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    高中数学人教版新课标B必修12.1.3函数的单调性教案

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    这是一份高中数学人教版新课标B必修12.1.3函数的单调性教案,共4页。教案主要包含了教学目标,教学重点难点,教学过程,板书设计,作业布置等内容,欢迎下载使用。

    【教学目标】
    1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
    2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
    3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.
    【教学重点难点】
    重点:函数的单调性及其几何意义.
    难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性
    【教学过程】
    (一)创设情景,揭示课题
    观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
    y
    x
    1
    -1
    1
    -1
    eq \\ac(○,1) 随x的增大,y的值有什么变化?
    eq \\ac(○,2) 能否看出函数的最大、最小值?
    eq \\ac(○,3) 函数图象是否具有某种对称性?
    画出下列函数的图象,观察其变化规律:
    (1)f(x) = x
    y
    x
    1
    -1
    1
    -1
    eq \\ac(○,1) 从左至右图象上升还是下降 ______?
    eq \\ac(○,2) 在区间 ____________ 上,随着x的增
    大,f(x)的值随着 ________ .
    (2)f(x) = -x+2
    y
    x
    1
    -1
    1
    -1
    eq \\ac(○,1) 从左至右图象上升还是下降 ______?
    eq \\ac(○,2) 在区间 ____________ 上,随着x的增
    大,f(x)的值随着 ________ .
    (3)f(x) = x2
    eq \\ac(○,1)在区间 ____________ 上,
    f(x)的值随着x的增大而 ________ .
    eq \\ac(○,2) 在区间 ____________ 上,f(x)的值随
    着x的增大而 ________ .
    3、从上面的观察分析,能得出什么结论?
    学生回答后教师归纳:从上面的观察分析可以看出:不同的函数,其图象的变
    化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映,这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性(引出课题)。
    (二)研探新知
    1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的,如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢?
    学生通过观察、思考、讨论,归纳得出:
    函数y = x2在(0,+∞)上图象是上升的,用函数解析式来描述就是:对于(0,+∞)上的任意的x1,x2,当x1<x2时,都有x12<x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大,具有这种性质的函数叫增函数。
    2.增函数
    一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
    如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x13、从函数图象上可以看到,y= x2的图象在y轴左侧是下降的,类比增函数的定义,你能概括出减函数的定义吗?
    注意:
    eq \\ac(○,1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
    eq \\ac(○,2) 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x14.函数的单调性定义
    如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间:
    (三)质疑答辩,发展思维。
    根据函数图象说明函数的单调性.
    例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单
    调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
    解:略
    点评:从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。
    变式训练1 函数在上的单调性为 ( )
    A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增
    例2 物理学中的玻意耳定律P=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
    分析:按题意,只要证明函数P=在区间(0,+∞)上是减函数即可。
    证明:略
    点评:实际问题与函数模型之间的关联十分密切,我们常常借助函数的单调性解决问题。
    变式训练2 若函数在上是增函数,那么 ( )
    A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0
    例3.16.求证:函数,在区间上是减函数
    解:设则


    在区间上是减函数。
    点评:利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
    ① 任取x1,x2∈D,且x1② 作差f(x1)-f(x2);
    ③变形(通常是因式分解和配方);
    ④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
    ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
    变式训练3.:画出反比例函数的图象.
    eq \\ac(○,1) 这个函数的定义域是什么?
    eq \\ac(○,2) 它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论.
    四、归纳小结
    函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:
    取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
    【板书设计】
    函数单调性
    典型例题
    例1: 例2:
    小结:
    【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
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