°-cs10°|
=cs210°-sin210°cs35°(cs10°-sin10°)
=cs10°+sin10°cs35°
=2(22cs10°+22sin10°)cs35°
=2cs(45°-10°)cs35°
=2cs35°cs35°=2.
例3解(1)由sinα+π4=210,得
sinαcsπ4+csαsinπ4=210,
化简得sinα+csα=15,①
又sin2α+cs2α=1,②
且α∈π2,π,
解得csα=-35.
(2)∵α∈π2,π,csα=-35,
∴sinα=45,
∴cs2α=1-2sin2α=-725,sin2α=2sinαcsα=-2425,
∴sin2α-π4=sin2αcsπ4-cs2αsinπ4=-17250.
对点训练3(1)A (2)17250 (1)由sinπ3+α=csπ3-α,得32csα+12sinα=12csα+32sinα,所以sinα=csα,cs2α=cs2α-sin2α=0.
(2)∵α为锐角,且csα+π6=45>0,∴α+π6∈π6,π2,
∴sinα+π6=35.
∴sin2α+π12=sin2α+π6-π4=sin2α+π6csπ4-cs2α+π6sinπ4=2sinα+π6csα+π6-222cs2α+π6-1=2×35×45-222×452-1=12225-7250=17250.
例4(1)B (2)A (1)由csα(1+3tan10°)=1可得csα·3sin10°+cs10°cs10°=1,
即csα·2sin40°cs10°=1,
∴csα=cs10°2sin40°=sin80°2sin40°=2sin40°cs40°2sin40°=cs40°.
∵α为锐角,∴α=40°.故选B.
(2)∵α∈π4,π,∴2α∈π2,2π.
∵sin2α=55,∴2α∈π2,π,
∴α∈π4,π2,且cs2α=-255.
又sin(β-α)=1010,β∈π,3π2,
∴β-α∈π2,5π4,cs(β-α)=-31010,
∴cs(α+β)=cs[(β-α)+2α]
=cs(β-α)cs2α-sin(β-α)sin2α
=-31010×-255-1010×55=22,
又α+β∈5π4,2π,∴α+β=7π4.
对点训练4(1)C (2)-3π4 (1)由sinα=55,csβ=31010,且α,β为锐角,可知csα=255,sinβ=1010,
故cs(α+β)=csαcsβ-sinαsinβ=255×31010-55×1010=22,
又0<α+β<π,故α+β=π4.
(2)因为tanα=tan[(α-β)+β]
=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)·tanβ
=12-171+12×17=13>0,
所以0<α<π2.
又因为tan2α=2tanα1-tan2α=2×131-(13) 2=34>0,所以0<2α<π2.
所以tan(2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=34+171-34×17=1.
因为tanβ=-17<0,
所以π2<β<π,-π<2α-β<0,
所以2α-β=-3π4.
例5解(1)由题意,函数f(x)=csxsin(π-x)+3sin2x-3=sinxcsx-3cs2x=12sin2x-32(cs2x+1)=12sin2x-32cs2x-32=sin2x-π3-32,
所以函数f(x)的最小正周期为T=2πω=2π2=π.
(2)因为-π8≤x≤π4,则-7π12≤2x-π3≤π6,可得-1≤sin2x-π3≤12,所以-1-32≤sin2x-π3-32≤1-32,故f(x)在-π8,π4上的值域为-1-32,1-32.
对点训练5解(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sinxcsθ+csxsinθ=-sinxcsθ+csxsinθ,故2sinxcsθ=0,所以csθ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.
(2)y=fx+π122+fx+π42=sin2x+π12+sin2x+π41-cs(2x+π6)2+1-cs(2x+π2)2
=1-1232cs2x-32sin2x
=1-32cs2x+π3.
因此,函数的值域是1-32,1+32.
考点
三角函数式的化简
考点
三角函数式的求值(多考向探究)
考点
三角恒等变换的综合应用