江苏省2022届高三上学期期初测试 数学 (含答案)

这是一份江苏省2022届高三上学期期初测试 数学 (含答案)，共19页。试卷主要包含了 根据圆维曲线的光学性质， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学期初练习
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的斜率和它在y轴上的截距分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，

2. 双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为11，则点到的距离为（ ）
A．1 B．21 C．1或21 D．2或21
3. 椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距

4. 万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会
开幕式. 在手工课上，老师带领同学们
一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其
俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平
程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，
短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A． B． C． D．
5. 已知双曲线的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在上，则的方程为( )
A． B．
C． D．
6. 已知，，三点，且满足，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7. 根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．

8. 已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是( )
A．方程能表示平面内的任意直线直线；
B．直线的倾斜角为；
C．“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件；
D． “直线与垂直”是“直线和的斜率之积为”的必要不充分条件

10. 已知直线：与：相交于､两点，若为钝角三角形，则满足条件的实数的值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．4

11. 已知椭圆的焦距为，焦点为、，长轴的端点为、，点是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．若的周长为，则椭圆的方程为
B．若的面积最大时，，则
C．若椭圆上存在点使，则
D．以为直径的圆与以为直径的圆内切

12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（ ）
A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．

14. 焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 .

15. 已知双曲线右支上存在点P使得到左焦点的距离等于到右准线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是 .

16. 已知点是直线：上的动点，过点作圆：的切线，切点分别为，，则切点弦所在直线恒过定点___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知直线过点，点是坐标原点
（1）若直线在两坐标轴上截距相等，求直线方程；（5分）
（2）若直线与轴正方向交于点，与轴正方向交于点，求的最小值及此时的直线方程. （5分）



18. 疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米
的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）
的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿
姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，
、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知
健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.
（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（6分）
（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在育贤路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.（6分）









19. 已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称，求实数m的取值范围．（12分）







20. 如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切，且与轴及直线分别相切于、两点．
（1）求圆和圆的方程；（6分）
（2）过点作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．（6分）







21. 已知C为圆(x＋1)2＋y2＝12的圆心，P是圆C上的动点，点M(1,0)，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点.
(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；（4分）
(2)过点(1,0)的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．（8分）



22. 已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；（2分）
（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；（4分）
（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.（6分）




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数学期初练习
三、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的斜率和它在y轴上的截距分别为（ ）C
A．， B．， C．， D．，

2. 双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为11，则点到的距离为（ ）B
A．1 B．21 C．1或21 D．2或21
3. 椭圆与关系为（ ）D
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距

4. 万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会
开幕式. 在手工课上，老师带领同学们
一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其
俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平
程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，
短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A． B． C． D．
【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，
由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，可得焦距长为cm，故离心率为，
所以小椭圆离心率为，小椭圆的短轴长为10cm，即cm，
由，可得：cm，所以长轴为cm.故选：B.
5. 已知双曲线的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在上，则的方程为( )B
A． B．
C． D．

6. 已知，，三点，且满足，则直线的斜率取值范围是（ ）A
A． B．
C． D．
【详解】设动点，因为，则，
整理得动点得轨迹为：；
设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，所以；


7. 根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
解：由已知可得，在第一象限，
将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，，
又由双曲线的方程可得，，所以，则，
所以，且点，都在直线上，又，
所以，所以，
设的角平分线为，则，
所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，故选：B．


8. 已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示：
连接，交圆分别点，易证△∽△
则，
因为，故，，
所以，
又，
所以，
解得.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查圆的方程及圆的几何性质，考查学生分析处理问题的能力，属于难题，解答时将问题灵活转化是关键.


四、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是( )AD
A．方程能表示平面内的任意直线直线；
B．直线的倾斜角为；
C．“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件；
D． “直线与垂直”是“直线和的斜率之积为”的必要不充分条件

10. 已知直线：与：相交于､两点，若为钝角三角形，则满足条件的实数的值可能是（ ）AC
A． B．1 C．2 D．4
【详解】圆的圆心为，半径为，
由于为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则，
设圆心到直线的距离为，则，
则，整理可得，
解得，且.所以.故选AC.


11. 已知椭圆的焦距为，焦点为、，长轴的端点为、，点是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．若的周长为，则椭圆的方程为
B．若的面积最大时，，则
C．若椭圆上存在点使，则
D．以为直径的圆与以为直径的圆内切
【答案】ABD
【分析】
利用椭圆的定义求出椭圆的方程，可判断A选项的正误；确定点的位置，利用椭圆的离心率公式可判断B选项的正误；设点，由求得，由化简求得椭圆的离心率的取值范围，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，的周长为，则，，
即椭圆的方程为，所以A正确；
对于B选项，当的面积最大时，点在短轴顶点处，
又，所以在中，，所以B正确；
对于C选项，设点，，，
，
因为点在椭圆上，则，可得，
所以，，得，
由于，可得，所以，，即，
可得.
因此，椭圆的离心率的取值范围是，C选项错误；
对于D选项，设的中点为，设圆与圆的半径分别为、，则，
则两圆的连心线的距离为，
所以两圆内切，D正确.
故选：ABD.
【点睛】
结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆与圆的半径长分别为和.
（1）若，则圆与圆内含；
（2）若，则圆与圆内切；
（3）若，则圆与圆相交；
（4）若，则圆与圆外切；
（5）若，则圆与圆外离.


12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（ ）BC
A． B． C． D．
解：如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.
∵椭圆的上顶点为，且.
∴，∴，∴.
∴.不妨设点在第一象限，设，.
∴，.∴.
在中，由余弦定理可得：
∴.两边同除以，得，解得：.
∴,.故选：BC.


三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．4x＋3y－13＝0

解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.


14. 焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 .

15. 已知双曲线右支上存在点P使得到左焦点的距离等于到右准线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是 .

16. 已知点是直线：上的动点，过点作圆：的切线，切点分别为，，则切点弦所在直线恒过定点___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知直线过点，点是坐标原点
（1）若直线在两坐标轴上截距相等，求直线方程；（5分）
（2）若直线与轴正方向交于点，与轴正方向交于点，求的最小值及此时的直线方程. （5分）
解（1）当过坐标原点时，方程为，即，满足题意；
当不过坐标原点时，可设其方程为：，，；
综上所述：直线方程为：或；
（2）的最小值为，此时直线方程为：



18. 疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米
的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）
的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿
姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，
、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知
健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.
（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（6分）
（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在育贤路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.（6分）
解：（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：
李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等
故 故
即 故
故李叔叔负责区域边界的曲线方程为
（2）圆心关于的对称点为
则有， 解得

联立与，可得交点为
答：王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.
19. 已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称，求实数m的取值范围．（12分）
解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，
得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0.①
将线段AB中点代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②
由①②得m＜－或m＞.
故m的取值范围为∪.

20. 如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切，且与轴及直线分别相切于、两点．
（1）求圆和圆的方程；（6分）
（2）过点作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．（6分）






解：（1）由于与的两边均相切，故到及的距离均为的半径，
则在的平分线上，同理，也在的平分线上，
即三点共线，且为的平分线，
∵的坐标为，∴到轴的距离为1，即的半径为1，
则的方程为，
设的半径为，其与轴的切点为，连接、，
由可知，，
即．
则，则圆的方程为；
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点，直线的平行线被圆截得的弦的长度，
此弦的方程是，即：，
圆心到该直线的距离，则弦长=．
考点：直线和圆的方程的应用．





21. 已知C为圆(x＋1)2＋y2＝12的圆心，P是圆C上的动点，点M(1,0)，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点.
(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；（4分）
(2)过点(1,0)的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．（8分）
解：(1) 由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，
所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2>|CA|＝2，
所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，
所以a＝，c＝1，b＝＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0)，
①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，
则A，B，E(1,1)，F(1，－1)，
所以|AB|＝，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝＝＝.
因为圆心O(0,0)到直线l的距离d＝，所以|EF|2＝4＝，
所以|AB|·|EF|2＝·＝＝·＝.
因为k2∈[0，＋∞)，所以|AB|·|EF|2∈.
综上，|AB|·|EF|2∈.



22. 已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；（2分）
（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；（4分）
（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.（6分）
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析
【分析】
（1）求得双曲线的，由等边三角形的性质可得，的方程，结合，，的关系求得，，进而得到双曲线的方程；
（2）设，，，，联立直线和，应用韦达定理和弦长公式，设的中点为，求得的坐标，由题意可得，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；
（3）求得，的坐标和的坐标，求得的垂直平分线方程和的方程，联立解得的坐标，求出，即可得证．
【详解】
解：（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则，
解得，，则所求双曲线的方程为.
（2）设，，由，得，
则，，且，
又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，
即，即，
则， 即，则或，
即实数的取值范围.
（3）线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，
又点是线段的中点，则点，
直线的斜率为，直线的斜率为 ，又，
则直线的方程为，即，
又直线的方程为，联立方程，
消去化简整理，得，又，
代入消去，得，
即，则，
即点的横坐标为，
则. 故线段在轴上的射影长为定值.