2020-2021学年河南省高三（上）期中考试数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省高三（上）期中考试数学（理）试卷北师大版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x∣2x(x−2)<1，B={x∣y=ln(x+1)}，则∁BA=( )
A.(−1,0]B.−1,0∪2,+∞C.(−1,0]∪(2,+∞)D.2,+∞

2. 若复数a−2i1+ia∈R为纯虚数，则|1−ai|=( )
A.3B.5C.3D.5

3. 公差不为0的等差数列{an}中，2a3−a72+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=( )
A.2B.4C.8D.16

4. 设函数fx在定义域内可导， y=fx的图象如图所示，则导函数f′x的图象可能是( )

A.B.
C.D.

5. 在△ABC中，设p：sinA>csC，q：△ABC为锐角三角形，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6. 设x，y满足约束条件x+y≥1，x−y≤1，x≥0，则z=2x+y的最小值是( )
A.−1B.0C.1D.2

7. 设α∈0,π2，β∈0,π2，且tanα=1−sinβcsβ，则( )
A.3α−β=π2B.3α+β=π2C.2α−β=π2D.2α+β=π2

8. 已知函数y=ax(a>1)与y=lgax(a>1)的图象有且仅有两个公共点，则实数a的取值范围是( )
A.1e

9. 已知函数fx=sin2x−2sinx，x∈0,2π，则下列判断正确的是( )
A.fx是增函数B.fx的极大值点是2π3
C.fx是减函数D.fx的极小值点是2π3

10. 已知数列an，bn满足a1=2，b1=0.2，an+1=13bn+1+23an，bn+1=14an+34bn，则使an−bn<0.01成立的最小正整数n为( )
A.5B.7C.9D.11

11. 已知函数fx=sinx+x3−ax，则下列结论错误的是( )
A.fx是奇函数
B.若a=0，则fx是增函数
C.当a=−3时，函数fx恰有三个零点
D.当a=3时，函数fx恰有两个极值点

12. 设a>b>c>0，则2a2+1ab+1aa−b−10ac+25c2取得最小值时，a的值为( )
A.2B.2C.4D.25
二、填空题

将函数fx=sin−2x的图象向右平移π6个单位后得到函数gx的图象，则gx在−π12,π6上为________函数．（填“增”或“减”）

等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1 ，Sn，Sn+2 成等差数列，则其公比q为_________.

若a→，b→是两个非零向量，且|a→|=|b→|=λ|a→+b→|，λ∈22,1，则a→与a→+b→的夹角取值范围是________.

已知函数fx的定义域为R，导函数为f′x ．若fx=csx−f−x，且f′x+sinx2<0 ，则满足fx−π+fx≤0的x的取值范围为_______.
三、解答题

设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，向量m→=(a，3b)，n→=(sinB,−csA)，且m→⊥n→.
(1)求A的大小；

(2)若|n→|=64，求csC的值.

设数列{an}满足：a1+a2+a3+...+an=n−an(n∈N∗)．
(1)求证：数列{an−1}是等比数列；

(2)若bn=(2−n)(an−1)，且对任意的正整数n，都有bn+14t≤t2，求实数t的取值范围.

函数f(x)=6cs2ωx2+3sinωx−3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

(1)求ω的值及函数f(x)的值域；

(2)若f(x0)=835，且x0∈(−103,23)，求f(x0+1)的值．

已知函数fx=sinx，gx=excsx.
(1)讨论函数ℎx=gxfx在0,π上的单调性；

(2)求函数Hx=gx−xfx在π4,π2上的零点个数．

已知数列an的前n项和为Sn，a1=23，3n+1Sn−nSn+1=0.
(1)求数列an的通项公式；

(2)若bn=2an+1SnSn+1，n∈N+，求证：b1+b2+⋯+bn<3.

已知函数fx=mx−alnx−m，gx=exex，其中m，a均为实数．
(1)试判断过点−1,0能做几条直线与y=gx的图象相切，并说明理由；

(2)设m=1，a<0，若对任意的x1，x2∈3,4x1≠x2，|fx2−fx1|<|1gx2−1gx1|恒成立，求a的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省高三（上）期中考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
补集及其运算
【解析】
先化简集合，再求补集.
【解答】
解：∵ A=x∣2x(x−2)<1=x∣0B={x∣y=ln(x+1)}={x∣x>−1}，
∴ ∁BA=(−1,0]∪[2,+∞).
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
复数的模
【解析】
先将复数化为一般的代数形式，然后根据纯虚数的概念，求出a的值，然后再求出要求的模长.
【解答】
解：因为a−2i1+i=a−2i1−i1−i1+i=a−2−a+2i2为纯虚数，
所以a−2=0，
解得a=2，
所以1−ai=1−2i，
所以|1−ai|=12+(−2)2=5.
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
等比数列的性质
等差数列的性质
【解析】
根据等差数列的性质化简已知条件，得到关于a7的方程，求出方程的解得到a7的值，进而得到b7的值，把所求的式子利用等比数列的性质化简，将b7的值代入即可求出值．
【解答】
解：根据等差数列的性质得：a3+a11=2a7，
因为2a3−a72+2a11=0，
所以4a7−a72=0，
解得a7=4，a7=0（舍去），
所以b7=a7=4，
则b6b8=b72=16．
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
导数的几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：已知原函数的单调性为：
当x<0时，函数为增函数，当x>0时，函数先递增再递减，最后再递增，
故当x<0时，f′(x)>0；
当x>0时，f′(x)先大于0再小于0再大于0.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
诱导公式
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义结算三角函数的性质进行判断即可．
【解答】
解：若C为钝角，A为锐角，则sinA>0，csC<0，
则满足sinA>csC，但△ABC为锐角三角形不成立，
若△ABC为锐角三角形，则A，C，π−A−C都是锐角，
即π−A−C<π2，即A+C>π2，C>π2−A，
则csC即csC故p是q的必要不充分条件.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
本题主要考查线性规划问题，主要是找到可行域，然后通过直线平移找到最小值的位置即可
【解答】
解：x，y满足约束条件x+y≥1，x−y≤1，x≥0的平面区域如下图所示：
平移直线y=−2x，
由图易得，当x=0，y=1时，
即经过A时，目标函数z=2x+y的最小值为1．
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
【解析】
利用两角和与差的正弦公式和诱导公式进行化简得出α+β=α+π2+2kπ或α+β=π2−α+2kπ,k∈Z，再根据两个角的取值范围，即可证明2α+β=π2.
【解答】
解：由tanα=1−sinβcsβ，得
sinαcsβ=csα−sinβcsα，
即sinα+β=csα=sinπ2+α=sinπ2−α，
所以α+β=α+π2+2kπ或α+β=π2−α+2kπ，k∈Z，
即2α+β=π2+2kπ或β=π2+2kπ，k∈Z，
又α∈0,π2，β∈0,π2，
所以2α+β=π2.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
函数的图象变换
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
由于f(x)=ax与g(x)=lgax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称，即y=x为f(x)与g(x)的共切线，根据导数的几何意义即可求出a的值，再根据题意即可求出a的范围．
【解答】
解：∵ y=ax与y=lgax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称，
故其公共点在直线y=x上．
由题意可得方程ax=lgax(a>1)有2个根，
∴lnx=xlna，
即lna=lnxx，
令f(x)=lnxx，
则f′(x)=1−lnxx2，
当00，
此时f(x)单调递增；
当x>e时，f′(x)<0，
此时f(x)单调递减.
故当x=e时，函数f(x)=lnxx有最大值，
f(x)max=f(e)=1e.
又f(1)=0，
故当0当x→∞时，f(x)→0，
只需0解得1故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】

【解答】
解：由题意，f′(x)=2cs2x−2csx=4cs2x−2csx−2.
令f′(x)=0，
解得csx=1或csx=−12，
即x=2π3，x=4π3.
当0所以f(x)的极小值点为x=2π3.
故选D.
10.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
等比关系的确定
数列与不等式的综合
【解析】

【解答】
解：由题意，an+1=13bn+1+23an，bn+1=14an+34bn，
整理可得an+1−13bn+1=23an，23bn+1=16an+12bn，
两式相减得an+1−bn+1=12(an−bn)，
于是可知{an−bn}为公比为12的等比数列.
又a1−b1=1.8，则an−bn=1.8×(12)n−1.
于是要使an−bn<0.01，只要1.8×(12)n−1<0.01，
即2n−1>180，解得n>8，
所以使an−bn<0.01成立的最小正整数n=9.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数奇偶性的判断
利用导数研究函数的极值
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
本题主要是根据奇函数的定义判断奇偶性，通过一次导函数与零的关系判断单调性，通过二次求导判断一次导的单调性从而判断原函数的单调性与极值点
【解答】
解：A，因为fx=sinx+x3−ax的定义域为R，
且f−x=sin−x+−x3−a−x=−sinx−x3+ax=−fx，
所以f(x)是奇函数，故A不符合选项要求；
B，若a=0，则f′x=csx+3x2，
当x>0时，f′x>0，且f​′x为偶函数，
所以fx单调递增，故B不符合选项要求；
C，当a=−3时，fx=sinx+x3+3x为奇函数，且f0=0，
当x>0时，f′x=csx+3x2+3>0恒成立，即fx在0,+∞上单调递增，
根据奇函数的对称性可知函数在−∞,0上单调递增，
故fx在R上单调递增，又f0=0，即f(x)只有一个零点，故C符合选项要求；
D，a=3时，fx=sinx+x3−3x为奇函数，故先考虑x>0时，函数极值存在的情况.
因为f′x=csx+3x2−3，
令gx=csx+3x2−3，而g′x=6x−sinx单调递增，
则g′x>g′0=0，
故f′x单调递增，且f′0=−2<0，f′1=cs1>0,
故存在x0∈0,1使得f′x0=0，
因此，当0当x>x0时，f′x>0，函数f(x)单调递增，
故x=x0为函数f(x)在x>0时唯一的极小值.
根据奇函数的对称性可知，当x<0时，存在极大值，故D不符合选项要求．
故选C．
12.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
将原式转化为[a2+1b(a−b)]+(a−5c)2是求解的关键，然后再变形为≥a2+1b+a−b22+a−5c2，即可利用基本不等式化简求最值.
【解答】
解：∵a>b>c>0，
∴2a2+1ab+1aa−b−10ac+25c2
=[a2+1b(a−b)]+(a−5c)2
≥a2+1(b+a−b2)2+a−5c2
=a2+4a2+a−5c2
≥2a2⋅4a2+0
=4，
当且仅当a=2b=5c=2时取等号.
故选A.
二、填空题
【答案】
减
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
【解析】
根据函数的平移法则可得到函数gx=sin−2x+π3=−sin2x−π3的图象,再由2x−π3∈−π2,0,可得函数y=sin2x−π3在x∈−π12,π6上单增,可得函数gx在x∈−π12,π6上单减.
【解答】
解：将函数fx=sin−2x的图象向右平移π6单位后得到函数
gx=sin−2x−π6=sin−2x+π3=−sin2x−π3的图象,
由x∈−π12,π6可得2x−π3∈−π2,0,
所以函数y=sin2x−π3在x∈−π12,π6上单调递增,
所以函数gx在x∈−π12,π6上单调递减.
故答案为：减.
【答案】
−2
【考点】
等差数列的前n项和
等比数列的通项公式
等比数列的前n项和
【解析】
首先由Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，可得2Sn=Sn+1+Sn+2，然后利用等比数列的求和公式分别表示Sn+1，Sn，Sn+2，注意分q=1和q≠1两种情况讨论，解方程即可．
【解答】
解：设等比数列{an}的公比为q，
∵Sn+1 ，Sn，Sn+2 成等差数列，
∴2Sn=Sn+1+Sn+2 ．
若q=1，则Sn=na1，上式显然不成立．
若q≠1，则2a1(1−qn)1−q=a1(1−qn+1)1−q+a1(1−qn+2)1−q，
故2qn=qn+1+qn+2，∵ qn≠0，
∴ q2+q−2=0，∴q=−2．
故答案为：−2.
【答案】
[π4, π3]
【考点】
余弦定理
数量积表示两个向量的夹角
【解析】

【解答】
解：∵ |a→|=|b→|=λ|a→+b→|，λ∈[22,1]，
不妨设|a→+b→|=1，则|a→|=|b→|=λ．
令OA→=a→，OB→=b→，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，
则平行四边形OACB为菱形．
故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB=∠OBA=θ，
且0<θ<π2．
而由题意可得，a→与a→+b→的夹角，即OA→与 OC→的夹角，
等于π2−θ．
△OAC中，由余弦定理可得：
OC2=1=OA2+AC2−2OA⋅AC⋅cs2θ
=λ2+λ2−2⋅λ⋅λcs2θ，
解得 cs2θ=1−12λ2．
再由 22≤λ≤1，可得 12≤12λ2≤1，
∴ 0≤cs2θ≤12，
∴ π3≤2θ≤π2，
∴ π6≤θ≤π4，
故 π4≤π2−θ≤π3，
即a→与a→+b→的夹角的取值范围是[π4, π3].
故答案为：[π4, π3].
【答案】
[π2,+∞)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
函数奇偶性的性质
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：依题意，fx−csx2=−f−x+cs−x2，
令gx=fx−csx2，
则gx=−g−x，
故函数gx为奇函数，
g′x=fx−csx2′=f′x+sinx2<0，
故函数gx在R上单调递减，
则fx−π+fx≤0⇒fx−π−csx−π2+fx−csx2≤0
⇒gx−π+gx≤0⇒gx−π≤−gx=g−x，
即x−π≥−x，故x≥π2，
则x的取值范围为[π2,+∞).
故答案为：[π2,+∞).
三、解答题
【答案】
解：(1)因为 m→⊥n→ ，
所以 m→⋅n→=0 ，
即asinB−3bcsA=0，
由正弦定理得， asinA=bsinB，
所以 sinAsinB−3sinBcsA=0
在△ABC中，B∈(0,π)，
所以sinB>0，
所以sinA=3csA，
若csA=0，则sinA=0，矛盾；
若csA≠0，则tanA=sinAcsA=3，
在△ABC中，A∈(0,π)，
所以A=π3.
(2)由(1)知，A=π3，
所以n→=(sinB,−12).
因为|n→|=64，
所以sin2B+(−12)2=64，
解得sinB=24（负值已舍）.
因为sinB=24<12，
所以0在△ABC中，又A=π3，
所以0所以csB>0.
因为sin2B+cs2B=1，
所以csB=144，
从而csC=−cs(A+B)
=−csAcsB+sinAsinB
=−12×144+32×24
=6−148 .
【考点】
向量模长的计算
两角和与差的余弦公式
正弦定理
数量积判断两个平面向量的垂直关系
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为 m→⊥n→ ，
所以 m→⋅n→=0 ，
即asinB−3bcsA=0，
由正弦定理得， asinA=bsinB，
所以 sinAsinB−3sinBcsA=0
在△ABC中，B∈(0,π)，
所以sinB>0，
所以sinA=3csA，
若csA=0，则sinA=0，矛盾；
若csA≠0，则tanA=sinAcsA=3，
在△ABC中，A∈(0,π)，
所以A=π3.
(2)由(1)知，A=π3，
所以n→=(sinB,−12).
因为|n→|=64，
所以sin2B+(−12)2=64，
解得sinB=24（负值已舍）.
因为sinB=24<12，
所以0在△ABC中，又A=π3，
所以0所以csB>0.
因为sin2B+cs2B=1，
所以csB=144，
从而csC=−cs(A+B)
=−csAcsB+sinAsinB
=−12×144+32×24
=6−148 .
【答案】
(1)证明：∵ a1+a2+a3+…+an=n−an(n∈N∗)，①
∴ a1+a2+a3+...+an+an+1=n+1−an+1，②
②−①，得2an+1−an=1，
∴ an+1−1=12(an−1).
又∵ a1=12，
∴ a1−1=−12，
∴ 数列{an−1}是以−12为首项，12为公比的等比数列．
(2)解：∵ 数列{an−1}是以−12为首项，以12为公比的等比数列，
∴ an−1=−12n.
∵ bn=(2−n)(an−1)，
∴ bn=n−22n.
由bn+1−bn
=n+1−22n+1−n−22n
=3−n2n+1>0，得n<3.
由bn+1−bn=3−n2n+1<0，得n>3，
∴ b1b5>...>bn>…，
∴ {bn}的最大值为b3=b4=18，
∴ 对任意n∈N∗，有bn≤18，
∴​bn+14t≤t2，即bn≤t2−14t，
则(bn)max≤t2−14t，
∴ 18≤t2−14t，
解得t≥12或t≤−14，
∴ t的取值范围是(−∞, −14]∪[12, +∞)．
【考点】
等比关系的确定
数列递推式
数列与不等式的综合
【解析】
(I)由a1+a2+a3+…+an=n−an(n∈N∗)，得a1+a2+a3+...+an+an+1=n+1−an+1，二者作差得2an+1−an=1，由此能证明数列{an−1}是等比数列．
(II)由(I)知an=1−12n，从而得到bn=n−22n，由bn+1−bn=3−n2n+1，得到对任意n∈N∗，有bn≤18，从而得到18≤t2−14t，由此能求出t的取值范围．
【解答】
(1)证明：∵ a1+a2+a3+…+an=n−an(n∈N∗)，①
∴ a1+a2+a3+...+an+an+1=n+1−an+1，②
②−①，得2an+1−an=1，
∴ an+1−1=12(an−1).
又∵ a1=12，
∴ a1−1=−12，
∴ 数列{an−1}是以−12为首项，12为公比的等比数列．
(2)解：∵ 数列{an−1}是以−12为首项，以12为公比的等比数列，
∴ an−1=−12n.
∵ bn=(2−n)(an−1)，
∴ bn=n−22n.
由bn+1−bn
=n+1−22n+1−n−22n
=3−n2n+1>0，得n<3.
由bn+1−bn=3−n2n+1<0，得n>3，
∴ b1b5>...>bn>…，
∴ {bn}的最大值为b3=b4=18，
∴ 对任意n∈N∗，有bn≤18，
∴​bn+14t≤t2，即bn≤t2−14t，
则(bn)max≤t2−14t，
∴ 18≤t2−14t，
解得t≥12或t≤−14，
∴ t的取值范围是(−∞, −14]∪[12, +∞)．
【答案】
解：(1)由已知可得，
f(x)=6cs2ωx2+3sinωx−3
=3csωx+3sinωx
=23sin(ωx+π3)，
由于△ABC为正三角形，
∴ △ABC的高为23，从而BC=4，
∴ 函数f(x)的最小正周期T=4×2=8，
即2πω=8，ω=π4，
∴ 函数f(x)的值域为[−23, 23]．
(2)∵ f(x0)=835，
由(1)得f(x0)=23sin(π4x0+π3)=835，
即sin(π4x0+π3)=45，
由x0∈(−103,23)，知π4x0+π3∈(−π2, π2)，
∴ cs(π4x0+π3)=1−(45)2=35．
∴ f(x0+1)=23sin(π4x0+π4+π3)
=23sin[(π4x0+π3)+π4]
=23[sin(π4x0+π3)csπ4+cs(π4x0+π3)sinπ4]
=23(45×22+35×22)
=765．
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
正弦函数的定义域和值域
【解析】
(Ⅰ)将f(x)化简为f(x)＝23sin(ωx+π3)，利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f(x)的值域；
(Ⅱ)由x0∈(−103,23)，知π4x0+π3∈(−π2, π2)，由f(x0)=835，可求得即sin(π4x0+π3)=45，利用两角和的正弦公式即可求得f(x0+1)．
【解答】
解：(1)由已知可得，
f(x)=6cs2ωx2+3sinωx−3
=3csωx+3sinωx
=23sin(ωx+π3)，
由于△ABC为正三角形，
∴ △ABC的高为23，从而BC=4，
∴ 函数f(x)的最小正周期T=4×2=8，
即2πω=8，ω=π4，
∴ 函数f(x)的值域为[−23, 23]．
(2)∵ f(x0)=835，
由(1)得f(x0)=23sin(π4x0+π3)=835，
即sin(π4x0+π3)=45，
由x0∈(−103,23)，知π4x0+π3∈(−π2, π2)，
∴ cs(π4x0+π3)=1−(45)2=35．
∴ f(x0+1)=23sin(π4x0+π4+π3)
=23sin[(π4x0+π3)+π4]
=23[sin(π4x0+π3)csπ4+cs(π4x0+π3)sinπ4]
=23(45×22+35×22)
=765．
【答案】
解：(1)ℎ(x)=excsxsinx，
ℎ′(x)=ex(sinxcsx−1)sin2x，
当x∈(0,π)时，sinxcsx−1=12sin2x−1<0，
所以ℎ′(x)<0，
所以ℎ′(x)在(0,π)上单调递减.
(2)H(x)=excsx−xsinx，
所以H′(x)=excsx−exsinx−xcsx−sinx
=ex(csx−sinx)−sinx−xcsx.
因为x∈[π4,π2]时，csx≤sinx，sinx>0，xcsx≥0，
所以H′(x)<0，函数H(x)在[π4,π2]上单调递减.
又因为H(π4)=22(eπ4−π4)>0，H(π2)=−π2<0，
所以函数H(x)在[π4,π2]上有且只有一个零点.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
(1)先求出ℎ(x)的导函数来，然后利用恒等变换求出导函数总是小于零，最后判断出单调性.
(2)先根据题意求出H(x)，然后求出H′(x)<0从而判断出H(x)在[π4,π2]上单调递减，接着求出H(x)在[π4,π2]上的最大值和最小值进而推断出函数H(x)在[π4,π2]上有且只有一个零点.
【解答】
解：(1)ℎ(x)=excsxsinx，
ℎ′(x)=ex(sinxcsx−1)sin2x，
当x∈(0,π)时，sinxcsx−1=12sin2x−1<0，
所以ℎ′(x)<0，
所以ℎ′(x)在(0,π)上单调递减.
(2)H(x)=excsx−xsinx，
所以H′(x)=excsx−exsinx−xcsx−sinx
=ex(csx−sinx)−sinx−xcsx.
因为x∈[π4,π2]时，csx≤sinx，sinx>0，xcsx≥0，
所以H′(x)<0，函数H(x)在[π4,π2]上单调递减.
又因为H(π4)=22(eπ4−π4)>0，H(π2)=−π2<0，
所以函数H(x)在[π4,π2]上有且只有一个零点.
【答案】
(1)解：由3(n+1)Sn−nSn+1=0得Sn+1n+1=3×Snn，
所以数列{Snn}是以S11=a1=23为首项，3为公比的等比数列，
于是Snn=23×3n−1=2⋅3n−2，
故Sn=2n⋅3n−2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n⋅3n−2−2(n−1)⋅3n−3=(4n+2)⋅3n−3，
又当n=1时，a1=23符合上式，
所以an=(4n+2)⋅3n−3，n∈N+.
(2)证明：bn=2an+1SnSn+1=2(Sn+1−Sn)SnSn+1=2(1Sn−1Sn+1)，
b1+b2+⋅⋅⋅+bn
=2[(1S1−1S2)+(1S2−1S3)+⋅⋅⋅+(1Sn−1Sn+1)]
=2(1S1−1Sn+1)<2×1S1=3.
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
首先构造等比数列，求出Sn，再求出an；
利用裂项求和及放缩法得出答案.
【解答】
(1)解：由3(n+1)Sn−nSn+1=0得Sn+1n+1=3×Snn，
所以数列{Snn}是以S11=a1=23为首项，3为公比的等比数列，
于是Snn=23×3n−1=2⋅3n−2，
故Sn=2n⋅3n−2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n⋅3n−2−2(n−1)⋅3n−3=(4n+2)⋅3n−3，
又当n=1时，a1=23符合上式，
所以an=(4n+2)⋅3n−3，n∈N+.
(2)证明：bn=2an+1SnSn+1=2(Sn+1−Sn)SnSn+1=2(1Sn−1Sn+1)，
b1+b2+⋅⋅⋅+bn
=2[(1S1−1S2)+(1S2−1S3)+⋅⋅⋅+(1Sn−1Sn+1)]
=2(1S1−1Sn+1)<2×1S1=3.
【答案】
解：(1)设过点(−1,0)与y=f(x)的图象相切的直线方程为y=k(x+1)，切点为(x0,y0)，
则k=g′(x0)=e−ex0ex0=y0x0+1=ex0ex0(x0+1)，
所以x02+x0−1=0，此方程显然有两个不相等的实根，
所以过点(−1,0)能做2条直线与y=g(x)的图象相切．
(2)当m=1，a<0时，f(x)=x−alnx−1，x∈(0,+∞)．
∵ f′(x)=x−ax>0在[3,4]上恒成立，∴ f(x)在[3,4]上为增函数．
设ℎ(x)=1g(x)=exex，
∵ ℎ′(x)=ex−1(x−1)x2>0在[3,4]上恒成立，∴ ℎ(x)在[3,4]上为增函数．
设x2>x1，
则|f(x2)−f(x1)|<1g(x2)−1g(x1)等价于f(x2)−f(x1)<ℎ(x2)−ℎ(x1)，
即f(x2)−ℎ(x2)设u(x)=f(x)−ℎ(x)=x−alnx−1−1e⋅exx，
则u(x)在[3,4]上为减函数．
∴ u′(x)=1−ax−1e⋅ex(x−1)x2≤0在(3,4)上恒成立，
∴ a≥x−ex−1+ex−1x恒成立．
设v(x)=x−ex−1+ex−1x，
∵ v′(x)=1−ex−1+ex−1(x−1)x2
=1−ex−11x−122+34，x∈[3,4]，
∴ ex−11x−122+34>34e2>1，
∴ v′(x)<0，v(x)为减函数，
∴ v(x)在[3,4]上的最大值为v(3)=3−23e2．
∴ a≥3−23e2，
∴ a的最小值为3−23e2．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设过点(−1,0)与y=f(x)的图象相切的直线方程为y=k(x+1)，切点为(x0,y0)，
则k=g′(x0)=e−ex0ex0=y0x0+1=ex0ex0(x0+1)，
所以x02+x0−1=0，此方程显然有两个不相等的实根，
所以过点(−1,0)能做2条直线与y=g(x)的图象相切．
(2)当m=1，a<0时，f(x)=x−alnx−1，x∈(0,+∞)．
∵ f′(x)=x−ax>0在[3,4]上恒成立，∴ f(x)在[3,4]上为增函数．
设ℎ(x)=1g(x)=exex，
∵ ℎ′(x)=ex−1(x−1)x2>0在[3,4]上恒成立，∴ ℎ(x)在[3,4]上为增函数．
设x2>x1，
则|f(x2)−f(x1)|<1g(x2)−1g(x1)等价于f(x2)−f(x1)<ℎ(x2)−ℎ(x1)，
即f(x2)−ℎ(x2)设u(x)=f(x)−ℎ(x)=x−alnx−1−1e⋅exx，
则u(x)在[3,4]上为减函数．
∴ u′(x)=1−ax−1e⋅ex(x−1)x2≤0在(3,4)上恒成立，
∴ a≥x−ex−1+ex−1x恒成立．
设v(x)=x−ex−1+ex−1x，
∵ v′(x)=1−ex−1+ex−1(x−1)x2
=1−ex−11x−122+34，x∈[3,4]，
∴ ex−11x−122+34>34e2>1，
∴ v′(x)<0，v(x)为减函数，
∴ v(x)在[3,4]上的最大值为v(3)=3−23e2．
∴ a≥3−23e2，
∴ a的最小值为3−23e2．