2022届高考数学一轮复习滚动检测六（解析版）

这是一份2022届高考数学一轮复习滚动检测六（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

滚动检测六
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2020·运城景胜中学月考)已知集合A＝{－1,0,1}，则集合B＝{x＋y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3 C．5 D．9
答案　C
解析　集合B＝{x＋y|x∈A，y∈A}＝{－2，－1,0,1,2}，则集合B中元素的个数是5.
2．(2020·天津南开模拟)已知i为虚数单位，复数z＝sin －icos ，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　由于sin ＝sin＝－sin ＝－，
cos ＝cos＝－cos ＝－，
即复数z＝sin －icos ＝－＋i，
所以复数对应的点为，位于第二象限．
3．(2020·温州模拟)已知a>0，b>0，则“a＋b＝1”是“a2＋b2≥”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为a＋b＝1，则a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝22＋≥，满足充分性；若a2＋b2≥，取a＝2，b＝1，则得不到a＋b＝1，不满足必要性．
4．(2020·九龙坡·重庆育才中学月考)嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，则对该椭圆的下述四个结论正确的是(　　)

A．焦距长约为150公里
B．长轴长约为3 988公里
C．两焦点坐标约为(±150,0)
D．离心率约为
答案　D
解析　设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.
依题意可得月球半径约为×3 476＝1 738，
a－c＝100＋1 738＝1 838，
a＋c＝400＋1 738＝2 138，
2a＝1 838＋2 138＝3 976，
a＝1 988，c＝2 138－1 988＝150，
椭圆的离心率约为e＝＝＝，
可得结论D项正确，A，B项错误；
因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误．
综上可知，正确的为D.
5．已知a＝logxy，b＝logyx，c＝xy，d＝yx，其中x，y为正数且x≠1，y≠1，则(　　)
A．对任意的x和y，都有c≠d
B．不存在x和y，使得a＝b
C．a，b，c，d中大于1的数有奇数个
D．存在x和y，使得a 答案　D
解析　令x＝y＝2，则a＝b＝1，c＝d＝4，故A，B，C错误，令x＝5，y＝2，则a＝logxy＝log52<1，b＝log25∈(2,3)，c＝xy＝52＝25，d＝25＝32，此时a 6．(2021·宁波模拟)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的大致图象是(　　)


答案　A
解析　由于f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数为奇函数，排除C，D；当x∈(0，π)时，f(x)＝>0，排除B.
7．(2020·宁夏大学附中月考)在△ABC中，若＝2sin B，则角A等于(　　)
A．30°或60° B．45°或60°
C．120°或60° D．30°或150°
答案　D
解析　由＝2sin B，
得b＝2asin B，
由正弦定理可得sin B＝2sin Asin B，
在△ABC中，0 则sin B≠0，
所以sin A＝，又0 所以A＝30°或150°.
8．(2020·昆明模拟)将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝g(x)的图象的一条对称轴为x＝－
B．y＝g(x)在上单调递增
C．y＝g(x)在上的最大值为1
D．y＝g(x)的一个零点为
答案　B
解析　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
g(x)＝2sin＝2sin.
对选项A，因为g＝2sin＝2sin ＝1≠±2，故A错误；
对选项B，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z.
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
当k＝0时，函数g(x)的单调递增区间为，
所以y＝g(x)在上单调递增，故B正确；
对选项C，因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以≤sin≤1，≤g(x)≤2，g(x)max＝2，故C错误；
对选项D，g ＝2sin＝2sin ＝－≠0，故D错误．
9．(2021·南宁模拟)已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是(　　)
A．1 C．x1>1，x1＋x2<2 D．x1>1，x1＋x2<1
答案　A
解析　f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，
即y＝|2x－2|与y＝－b的图象有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，
在同一坐标系画出y＝|2x－2|与y＝－b的图象如图，

可知1 －b＝2x1－2＝2－2x2，∴4＝2x1＋2x2>2，
∴2x1＋x2<4，∴x1＋x2<2.
10．(2020·大同模拟)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1＝3，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图，取B1C1的中点P，连接BP，MP，

因为在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，P，N分别是B1C1，A1D1的中点，
所以BP∥AN，所以∠MBP是BM与AN所成的角(或所成角的补角)，
因为AA1＝3，M为A1B1的中点，
所以BM＝BP＝＝，PM＝，
所以cos∠MBP＝
＝＝，
所以BM与AN所成的角的余弦值为.
11．(2020·四川成都外国语学校模拟)已知△ABC的顶点B(－3,0)，C(1,0)，顶点A在抛物线y＝x2上运动，点G满足关系＋＋＝0，则点G的轨迹方程为(　　)
A．y＝3x2＋4x＋ B．y＝3x2＋4x＋(y≠0)
C．x＝3y2＋4y＋ D．x＝3y2＋4y＋(x≠0)
答案　B
解析　设A(x0，y0)，G(x，y)，
又B(－3,0)，C(1,0)，
∴＝(x0－x，y0－y)，＝(－3－x，－y)，
＝(1－x，－y)，
由＋＋＝0，
得(x0－x－3－x＋1－x，y0－y－y－y)＝0，
即(x0－3x－2，y0－3y)＝0，
得
即
∵A在抛物线y＝x2上，∴y0＝x，
即3y＝(3x＋2)2，得y＝3x2＋4x＋，
若y＝0，求得x＝－，此时A(0,0)，A，B，C三点共线，不符合题意，
∴点G的轨迹方程为y＝3x2＋4x＋(y≠0)．
12．(2020·温州模拟)已知椭圆C：＋y2＝1，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F(－1,0)，
当l：y＝0时，A(－，0)，B(，0)，M(0,0)，
|FM|＝1，|AB|＝2，
所以＝，
当l：y≠0时，设l：x＝my－1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与椭圆联立
可得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
由根与系数的关系得
取AB的中点为D ，
所以AB的中垂线方程为
lDM：x＝－ －，
令y＝0，得M ，
所以|MF|＝，
又|AB|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1·y2]
＝，
所以＝＝∈，
综上所述，∈.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2020·上海奉贤区致远中学月考)已知a，b∈R，用反证法证明命题：“若a2＋b2＝0，则a，b全为零”时的假设是________________________________．
答案　a，b不全为零
解析　命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为零”，应用反证法时，假设的命题为“若a2＋b2＝0，则a，b不全为零”．
14．(2021·成都模拟)与双曲线－＝1有相同焦点的等轴双曲线的标准方程为________．
答案　－＝1
解析　设与双曲线－＝1有相同焦点的等轴双曲线的标准方程为－＝1，则a＋a＝4＋2⇒a＝3，
所以所求双曲线的方程为－＝1.
15．(2020·广州模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面γ，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y，设BP＝x，则当x∈时，函数y＝f(x)的值域为________．

答案　{3a}
解析　当x∈时，截面多边形是六边形HIJKLM，

设＝＝λ，则＝＝1－λ，
∴HI＋IJ＝a，
∴截面六边形的周长为3a.
16．(2020·江苏邗江中学月考)已知f(x)＝若对任意x∈[－1－a，a－1]，不等式f(x－2a2)≥[f(x)]2恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　由题设知，f(x)＝
当x≥0时，[f(x)]2＝(3x)2＝32x＝f(2x)，
当x<0时，[f(x)]2＝(πx)2＝π2x＝f(2x)，
则[f(x)]2＝f(2x)，
因此，原不等式等价于f(x－2a2)≥f(2x)，
根据指数函数性质f(x)在(－∞，0)，[0，＋∞)上均是增函数，且x<0，f(x)<1，x≥0，f(x)≥1，
∴f(x)在R上是增函数，
∴x－2a2≥2x，即2a2≤－x，
又x∈[－1－a，a－1]，
∴当x＝a－1时，y＝－x取得最小值－(a－1)＝1－a，
∴2a2≤1－a，解得－1≤a≤，
又a－1>－1－a，∴a>0，
故a∈.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)(2021·包头模拟)已知平面内两个不共线的向量a，b，|a|＝2，〈a，b〉＝，|a－2b|＝2.
(1)求|b|；
(2)求(a－2b)与b的夹角．
解　(1)∵|a|＝2，〈a，b〉＝，|a－2b|＝2，
∴a2－4a·b＋4b2＝4－4|b|＋4|b|2＝4，且|b|≠0，
解得|b|＝1.
(2)|a－2b|＝2，
(a－2b)·b＝a·b－2b2＝1－2＝－1，
∴cos〈a－2b，b〉＝＝－，
且〈a－2b，b〉∈[0，π]，
∴〈a－2b，b〉＝.
18．(12分)已知在等比数列{an}中， a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝2n－1＋an(n∈N*)，求{bn}的前n项和Sn.
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，q≠0且q≠1，
则a2＝q，a3＝q2，
∵a2是a1和a3－1的等差中项，
∴2a2＝a1＋(a3－1)，
即2q＝1＋(q2－1)，
解得q＝2或q＝0(舍去)，
∴an＝2n－1(n∈N*)．
(2) bn＝2n－1＋an＝2n－1＋2n－1，
则Sn＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋2＋…＋2n－1)
＝＋
＝n2＋2n－1(n∈N*)．
19．(12分)(2020·长沙模拟)已知向量a＝(m，cos x)，b＝(sin x，n)，函数f(x)＝a·b，且f(x)的图象过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)图象上的最高点到点(0,4)的距离的最小值为2.再将g(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到函数h(x)的图象，讨论h(x)在上的单调性．
解　(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin x＋ncos x，
因为f(x)过点和，
所以
解得m＝，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，
由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin，
设g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x＋4＝4，所以x0＝0.
即到点(0,4)的距离为2的最高点为(0,2)，
将其代入g(x)得sin＝1，
因为0<φ<π，所以φ＝，
因此g(x)＝2sin＝2cos x，
又由已知得h(x)＝2cos 2x，
易得h(x)在(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减，
又x∈，得h(x)在上单调递增，在上单调递减．
20．(12分)(2021·南宁模拟)如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E是DC的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，连接DB，DC，EB.

(1)求证：AD⊥平面BDE；
(2)求平面ADE与平面BDC所成锐二面角的余弦值．
(1)证明　∵AD＝DE＝2，∠ADE＝90°，
∴AE＝BE＝2，
∵AB＝4，∴AE2＋BE2＝AB2，∴AE⊥BE.
又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，
∴BE⊥平面ADE，
又AD⊂平面ADE，∴AD⊥BE，
又∵AD⊥DE，DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面BDE，
∴AD⊥平面BDE.
(2)解　如图，取AE的中点O，连接DO，
∵DA＝DE，∴DO⊥AE，
又平面ADE⊥平面ABCE，∴DO⊥平面ABCE，
过E作直线EF∥DO，
以EA，EB，EF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则E(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0,2，0)，D(，0，)，C(－，，0)，
平面ADE的一个法向量为n1＝(0,1,0)，
又＝(，，0)，＝(－，2，－)，
设平面BDC的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
∴
∴
即取x＝1，
∴平面BDC的法向量为n2＝(1，－1，－3)，
∴cos〈n1，n2〉＝
＝＝－，
∴平面ADE与平面BDC所成锐二面角的余弦值为.
21．(12分)(2021·广州模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点．
(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，·＝－，求点P的坐标；
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
解　(1)因为椭圆方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
可得F1(－，0)，F2(，0)，
设P(x，y)(x>0，y>0)，
则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝－，
所以x2＋y2＝，
联立
解得⇒即P.
(2)显然x＝0不满足题意，可设l的方程为y＝kx＋2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立⇒(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)·12>0，得k2>.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
又∠AOB为锐角，即·>0，
即x1x2＋y1y2>0，x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0，
(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)＋2k＋4＝>0，
可得k2<4.又k2>，即为 解得k∈∪.
22．(12分)已知函数f(x)＝ex，a，b∈R，且a>0.
(1)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求函数f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，求函数f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)，g′(x)为g(x)的导函数．若存在x0∈(1，＋∞)，使g(x0)＋g′(x0)＝0成立，求的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
f′(x)＝ex，
由题意知
即解得a＝2，b＝1，
∴函数f(x)＝ex(x≠0)．
(2)f′(x)＝·ex＝·ex，
令f′(x)>0，得x<－1或x>，
令f′(x)<0，得－1 ∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，，
单调递减区间是(－1,0)，.
(3)∵g(x)＝ex(a>0)，
∴g′(x)＝ex，
∴g(x)＋g′(x)＝2axex－3aex－b
＝ex，
由条件存在x0∈(1，＋∞)，使g(x0)＋g′(x0)＝0成立，得2axex－3aex－b＝0对x∈
(1，＋∞)成立，
又∵ex>0，
∴2ax－3a－b＝0对x∈(1，＋∞)成立，
化简得＝，
令h(x)＝，则问题转化为求h(x)在区间(1，＋∞)上的值域，
求导得h′(x)＝，
令y＝4x2－6x＋3，其为二次函数，图象开口向上，
Δ＝－12<0，则4x2－6x＋3>0，又x>0，
则h′(x)>0，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，值域为(－1，＋∞)，
∴的取值范围是(－1，＋∞)．