2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十六） 直线系方程

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十六） 直线系方程，共2页。学案主要包含了平行直线系，垂直直线系，过两直线交点的直线系等内容，欢迎下载使用。

在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过两直线交点的直线系．
一、平行直线系
[例1] 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．
解析：由题意，可设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线l过点(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解．
[例2] 求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解析：因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A(2,1)，
所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
三、过两直线交点的直线系
[例3] 经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于3x＋4y－7＝0的直线方程为________．
解析：解法一 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))
即两直线交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k＝eq \f(4,3).
由点斜式得所求直线方程为y－eq \f(7,9)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))，即4x－3y＋9＝0.
解法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))可解得两直线交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
解法三 由题意可设所求直线方程为
(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0， ①
又∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
答案：4x－3y＋9＝0
名师点评
1．本例3法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；法三则采用了过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解．
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0.
[变式练] 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
微专题(二十六)
变式练
解析：解法一 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得P(0,2)．
因为l3的斜率为eq \f(3,4)，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－eq \f(4,3)，
由斜截式可知l的方程为y＝－eq \f(4,3)x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
解法二 设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.