八年级数学下册知识点复习专题讲练平方根与立方根的综合运用含解析

平方根与立方根的综合运用

平方根和立方根的区别与联系：

例题1  的立方根是（　　）

A. －8   B. －4   C. －2   D. 不存在

解析：先根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义进行计算。

答案：解：∵－＝－8，

∴－的立方根是－2。

故选C。

点拨：本题考查了立方根的定义、算术平方根的定义，先化简－是解题的关键。

例题2  （高淳一模）在①2的平方根是；②2的平方根是±；③2的立方根是；④2的立方根是±中，正确的结论有几个（　　）

A. 1个   B. 2个   C. 3个   D. 4个

解析：根据立方根、平方根的定义分别求出2的平方根与立方根，则可求得答案。

答案：解：∵2的平方根是±，2的立方根是，

∴②③正确，①④错误；

∴正确的结论有2个。

故选B。

点拨：此题主要考查了平方根与立方根的定义和性质。注意熟记定义是解此题的关键。

满分训练  判断下列各式是否正确成立。

（1）＝2

（2）＝3•

（3）＝4

（4）＝5

判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论。

解析：经过对上述式子的计算，可得出式子均正确，故可得出结论为

＝n。

答案：解：能。

由已知

（1）＝2

（2）＝3•

（3）＝4

（4）＝5

经观察发现，上述的等式均满足这样的规律：

＝n，

故推广后可得＝n。

点拨：本题要求学生具有一定的观察能力和总结规律的能力。

1. 如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（　　）

A. ±1   B. 0    C. 1    D. 0和1

2. 如果是数a的立方根，－是b的一个平方根，则a10×（－b）9等于（　　）

A. 2    B. －2   C. 1    D. 1

3. 要使，则a的取值范围是（　　）

A.   B.   C.   D. 任意数

4. 下列说法：（1）1的平方根是1；（2）－1的平方根是－1；（3）0的平方根是0；（4）1是1的平方根；（5）只有正数才有立方根。其中正确的有（　　）

A. 1个   B. 2个   C. 3个   D. 4个

5.（黄冈）下列说法中正确的是（　　）

A. 是一个无理数

B. 函数的自变量x的取值范围是x＞1

C. 8的立方根是±2

D. 若点P（－2，a）和点Q（b，－3）关于x轴对称，则a＋b的值为5

6. 一个自然数a的算术平方根为x，则a＋1的立方根是（　　）

A.   B.   C.   D.  

7. 若一个数的平方根为±8，则这个数的立方根为____________。

8. 已知x＝是M的立方根，是x的相反数，且M＝3a－7，那么x的平方根是______。

9. 的平方根是____________；（－5）2的算术平方根是____________。

10. 一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，求这个数。

11. 已知：x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根。

12. 王老师有两个棱长为40cm的正方体纸箱，都装满了书，他现在把这些书都放入一个新制的正方体木箱中，正好装满，那么这个木箱的棱长大约是多少？想想看。（结果精确到0.01cm）

1. B  解析：根据平方根和立方根的概念可知，一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是0。所以，0的平方根和立方根相同。故选B。

2. B  解析：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。注意一个数的立方根与原数的性质符号相同。先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入所求代数式中计算即可求解。由题意得，a＝－2，b＝

所以a10×（－b）9＝（－2）10×（－）9＝－2

3. C  解析：此题主要考查开立方。求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。注意一个数的立方根与原数的符号相同。由立方根的定义可知，此时根式的值应为4－a，再由题意可得a－4＝4－a，由此即可求出a的值。故选C。

4. B  解析：此题主要考查了平方根的定义，注意：一个非负数的平方根有两个，一正一负。正值为算术平方根。

（1）根据平方根的定义即可判定；1的平方根是±1，故说法错误；

（2）根据平方根的定义即可判定；－1的平方根是－1，负数没有平方根，故说法错误；

（3）根据平方根的定义即可判定；0的平方根是0，故说法正确；

（4）根据平方根的定义即可判定；1是1的平方根，故说法正确；

（5）利用立方根的定义分析即可判定。只有正数才有立方根，不对，负数也有立方根，故说法错误。

故选B。

5. B  解析：判断一个数是否是无理数，应先化简后判断；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不等于0；掌握立方根的性质和关于x轴对称的两点的坐标之间的关系。

A. ＝2，是一个有理数，故A错误；

C. 正数有一个正的立方根，故C错误；

D. 两点若关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数，得a＝3，b＝－2，则a＋b＝1，故D错误；

B. 根据二次根式和分式有意义的条件得x＞1，故B正确；

故选B。

6. D  解析：此题考查了立方根及算术平方根的知识，关键是根据这个数的算术平方根表示出这个数，难度一般。根据这个数的算术平方根可得出这个数a，继而可得出下一个a＋1的立方根。

由题意得这个数为：x2，

故a＋1为：x2＋1，a＋1的立方根为：，

故选D。

7. 4  解析：此题主要考查了立方根、平方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。

∵（±8）2＝64，

∴64的立方根为4。

故答案：4。

8. ±  解析：由于x＝是M的立方根，所以a＋b＝3 ①，而是x的相反数，所以M＝－（b－6），而M＝3a－7，代入M＝－（b－6），得3a－7＝－（b－6）②，联立①②解方程组即可求出a、b，然后就可以求出x的平方根。

∵x＝是M的立方根，

∴a＋b＝3 ①，

而是x的相反数，

∴M＝－（b－6），

而M＝3a－7，代入M＝－（b－6），

得3a－7＝－（b－6）②，

联立①②得：

解之得：，

∴M＝3a－7＝8，

∴x＝＝2，

∴x的平方根是±。

故答案为：±

9. ±，5  解析：根据立方根的定义求出的值，再根据平方根的定义进行计算即可求解；

先求出（－5）2的值是25，再根据算术平方根的定义进行计算。

∵73＝343，

∴＝7，

∴的平方根是±；

∵（－5）2＝25，又52＝25，

∴（－5）2的算术平方根是5。

故答案为：±，5。

10. 0或64  解：设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可。

设这个数为x，

则，

∴＝，

∴，

。

故这个数是0或64。

11. x2＋y2的算术平方根为10  解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可。

解：∵x－2的平方根是±2，

∴x－2＝4，

∴x＝6，

∵2x＋y＋7的立方根是3

∴2x＋y＋7＝27

把x的值代入解得：

y＝8，

∴x2＋y2的算术平方根为10。

12. 50.40cm  解析：此题主要考查了立方根的定义。解此题的关键是要理解改变前后体积不变，还应掌握正方体的体积公式。由于新制的正方体木箱的体积＝2个原来的正方体木箱的体积，根据正方体的体积公式可以列出方程求解即可。

解：设这个木箱的棱长为xcm。

依题意得 x3＝2×403，解得。

答：这个木箱的棱长大约是50.40cm。