江苏省泰州中学2022-2023学年高三上学期期初调研考试数学试题（Word版含答案）

2022-2023学年秋学期高三年级期初调研考试

数学学科试卷

出题人：   审题人：

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数（其中为虚数单位），则的共轭复数为（    ）

A.    B.

C.    D.

3.已知向量满足，若，则实数的值为（    ）

A.2    B.    C.4    D.

4.《算数书》是已知最早的中国数学著作，于上世纪八十年代出土，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年.《算数书》内容丰富，有学者称之为“中国数学史上的重大发现”.在《算数书》成书的时代，人们对圆周率的认识不多，用于计算的近似数与真实值相比误差较大.如书中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.此术相当于给出了圆锥的体积V的计算公式为，其中L和么分别为圆锥的底面周长和高.这说明，该书的作者是将圆周率近似地取为（    ）

A.3.00    B.3.14    C.3.16    D.3.20

5.的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（    ）

A.33    B.34    C.35    D.36

6.已知函数的部分图象如图所示，则的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.若，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（    ）

A.288    B.336    C.576    D.1680

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则与所成的角和与所成的角相等

10.在中，已知，则以下四个拈论正确的是（    ）

A.最大值

B.最小值1

C.的取值范围是

D.为定值

11.在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（    ）

A.对于任意的，都有

B.对于任意的，数列不可能为常数列

C.若，则数列为递增数列

D.若，则当时，

12.已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知内角的对边分别为，那么当__________.时，满足条件"，”的有两个.（仅㝍出一个的具体数值即可）

14.老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背出其中的4篇，则该同学能及格的概率是__________.

15.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为__________.

16.已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.在中，角A，B，C的对边分别为，

（1）求B；

（2）若，的面积为，求的周长.

18.已知等差数列的前n项和为，，.正项等比数列中，，.

（1）求与的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

19.某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得.

（1）完成表格求出n值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；

（2）①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；

②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为X，求X的数学期望.

附表：

附：.

20.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）若线段上总存在一点，使得，求的最大值.

21.已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，.若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值.

22.已知函数和有相同的最大值.

（1）求a；

（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

2022-2023学年秋学期高三年级期初调研考试数学学科试卷

参考答案

1.C

2.D

【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的共复数的定义求解.

【详解】解：因为，

所以，

故选：D

3.C

【分析】根据平面向量数量积的运算即可求出结果.

【详解】因为，所以，

依题意，则，

故选：C.

4.A

【分析】由圆的周长公式可得半径，再由圆锥体积公式结合已知可得.

【详解】因为，所以，

则，

故选：A.

5.D

【分析】先求出一次项的系数与常数项，再求和即可

【详解】因为的通项公式为，

所以的展开式中，一次项的系数为，常数项为，

所以一次项的系数与常数项之和为，

故选：D

6.C

【分析】利用给定图象求出，进而求出即得函数解析式，再代入求解作答.

【详解】由，得，

由，又，得，

观察图象知，，解得，则，

因此，，所以.

故选：C

7.A

解析：令，则，则

在定义域上单调递减，所以，即2in，所以，即

，令，则，

因为，所以，令，则，即在上单调递减，所以，所以

，即在上单调递增，所以，即，即，即，综上可得；故选：A.

8.B

9.BCD

【分析】根据线面､面面关系的性质定理与判定定理判断即可；

【详解】解：对于A.若，则或与平行或，与相交不垂直，故A错误；

对于B：设过的平面与交于，则，又，

正确；

对于内的所有直线都与平行，且正确；

对于D：根据线面角的定义，可得若，则与所成的角和与所成的角相等，故D正确.

故选：BCD.

10.ACD

11.ACD

12.ABC

【分析】将变为结合指数函数的性质，判断A；构造函数，求导，利用其单调性结合图象判断x，y的范围，利用余弦函数单调性，判断B；利用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D.

【详解】由题意，，得，

，，∴，∴，A对；

，令，即有，

令，

在上递减，在上递增，

因为，∴，

作出函数以及大致图象如图：

则，∴，结合图象则，

∴，∴，B对；

结合以上分析以及图象可得，∴，

且，

∴，C对；

由C的分析可知，，

在区间上，函数不是单调函数，即不成立，即不成立，故D错误；

故选：ABC.

【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答.

13.（答案不唯一）.

解：由正弦定理得，所以，由有两个得有两个，可能为锐角，也可能为钝角，所以，所以，即.故答案为：（答案不唯一）

14.##

【分析】考虑对立面，用1减去只能背出1篇的概率即可.

【详解】.

故答案为：.

15.

【分析】先求出最长弦和最短弦，再计算面积即可.

【详解】

圆的标准方程为，则圆心半径，由题意知最长弦

为过点的直径，

最短弦为过点和这条直径垂直的弦，即，且，圆心和点之间的距离为，

故，所以四边形的面积为

故答案为：.

16.##

【分析】构造新函数，利用已知条件，可以判断单调递增，利用的单调性即可求出不等式的解集

【详解】设函数，则

所以在上单调递增，又

故不等式可化为

由的单调性可得该不等式的解集为.

故答案为：

17.（1）

（2）

【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式和正弦定理对已知式子化简变形，可求出角B；

（2）由三角形的面积和，，可求出的值，再利用余弦定理求出，从而可求出三角形的周长

（1）∵，

∴

∴，

∴

由正弦定理可得：，

∵，∴，∴，

∵∴

（2）∵的面积为，∵，得，∵，∴，

∵，∴，∴，由余弦定理可得，∵，∴，∴三角形的周长为

18.（1），

（2）

【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可；

（2）由错位相减法求解即可

（1）设等差数列的公差为d，

由已知得，，解得，

所以，

即的通项公式为；

设正项等比数列的公比为，因为，，

所以，所以，

解得或（负值舍去），

所以.

（2），

所以，

所以，

相减得，

，

所以.

19.（1）列联表答案见解析，，有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关；

（2）①；②.

【分析】（1）利用给定数据完善2×2列联表，计算的观测值即可求出n，再与临界值表比对作答.

（2）①利用分层抽样求出抽取的9人中男女生人数，再利用古典概型结合对立事件概率求解作答；②利用二项分布的期望公式计算作答.

（1）2×2列联表如下表所示：

，而，于是得，

又，

所以有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关.

（2）①采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为；

②由（1）知，任抽1人喜欢长跑的概率，依题意，，所以X的数学期望是.

20.（1）证明见解析

（2）

【分析】（1）设，连接，通过证明即可得出；

（2）设，求出，利用求出，即可得出的最大值.

（1）设，连接，因为是正方形，所以是中点，又因为是矩形，是线段的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；

（2）正方形和矩形所在的平面互相垂直，则可得两两垂直，则可以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，，则，

因为点在线段上，设，其中，则，从而点坐标为，于是，而，则由可知，即，所以，解得，故的最大值为.

21.（1）

（2）

【分析】

（1）由，得，再将点代入椭圆方程中，结合可求出，从而可求出椭圆方程，

（2）设直线，，，将直线方程代入椭圆方程消去，整理后利用根与系数的关系，可得，表示出直线AP的斜率，直线的斜率，而，代入化简即可

（1）由，得（c为半焦距），

∵点在椭圆E上，则.

又，解得，，.

∴椭圆E的方程为.

（2）由（1）知.设直线，，.

由消去x，得.

显然.

则，.

∴.

由，，得直线AP的斜率，直线的斜率.

又，，，

∴.∴.

∵.

∴.

22.（1）

（2）由（1）知，由于时，，时，，因此只有才可能满足题意，记，且，

由（1）得在上单调递增，在单调递减，且，

所以存在，使得，设，则，设，

则，时，，递减，时，，递增，

所以，

所以，是增函数，时，

，，

又，所以存在，使得，

即此时与有两个交点，

其中一个交点在内，另一个交点在内，

同理与也有两个交点，

其中一个交点在内，另一个交点在内，

若与和共有三个不同的交点，

则其中一个交点为两条曲线和的公共点，记其横坐标为，令，则，

记与的三个交点的横坐标从左到右依次为，且满足，

且，即，又，且，且在和上分别单调，

所以，即，所以为的等比中项，

所以从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.