高考数学一轮复习练习案36第五章数列高考大题规范解答系列三_数列含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案36第五章数列高考大题规范解答系列三_数列含解析新人教版，共5页。
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{lg3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.
[解析] (1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.
由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＝4，,a1q2－a1＝8.))解得a1＝1，q＝3.
所以{an}的通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)知lg3an＝n－1.故Sn＝eq \f(n（n－1）,2).
由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)．
即m2－5m－6＝0.解得m＝－1(舍去)或m＝6.
2．(2021·新高考八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝eq \f(1,2)，a2＝eq \f(3,2)，求{an}的通项公式．
[解析] (1)∵an＋2＝2an＋1＋3an，
∴an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)．
又∵an>0，∴eq \f(an＋2＋an＋1,an＋1＋an)＝3，
∴数列{an＋1＋an}为等比数列．
(2)由(1)得，an＋an＋1＝(a1＋a2)×3n－1＝2×3n－1 ①
∴an＋1＋an＋2＝2×3n ②
②－①得an＋2－an＝4×3n－1
当n为奇数时，
a3－a1＝4×30
a5－a3＝4×32
a7－a5＝4×34
……
an－an－2＝4×3n－3
相加得an－a1＝4×(30＋32＋34＋…＋3n－3)＝4×eq \f(30－3n－3×32,1－32)＝eq \f(3n－1－1,2)，
∴an＝eq \f(1,2)×3n－1.
当n为偶数时由an＋an＋1＝2×3n－1得an＝2×3n－1－an＋1＝2×3n－1－eq \f(1,2)×3n＝eq \f(1,2)×3n－1.
综上所述an＝eq \f(1,2)×3n－1.
3．(2020·课标Ⅲ，17)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
[解析] (1)a2＝5，a3＝7.
猜想an＝2n＋1.由已知可得
an＋1－(2n＋3)＝ 3[an－(2n＋1)]，
an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，
……
a2－5＝3(a1－3)．
因为a1＝3，所以an＝2n＋1.
(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，
所以Sn＝ 3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①
从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②
①－②得
－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1.
所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.
4．(2021·湖北武汉部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}中，bn＝eq \f(2,an＋1)，且其前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
[解析] (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1；
当n＝1时，a1＝S1＝2，不满足上式．
所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（n＝1），,2n－1（n≥2），))
于是bn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)（n＝1），,\f(1,n)（n≥2）.))
(2)由题意得cn＝T2n＋1－Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n＋1)，
所以cn＋1－cn＝eq \f(1,2n＋2)＋eq \f(1,2n＋3)－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(1,2n＋3)－eq \f(1,2n＋2)＝eq \f(－1,（2n＋3）（2n＋2）)