2021年全国新高考数学综合能力测试试卷（二）

这是一份2021年全国新高考数学综合能力测试试卷（二），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年全国新高考数学综合能力测试试卷（二）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若i为虚数单位，则＝（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）已知集合A＝{x|x＝4n﹣1，n∈N}，B＝{3，8，11，14}，则A∩B的真子集个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（5分）已知向量＝（1，3m），＝（﹣2，2），若（﹣3）＝10，则实数m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
4．（5分）若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝ B．y＝±2x C．y＝ D．y＝
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝6，A＝，则c等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（5分）已知α、β为两个不同平面，l为直线且l⊥β，则“α⊥β”是“l∥α”（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）函数f（x）＝x2sinx+在[﹣4，4]上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）从2个小孩，2个中年人，2个老人组成的6人中随机抽取3人做一个游戏，则这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．（5分）已知a，b，c∈R，且a+b＝2，则下列判断正确的是（　　）
A．若a＞b，则a|c|＞b|c| B．若a＜b，则c﹣a＞c﹣b
C． D．a2+b2≥2
10．（5分）如图是函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象，则cos（ωx+φ）＝（　　）

A． B．
C． D．
11．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.8]＝1，[﹣]＝﹣2等，定义{x}＝x﹣[x]，则下列结论正确的有（　　）
A．∀x∈R，[x]≥{x}
B．不等式[x]2﹣4[x]＜0的解集为（0，5）
C．f（x）＝{x}的值域为[0，1）
D．f（x）＝{x}是周期函数
12．（5分）已知点F为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，点M是椭圆上异于P，Q的一点，直线MP，MQ分别为k1，k2，椭圆的离心率为e，若|PF|＝3|QF|，∠PFQ＝，则（　　）
A．e＝ B．e＝ C．k1k2＝ D．k1k2＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）函数f（x）＝x2e2﹣x的图象在点（1，f（1））处的切线方程为　 　．
14．（5分）在等比数列{an}中，a6+a7＝8（a3+a4），则{an}的公比等于　 　．
15．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABD＝，tan∠CBD＝7，则BD＝　 　．

16．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F在线段BD上，H，G分别在线段AD，AB上，且EH∥FG，FG＝EH，DE＝HE＝2（﹣1），动点P在平面BDD1B1内，若PH，PG与平面BDD1B1的所成角相等，则线段BP长的最小值是 　 　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①ab＝，②asinA＝，③a+c＝1+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求c的值及△ABC的面积．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＝c（2﹣cosB），sinA＝sinC，_____．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和n，数列{bn}满足4log2bn＝an+3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．（12分）第五代移动通信技术是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G、3G和2G系统之后的延伸．“5G”的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接，某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度，随机抽取100名学生参与测试，并将得分绘制成如下频数分布表：
得分
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
男性人数
2
3
5
13
15
7
5
女性人数
15
9
6
9
5
4
2
（1）将学生对“5G”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关？

不太了解
比较了解
合计
男性



女性



合计



（2）以这100名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率．现从该校学生中，有放回的抽取3次，每次抽取1名学生，设抽到“比较了解”的学生人数为X，求X的数学期望和方差．
附：K2＝（n＝a+b+c+d）
临界值表：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．（12分）已知点P为椭圆w：＝1（m＞0）上任一点，椭圆的一个焦点坐标为（﹣，0）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点Q是抛物线C：x2＝2my的准线上的任意一点，以PQ为直径的圆过原点O，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝1，AB＝2CD＝2，PA＝2．
（1）若Q为AB的中点，求证：DQ∥平面PBC；
（2）若E为棱PC上异于C的点，且BE⊥ED，求平面ABE与平面CDE所成锐二面角的余弦值．

22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣（k+1）x（k∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式k≤f（x）≤1对任意x∈[1，2]恒成立，求k的取值范围．

2021年全国新高考数学综合能力测试试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若i为虚数单位，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用复数除法运算法则，即分子分母同乘分母的共轭复数，化简即可求出所求．
【解答】解：＝，
故选：D．
2．（5分）已知集合A＝{x|x＝4n﹣1，n∈N}，B＝{3，8，11，14}，则A∩B的真子集个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用列举法表示集合A，然后由集合交集的定义求出A∩B，利用集合真子集个数的计算结论求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|x＝4n﹣1，n∈N}＝{﹣1，3，7，11，15，…}，B＝{3，8，11，14}，
所以A∩B＝{3，11}，故其真子集的个数为22﹣1＝3．
故选：B．
3．（5分）已知向量＝（1，3m），＝（﹣2，2），若（﹣3）＝10，则实数m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【分析】直接代入数量积计算即可．
【解答】解：∵向量＝（1，3m），＝（﹣2，2），
∴（﹣3）＝﹣3＝﹣2+2×3m﹣3[（﹣2）2+22]＝﹣26+6m＝10，
∴m＝6，
故选：C．
4．（5分）若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝ B．y＝±2x C．y＝ D．y＝
【分析】利用双曲线的简单性质，转化求解即可．
【解答】解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，
b＝1，c＝，则a＝，
双曲线的渐近线方程为：y＝±x．
故选：A．
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝6，A＝，则c等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】利用余弦定理可得关于c的方程，从而得解．
【解答】解：因为a＝2，b＝6，A＝，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即52＝36+c2﹣6c，即c2﹣6c﹣16＝0，
解得c＝8或c＝﹣2（舍），
故c＝8．
故选：D．
6．（5分）已知α、β为两个不同平面，l为直线且l⊥β，则“α⊥β”是“l∥α”（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，由直线与平面平行、垂直的关系，分析可得当“l∥α”时，必有“α⊥β”，反之，当“α⊥β”时，“l∥α”不一定成立，结合充分必要条件的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，当“l∥α”时，必有“α⊥β”，
反之，当“α⊥β”时，l可能在平面α内，即“l∥α”不一定成立，
则“α⊥β”是“l∥α”的必要不充分条件；
故选：B．
7．（5分）函数f（x）＝x2sinx+在[﹣4，4]上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先判断函数的奇偶性，再计算f（3）的值，并与0比较大小，即可得解．
【解答】解：∵f（﹣x）＝x2sinx+＝（﹣x）2sin（﹣x）﹣＝﹣（x2sinx+）＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，排除选项B和C，
∵0＜3＜π，∴sin3＞0，
∴f（3）＝9sin3+＞0，排除选项D，
故选：A．
8．（5分）从2个小孩，2个中年人，2个老人组成的6人中随机抽取3人做一个游戏，则这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝，这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人包含的基本事件个数：m＝＝8，由此能求出这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人的概率．
【解答】解：从2个小孩，2个中年人，2个老人组成的6人中随机抽取3人做一个游戏，
基本事件总数n＝，
这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人包含的基本事件个数：
m＝＝8，
则这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人的概率为：
P＝＝＝．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．（5分）已知a，b，c∈R，且a+b＝2，则下列判断正确的是（　　）
A．若a＞b，则a|c|＞b|c| B．若a＜b，则c﹣a＞c﹣b
C． D．a2+b2≥2
【分析】取c＝0即可判断A；利用不等式的基本性质即可判断B；由基本不等式即可判断C；利用配方法即可判断D．
【解答】解：对于A，当c＝0时，a|c|＝b|c|，故A错误；
对于B，若a＜b，则﹣a＞﹣b，则c﹣a＞c﹣b，故B正确；
对于C，由a+b＝2，可得a＝2﹣b，
所以＝＝≥＝＝，
当且仅当2b+1＝22﹣b，即b＝，a＝时等号成立，故C 正确；
对于D，a2+b2＝（2﹣b）2+b2＝2（b﹣1）2+2≥2，故D正确．
故选：BCD．
10．（5分）如图是函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象，则cos（ωx+φ）＝（　　）

A． B．
C． D．
【分析】利用函数的图象求出函数的周期，求出ω，利用函数的图象经过的点（，0），可求出φ的值，利用诱导公式即可求解．
【解答】解：由图象可知T＝2×（﹣）＝π，
∴ω＝＝2，
又函数的图象经过（，0），
∴cos（2×+φ）＝0，由图象可得2×+φ＝﹣+2kπ，k∈Z，
可得φ＝2kπ﹣，k∈Z，
当k＝0时，φ＝﹣，故f（x）＝cos（2x﹣），
由诱导公式可得f（x）＝cos（﹣2x）＝sin（2x﹣）＝﹣sin（﹣2x）．
故选：ACD．
11．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.8]＝1，[﹣]＝﹣2等，定义{x}＝x﹣[x]，则下列结论正确的有（　　）
A．∀x∈R，[x]≥{x}
B．不等式[x]2﹣4[x]＜0的解集为（0，5）
C．f（x）＝{x}的值域为[0，1）
D．f（x）＝{x}是周期函数
【分析】直接利用信息问题，根据定义性函数的应用，不等式的解法的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：定义{x}＝x﹣[x]，
对于A：[﹣5]＝﹣5，{﹣5}＝﹣5﹣[﹣5]＝0，[﹣5]＜{﹣5}，当a≤x＜a+1时，[x]＝a，故A错误；
对于B：不等式[x]2﹣4[x]＜0整理得：0＜[x]＜4，故x的解集为[1，4），故B错误；
对于C：根据定义，f（x）＝{x}的值域为[0，1），故C正确；
对于D：f（x）＝{x}的周期为1，故该函数是周期函数，故D正确．
故选：CD．
12．（5分）已知点F为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，点M是椭圆上异于P，Q的一点，直线MP，MQ分别为k1，k2，椭圆的离心率为e，若|PF|＝3|QF|，∠PFQ＝，则（　　）
A．e＝ B．e＝ C．k1k2＝ D．k1k2＝
【分析】由椭圆的对称性，得四边形PFQF′为平行四边形，推出|PF′|＝|QF|，∠FPF′＝60°，|PF|＝3|PF′|，由椭圆的定义|PF|+|PF′|＝2a，解得|PF′|，|PF|，在△PFF′中由余弦定理可得cos∠FPF′＝，解得离心率e，设P（x1，y1），Q（﹣x1，﹣y1），M（x0，y0），把点P，M坐标代入椭圆的方程，两式相减得，+＝0，即k1k2＝﹣，即可得出答案．
【解答】解：由椭圆的对称性，可得四边形PFQF′为平行四边形，
则|PF′|＝|QF|，∠FPF′＝180°﹣∠PFQ＝180°﹣120°＝60°，
|PF|＝3|QF|＝3|PF′|，
而|PF|+|PF′|＝2a，
所以|PF′|＝，
所以|PF|＝，
在△PFF′中，cos∠FPF′＝
＝＝﹣e2＝，
解得e＝，
设P（x1，y1），Q（﹣x1，﹣y1），M（x0，y0），
所以+＝1，+＝1，
两式相减得，+＝0，
所以＝﹣，
所以＝﹣，
即k1k2＝﹣，
所以k1k2＝﹣＝﹣（e2﹣1）＝﹣，
故选：AC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）函数f（x）＝x2e2﹣x的图象在点（1，f（1））处的切线方程为　y＝ex　．
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．
【解答】解：f（x）＝x2e2﹣x的导数为f′（x）＝2xe2﹣x﹣x2e2﹣x，
可得图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2e﹣e＝e，
切点为（1，e），
则图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e＝e（x﹣1），
即为y＝ex．
故答案为：y＝ex．
14．（5分）在等比数列{an}中，a6+a7＝8（a3+a4），则{an}的公比等于　2或﹣1　．
【分析】利用等比数列通项公式列出方程，能求出{an}的公比q．
【解答】解：在等比数列{an}中，a6+a7＝8（a3+a4），
∴＝8（），
整理得q3＝8，或q＝﹣1
解得{an}的公比q＝2，或q＝﹣1
故答案为：2或﹣1．
15．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABD＝，tan∠CBD＝7，则BD＝　　．

【分析】由tan∠CBD得到sin∠CBD及cos∠CBD，利用两角和的正弦公式得到sin∠ABC，再由S△ABC＝S△ABD+S△BDC运算即可得到答案．
【解答】解：因为tan∠CBD＝7，所以，
又，
所以＝，
又S△ABC＝S△ABD+S△BDC，
所以×，
解得．
故答案为：．
16．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F在线段BD上，H，G分别在线段AD，AB上，且EH∥FG，FG＝EH，DE＝HE＝2（﹣1），动点P在平面BDD1B1内，若PH，PG与平面BDD1B1的所成角相等，则线段BP长的最小值是 　8﹣4　．

【分析】在空间直角坐标系中，根据直线与平面成角相等条件列出方程，确定t的取值范围，再求出PB2＝（8﹣16）t+16，最后用不等式求PB最小值．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
因为DE＝HE＝2（﹣1），所以∠DHE＝∠HDF＝45°，
所以HE⊥BD，DH＝DE＝2（﹣1）＝4﹣2，
又因为EH∥FG，FG＝EH，所以GF⊥BD，BG＝FG＝2EH＝4（﹣1），
于是AG＝2﹣4（﹣1）＝4﹣2，
因为平面BDD1B1⊥平面ABCD，EH⊥平面BDD1B1，FG⊥平面BDD1B1，
所以∠HPE和∠GPF分别为直线PH和PG与平面BDD1B1所成角，
于是sin∠HPE＝sin∠GPF，即，因为FG＝EH，所以PH＝PG，
所以2PH2＝PG2，设P（t，t，h），
因为H（4﹣2，0，0），G（2，4﹣2，0），
所以2（（t﹣（4﹣2））2+t2+h2）＝（t﹣2）2+（t﹣（4﹣2））2+h2，（t，h∈[0，2]），
整理得h2＝（t﹣2）2﹣（t﹣（4﹣2））2﹣2t2＝8（﹣1）（2﹣t）﹣2t2＝8﹣2（2（﹣1）+t）2≥0，解得0≤t≤4﹣2，
PB2＝2（t﹣2）2+h2＝3（t﹣2）2﹣（t﹣（4﹣2））2﹣2t2＝3（t2﹣4t+8）﹣（t2﹣（8﹣4）t+24﹣16）﹣2t2＝（8﹣16）t+16≥（8﹣16）（4﹣2）+16＝96﹣64＝16（2﹣）2．
所以PB≥4（2﹣），当t＝4﹣2时，等号成立，即PB线段BP长的最小值是8﹣4．
故答案为：8﹣4．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①ab＝，②asinA＝，③a+c＝1+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求c的值及△ABC的面积．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＝c（2﹣cosB），sinA＝sinC，_____．
【分析】由bsinC＝c（2﹣cosB），利用正弦定理可求得B，由sinA＝sinC＝sin（A+），利用两角和的正弦公式可求得A，从而可求得b＝c，根据所选条件，利用正弦定理可求得c，由三角形面积公式可求得△ABC的面积．
【解答】解：因为bsinC＝c（2﹣cosB），
由正弦定理可得 sinBsinC＝sinC（2﹣cosB），
因为sinC≠0，所以sinB＝2﹣cosB，
即sinB+cosB＝2，sin（B+）＝1，
因为0＜B＜π，所以＜B+＜，
所以B+＝，所以B＝，
因为sinA＝sinC＝sin（A+）＝（sinA+cosA），
整理得sinA＝﹣cosA，所以tanA＝﹣，
因为0＜A＜，所以A＝，
所以C＝π﹣﹣＝，所以B＝C，b＝c，
若选条件①，因为ab＝，sinA＝sinC，所以a＝c，
所以bc＝1，而b＝c，所以b＝c＝1，
S△ABC＝bcsinA＝．
若选条件②，因为asinA＝，所以a＝，
由正弦定理＝＝，可得b＝c＝1，
S△ABC＝bcsinA＝．
若选条件③，因为a+c＝1+，sinA＝sinC，所以a＝c，
所以a+c＝c+c＝1+，解得c＝1，
所以b＝c＝1，
所以S△ABC＝bcsinA＝．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和n，数列{bn}满足4log2bn＝an+3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
【分析】（1）数列{an}的前n项和n，可得数列{an}为等差数列．n＝1，2时，a1＝1，a1+a2＝2×22﹣2＝6，解出即可得出．代入数列{bn}满足4log2bn＝an+3．可得bn．
（2）设＝2n+＝2n+（﹣），利用求和公式、裂项求和方法即可得出．
【解答】解：（1）数列{an}的前n项和n，可得数列{an}为等差数列．
n＝1，2时，a1＝2﹣1＝1，a1+a2＝2×22﹣2＝6，
解得a1＝1，a2＝5，公差d＝5﹣1＝4．
∴an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3．
数列{bn}满足4log2bn＝an+3．
∴bn＝2n．
（2）设＝2n+＝2n+（﹣），
∴数列{cn}的前n项和Tn＝+（1﹣+﹣+……+﹣）＝2n+1﹣1﹣．
19．（12分）第五代移动通信技术是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G、3G和2G系统之后的延伸．“5G”的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接，某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度，随机抽取100名学生参与测试，并将得分绘制成如下频数分布表：
得分
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
男性人数
2
3
5
13
15
7
5
女性人数
15
9
6
9
5
4
2
（1）将学生对“5G”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关？

不太了解
比较了解
合计
男性



女性



合计



（2）以这100名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率．现从该校学生中，有放回的抽取3次，每次抽取1名学生，设抽到“比较了解”的学生人数为X，求X的数学期望和方差．
附：K2＝（n＝a+b+c+d）
临界值表：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）根据题目所给的频数分布表的数据填写2×2列联表即可，计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
（2）根据已知条件，X服从二项分布，结合期望与方差公式，即可求解．
【解答】解：（1）

不太了解
比较了解
合计
男性
10
40
50
女性
30
20
50
合计
40
60
100
∴，
有99.9%的把握认为“学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关．
（2）抽取的100名学生中对5G“比较了解”的频率为，
故抽取该校1名学生对5G“比较了解”的概率为，
由题意可知，X～B（3，），
∴E（X）＝3×＝，D（X）＝．
20．（12分）已知点P为椭圆w：＝1（m＞0）上任一点，椭圆的一个焦点坐标为（﹣，0）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点Q是抛物线C：x2＝2my的准线上的任意一点，以PQ为直径的圆过原点O，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）利用已知求出c的值，再根据椭圆方程即可求出m的值，由此求解；（2）根据（1）求出抛物线方程以及准线方程，求出点P，Q的坐标，根据已知求出OP⊥OQ，然后根据向量运算求出点P，Q的坐标的关系式，然后求出的关系式，化简即可求解．
【解答】解：（1）由已知可得c＝，且a，
所以，解得m2＝6，则m＝，（m＞0），
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可知抛物线的方程为：xy，准线方程为：y＝﹣，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为以PQ为直径的圆过原点，所以OP⊥OQ，
即＝0，则x1x2+y1y2＝0，又点Q在准线上，所以y，
所以x，所以＝＝＝，
又因为点P在椭圆上，则，所以y，
所以＝，
故为定值，且定值为1．
21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝1，AB＝2CD＝2，PA＝2．
（1）若Q为AB的中点，求证：DQ∥平面PBC；
（2）若E为棱PC上异于C的点，且BE⊥ED，求平面ABE与平面CDE所成锐二面角的余弦值．

【分析】（1）证明DQ平行于平面PBC内直线BC即可；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2．Q为AB的中点，
所以BQ＝CD＝1，且CD∥BQ，所以四边形BCDQ是平行四边形，
所以DQ∥BC，又因为BC⊂平面PBC，DQ⊄平面PBC，
所以DQ∥平面PBC．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
过E作EN⊥AC于N，过N作NM⊥CD于M，
设＝t，于是CE＝3t，CN＝t，EN＝2t，
设∠ACD＝θ，tanθ＝，sinθ＝，cosθ＝，
所以MN＝CN•sinθ＝t，CM＝CN•cosθ＝2t，
所以E（1﹣t，2t，2t），C（1，0，0），D（1，1，0），
＝（0，1，0），＝（﹣t，2t，2t），＝（0，2，0），＝（1﹣t，2t，2t），＝（﹣t，2t﹣1，2t），
因为BE⊥ED，所以•＝（1﹣t）（﹣t）+2t（2t﹣1）+2t•2t＝9t（t﹣）＝0，解得t＝．
设平面ECD和平面EAB的法向量分别为＝（x，y，z），＝（u，v，w），
，令z＝1，＝（2，0，1），
，令u＝t，＝（2t，0，t﹣1）＝（，0，﹣），
所以平面ABE与平面CDE所成锐二面角的余弦值为＝＝．

22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣（k+1）x（k∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式k≤f（x）≤1对任意x∈[1，2]恒成立，求k的取值范围．
【分析】（1）求出导函数f′（x）＝﹣（k+1）．（i）当k+1＞0，（ii）当k+1≤0，求出导函数的符号，判断函数的单调性即可．
（2）方法一：由（1）可知，①当k≤﹣1时，求解函数的最大值；②当k＞﹣1时，函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在区间（，+∞）上单调递减；通过（i）当≤1，（ii）当1＜＜2，求解函数的最值，然后比较f（1）＝﹣k﹣1与f（2）＝ln2﹣2k﹣2的大小即可．（iii）当≥2，通过k≤f（x）min且f（x）max≤1（x∈[1，2]）．转化求解说明实数k的取值范围．
方法二 已知k≤lnx﹣（k+1）x≤1．由lnx﹣（k+1）x≤1，可得k≥，令g（x）＝，利用导数求得g（x）的最大值；由k≤lnx﹣（k+1）x，可得k≤，令h（x）＝，利用导数求出h（x）的最小值，从而可求得k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，函数f（x）＝lnx﹣（k+1）x的定义域为（0，+∞）．
则f′（x）＝﹣（k+1）．
（i）当k+1＞0，那k＞﹣1时，
令f'（x）＞0，得﹣（k+1）＞0，得＞k+1，得（k+1）x＜1，得x＜．
又因为x＞0，所以0＜x＜；令f'（x）＜0，得x＞；
所以函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在区间（，+∞）上单调递减；
（ii）当k+1≤0，即k≤﹣1时，﹣（k+1）≥0，
又由x＞0，得＞0，所以﹣（k+1）＞0．即f'（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
综上，当k＞﹣1时，函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在区间（，+∞）上单调递减；
当k≤﹣1时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
（2）方法一：由（1）可知，
①当k≤﹣1时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在区间[1，2]上单调递增．
所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（1）＝ln1﹣（k+1）×1＝﹣k﹣1，
最大值为f（2）＝ln2﹣（k+1）×2＝ln2﹣2k﹣2；
②当k＞﹣1时，函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在区间（，+∞）上单调递减；
（i）当≤1，即k≥0时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）＝ln2﹣2k﹣2，最大值f（1）＝﹣k﹣1；
（ii）当1＜＜2，即﹣＜k＜0时，函数f（x）在区间[1，]上单调递增，在区间[，2]上单调递减；
所以函数f（x）在区间[1，2]上最大值为f（）＝ln﹣（k+1）•＝﹣ln（k+1）﹣1；
而最小值需要比较f（1）＝﹣k﹣1与f（2）＝ln2﹣2k﹣2的大小；
因为f（1）﹣f（2）＝﹣k﹣1﹣（ln2﹣2k﹣2）＝﹣k﹣1﹣ln2+2k+2＝k+1﹣ln2，
所以当k+1﹣ln2＞0，即k＞ln2﹣1，也即ln2﹣1＜k＜0时，f（1）＞f（2），
此时函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）＝ln2﹣2k﹣2；
当k+1﹣ln2＜0，即﹣＜k＜ln2−1时，f（1）＝f（2），
此时函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（1）＝﹣k﹣1；
当k+1﹣ln2＝0，即k＝ln2﹣2时，f（1）＝f（2），此时函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（1）＝f（2）＝﹣k﹣1＝﹣（ln2﹣1）﹣1＝﹣ln2；
（iii）当≥2，即−1＜k≤−时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（1）＝﹣k﹣1，最大值为f（2）＝ln2﹣2k﹣2；
若不等式k≤f（x）≤1对任意x∈[1，2]恒成立，则k≤f（x）min且f（x）max≤1（x∈[1，2]）．
综上所述，当k≤﹣时，函数f（x）的区间[1，2]上的最小值为f（1）＝﹣k﹣1，
最大值为f（2）＝ln2﹣2k﹣2；此时，k≤﹣k﹣1且ln2﹣2k﹣2≤1，解得≤k≤﹣；
当﹣＜k≤ln2−1时，函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（1）＝﹣k﹣1，
此时−ln2≤f（1）＜−＜k，不符合题意，舍去；
当ln2﹣1＜k＜0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）＝ln2﹣2k﹣2，
最大值为f（）＝﹣ln（k+1）﹣1；此时，k≤ln2﹣2k﹣2且﹣ln（k+1）﹣1≤1，
解得e﹣2﹣1≤k≤．但此时＜ln2﹣1，与前提条件不符合，故无解，舍去；
当k≥0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）＝ln2﹣2k﹣2，此时最小值f（2）＜0，而k≥0，不符合题意，舍去．
综上所述，实数k的取值范围是[，﹣]．
方法二：已知k≤lnx﹣（k+1）x≤1．
由lnx﹣（k+1）x≤1，∴k≥，
令g（x）＝，则g′（x）＝，
显然当x∈[1，2]时，g'（x）＞0，g（x）在[1，2]上单调递增，
所以k≥g（x）max＝g（2）＝．
由k≤lnx﹣（k+1）x，∴k≤，
令h（x）＝，则h′（x）＝．
令m（x）＝﹣lnx，显然m（x）在[1，2]上单调递减．
因为m（1）＝1＞0，m（2）＝﹣ln2＜0，所以在[1，2]上必存在一点x0，使得m（x0）＝0，
所以当x∈[1，x0）时，m（x）＞0，即h'（x）＞0，所以h（x）在[1，x0）上单调递增，
当x∈（x0，2]时，m（x）＜0，即h'（x）＜0，所以h（x）在（x0，2]上单调递减．
所以h（x）在[1，2]上的最小值只可能在端点处的取得．
因为h（1）＝﹣，h（2）＝，所以h（x）min＝﹣．所以k≤h（x）min＝﹣．
综上所述≤k≤﹣．