2022届高考数学一轮复习滚动检测三（解析版）

这是一份2022届高考数学一轮复习滚动检测三（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

滚动检测三
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|y＝}，B＝，则A∩B等于(　　)
A．[－3，－1) B．[－3,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
答案　D
解析　由已知可得A＝{x|y＝}＝{x|－x2－2x＋3≥0}＝{x|－3≤x≤1}，
B＝＝{x|x>－1}，
所以A∩B＝{x|－1 2．在复平面内，复数z＝的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　因为z＝＝＝＝＝＋i，所以＝－i，
所以对应的点位于第四象限．
3．已知向量a＝(－2，m)，b＝(1，－2)，c＝(m＋1,5)，若a⊥b，则a·(b＋c)等于(　　)
A．－5 B．－7 C．7 D．5
答案　A
解析　∵a＝(－2，m)，b＝(1，－2)，a⊥b，
∴a·b＝－2－2m＝0，解得m＝－1，
∴a＝(－2，－1)，c＝(m＋1,5)＝(0,5)，
b＋c＝(1,3)，
a·(b＋c)＝(－2)×1＋(－1)×3＝－5.
4．(2019·全国Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于(　　)
A．2 B. C．1 D.
答案　A
解析　由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
5．(2020·广州模拟)函数f(x)＝－2x＋的图象大致是(　　)

答案　C
解析　当x＜0时，f(x)＝－2x＋＝－2x－＞0，故排除B，D；又f(2)＝－4＋＝－＜0，故排除A.
6．(2021·黄山模拟)斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13，…作为正方形的边长拼成长方形后画出来的螺旋曲线(由圆弧拼接而成)．斐波那契螺旋线在自然界中很常见，比如海螺的外壳、花瓣、向日葵、台风、水中的漩涡、星系等所呈现的都是斐波那契螺旋．图中所示“黄金螺旋”的长度为(　　)

A．6π B.π C．10π D．27π
答案　B
解析　若正方形的边长为a，则此正方形内的弧长l＝×2πa，图中所示“黄金螺旋”的长度l＝×2π×1＋×2π×1＋×2π×2＋×2π×3＋×2π×5＋×2π×8＋×2π×13＝π.
7．(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　)

A. B. C. D.
答案　C
解析　由图象知π 即π<<2π，所以1<|ω|<2.
因为图象过点，
所以cos＝0，
所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝－k－，k∈Z.
因为1<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝.
故f(x)的最小正周期为T＝＝.
8．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0,1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)在上是减函数
B．若x＝x0是f(x)图象的一条对称轴，则一定有f′(x0)≠0
C．f(x)≥1的解集是，k∈Z
D．f(x)图象的一个对称中心是
答案　D
解析　由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0,1)，得sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝，则f(x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f ＝0，
所以是其图象的一个对称中心，故D正确．
9．(2020·山西网络考试)对于函数f(x)＝的图象，下列说法正确的是(　　)
A．关于点(1,0)对称 B．关于点(0,1)对称
C．关于直线x＝1对称 D．关于直线y＝x对称
答案　B
解析　因为f(x)＝－1＋1＝＋1，令g(x)＝(x∈R)，则g(－x)＝＝＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，则其图象关于原点对称．
将其图象向上平移1个单位长度可得f(x)的图象，
所以f(x)的图象关于(0,1)对称．
10．(2020·合肥模拟)射线测厚技术原理公式为I＝I0e－ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为(　　)
(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.693 1，结果精确到0.001)
A．0.110 B．0.112 C．0.114 D．0.116
答案　C
解析　由题意可得，t＝0.8，ρ＝7.6，＝.因为I＝I0e－ρμt，所以＝e－7.6×0.8×μ，即μ＝≈≈0.114.所以这种射线的吸收系数为0.114.
11．已知在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AC＝2，＋＝0，＝λ，若·＝29，则λ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图，因为＋＝0，

所以＝－＝，
在菱形ABCD中，AB＝BC，
在△ABC中，有cos B＝＝－，
所以AB＝BC＝2，
所以·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝||2＋||2－·＝×22＋×22－×2×2×＝＋4＝29，
解得λ＝.
12．已知函数f(x)＝若0 A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵函数f(x)＝

若0 则－ln a＝且由0<－ln a<1，
得 又af(b)＋bf(a)＝a·＋b(－ln a)＝－aln a＋1，
令g(x)＝－xln x＋1，
则g′(x)＝－ln x－1，
令g′(x)＝0，则x＝，
当 ∴g(x)在上单调递减，∴g(x)∈.
即af(b)＋bf(a)的取值范围是.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知tan＝，则sin θcos θ＝________.
答案　－
解析　由tan＝，得tan θ＝－，
所以sin θcos θ＝＝＝－.
14．已知复数z满足(1＋i)z＝a＋4i(i为虚数单位)，且|z|＝2，则实数a＝________.
答案　0
解析　∵(1＋i)z＝a＋4i，
∴z＝＝＝
＝＋i
∵|z|＝2，∴|z|＝＝2，
解得a＝0.
15．(2021·平顶山、许昌质检)在△ABC中，2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则角A的大小为________．
答案　
解析　因为2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，
由正弦定理化简得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
整理得a2＝b2＋c2＋bc，
又由余弦定理，可得cos A＝＝－，
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
16．(2020·乌鲁木齐检测)设a∈Z，函数f(x)＝ex＋x－a，若x∈(－1,1)时，函数有零点，则a的取值个数为________．
答案　4
解析　由函数解析式，得函数f(x)是单调递增的．由函数零点存在性定理知，若x∈(－1,1)时，函数有零点，需要满足⇒－1 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)(2021·贵溪实验中学月考)已知命题p：A＝{x|a－1 (1)若A∩B＝∅，A∪B＝R，求实数a的值；
(2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解　(1)B＝{x|x2－4x＋3≥0}＝{x|x≤1或x≥3}，
A＝{x|a－1＜x＜a＋1}，
由A∩B＝∅，A∪B＝R，得得a＝2，所以满足A∩B＝∅，A∪B＝R的实数a的值为2.
(2)因为p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，
a＋1≤1或a－1≥3，解得a≤0或a≥4，
所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞)．
18．(12分)已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．
(1)若|c|＝3，且a∥c，求c；
(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(a－b)，求a与b的夹角的余弦值．
解　(1)设c＝(x，y)，
因为a＝(1,2)，a∥c，|c|＝3，
所以解得或
所以c＝(3,6)或c＝(－3，－6)．
(2)因为a＝(1,2)，所以|a|＝＝，
又(a＋2b)⊥(a－b)，|b|＝，
所以(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝5＋a·b－2×2＝0，所以a·b＝－1，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－.
19．(12分)(2020·青岛质检)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且8absin C＝3(b2＋c2－a2)，若a＝，c＝5.
(1)求cos A；
(2)求△ABC的面积S.
解　(1)由题意得＝，
由余弦定理得＝3cos A，
由正弦定理得4sin A＝3cos A，所以tan A＝，
所以在△ABC中，cos A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得b2－8b＋15＝0，解得b＝3或b＝5，
因为tan A＝，所以sin A＝，
由S＝bc·sin A，得S＝或S＝.
20．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m满足下列3个条件，3个条件依次是：①周期T＝π，②过点(0,0)，③f ＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的图象与直线y＝1相邻两个交点间的最短距离．
解　(1)∵f(x)的周期T＝π，
∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)＋m，
又f(x)过点(0,0)，且f ＝，
∴sin φ＋m＝0，sin＋m＝，
∴sin－sin φ＝，
∴cos φ－sin φ－sin φ＝，
∴＝，∴sin＝，
又－<φ<0，∴φ＝－，
又sin φ＋m＝0，∴－＋m＝0，∴m＝，
∴f(x)＝sin＋.
(2)由f(x)＝sin＋＝1，
得sin＝，
∴2x－＝2kπ＋，k∈Z，或2x－＝2kπ＋，k∈Z，
∴x＝kπ＋，k∈Z，或x＝kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的图象与直线y＝1相邻两个交点间的最短距离为－＝.
21．(12分)(2021·温州六校联考)把水放在温度为θ0 ℃的空气中冷却，若水原来的温度是θ1 ℃(θ1>θ0)，t分钟后物体温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是由不同盛水的容器所确定的正常量．
(1)若室内温度为20℃，向某容器中倒入98℃的热水，一小时后测得水温为71.2℃，求k的值；(精确到0.001)
(2)若一保温杯的k＝0.01，向该保温杯中倒入100℃的开水，经过2.5小时测得水温为40℃，求此时的室内温度(假设室内恒温，精确到0.1℃)．
(参考数据ln ≈－0.421，e－1.5≈0.223)
解　(1)由题意，θ0＝20，θ1＝98，θ＝71.2，
代入θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt得71.2＝20＋(98－20)e－60k，
e－60k＝＝，解得k≈0.007.
(2)由θ＝θ0(1－e－kt)＋θ1e－kt，
得40＝θ0(1－e－0.01×150)＋100e－0.01×150，
解得θ0≈22.8，
所以此时的室内温度为22.8℃.
22．(12分)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论g(x)＝f(x)在区间[0,1]上零点的个数．
解　(1)因为f(x)＝ex－ax－1，
所以f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，令f′(x)<0，得x 令f′(x)>0，得x>ln a，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．
(2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝，
由(1)知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增；
若a≤0，由f(0)＝0，知f(x)在区间[0,1]上有一个零点；
若ln a≤0，即0 若0 又f(1)＝e－a－1，所以当e－a－1≥0，即1 当e－a－1<0，即e－1 若ln a≥1，即a≥e，则f(x)在[0,1]上单调递减，f(x)在[0,1]上只有一个零点．
又当x＝时，由f＝0得a＝2(－1)，
所以当a≤1或a>e－1或a＝2(－1)时，g(x)在[0,1]上有两个零点；当1