2022届一轮复习专题练习4 第29练 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习4 第29练 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（解析版），共6页。
考点一 公式的直接应用
1．(2020·内江模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(1,7) B．7
C．－eq \f(1,7) D．－7
2．(2020·宁夏银川二中月考)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α－1＝cs 2α，则cs α等于( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
3．(2020·辽宁省锦州市黑山中学月考)若α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))＝－eq \f(\r(10),10)，则sin β等于( )
A.eq \f(7\r(2),10) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,10)
考点二 公式的逆用与变形用
4．sin 54°sin 66°＋cs 126°sin 24°等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
5．下列各式的值等于eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin 67.5°cs 67.5° B．2cs2eq \f(5π,12)－1
C．1－2sin215° D.eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)
6．计算eq \f(2cs2α－1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))的结果为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
7．(2020·琅琊模拟)tan 80°＋tan 40°－eq \r(3)tan 80°tan 40°＝________.
考点三 角的变换
8．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值是( )
A．－eq \f(2\r(3),5) B.eq \f(2\r(3),5)
C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
9．(2020·云南弥勒市一中月考)已知tan(α＋β)＝eq \f(2,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(13,18) B.eq \f(3,22)
C.eq \f(13,22) D.eq \f(3,18)
10．已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则cs(30°－2α)的值为________．
11．已知α∈(0，π)，2sin α－cs α＝1，则sin eq \f(α,2)等于( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(5),5)
12．设α，β为钝角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝－eq \f(3\r(10),10)，则α＋β的值为( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(5π,4)
C.eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4)
13．(2020·莆田二十四中月考)已知α＋β＋γ＝π，β为锐角，tan α＝3tan β，则eq \f(1,tan γ)＋eq \f(1,tan α)的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,2) D.eq \f(3,4)
14．已知数列{an}满足an＝eq \f(sin 1°,cs n°csn－1°)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项的和记为Sn，则eq \f(S60,S30)＝________.
答案精析
1．A [∵sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan α·tan\f(π,4))＝eq \f(1,7).]
2．D [ ∵2sin 2α－1＝cs 2α，
∴4sin αcs α＝1＋cs 2α＝2cs2α，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴cs α>0，
∴2sin α＝cs α.又sin2α＋cs2α＝1，
∴cs α＝eq \f(2\r(5),5).]
3．B [β＝α－(α－β)，
∵eq \f(π,2)＜α＜π，eq \f(π,2)＜β＜π，
∴－π＜－β＜－eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2)，
∵sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)＜0，
∴－eq \f(π,2)＜α－β＜0，则cs(α－β)＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β)))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))2)＝eq \f(3\r(10),10)，
∵sin α＝eq \f(2\r(5),5)，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2)＝－eq \f(\r(5),5)，
则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2).]
4．C [sin 54°sin 66°＋cs 126°sin 24°＝sin 54°cs 24°－cs 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).]
5．C [2sin 67.5°cs 67.5°＝sin 135°＝eq \f(\r(2),2)，故A不符合；
2cs2eq \f(5π,12)－1＝cs eq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，故B不符合；
1－2sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，故C符合；
eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)＝tan 45°＝1，故D不符合．]
6．B [eq \f(2cs2α－1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))
＝eq \f(cs 2α,\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝eq \f(2cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)))＝2.]
7．－eq \r(3)
解析 根据两角和的正切公式，
可得tan 120°＝tan(80°＋40°)＝eq \f(tan 80°＋tan 40°,1－tan 40°tan 80°)＝－eq \r(3)，
所以tan 40°＋tan 80°＝－eq \r(3)(1－tan 40°tan 80°)
＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan 40°tan 80°，
所以tan 80°＋tan 40°－eq \r(3)tan 80°tan 40°＝－eq \r(3).
8．D [由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，可得eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,2)sin α＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，即eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(4\r(3),5)，
所以eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4\r(3),5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(4,5).]
9．B [由题意得，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β))－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))＝eq \f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))＝eq \f(3,22).]
10.eq \f(7,9)
解析 cs(75°＋α)＝sin(15°－α)＝eq \f(1,3)，
所以cs(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9).
11．B [由题意得2sin α－1＝cs α，∴4sin2α－4sin α＋1＝cs2α，
∴4sin2α－4sin α＋1＝1－sin2α，
∴5sin2α－4sin α＝0，∴sin α＝0(舍)或sin α＝eq \f(4,5)，
∴cs α＝eq \f(3,5)，∴1－2sin2eq \f(α,2)＝eq \f(3,5)，
又eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(5),5).]
12．C [因为α，β为钝角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝－eq \f(3\r(10),10)，
所以cs α＝－eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，
所以cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(\r(2),2)>0.
又α＋β∈(π，2π)，
所以α＋β＝eq \f(7π,4).]
13．A [∵α＋β＋γ＝π，
∴tan γ＝－tan(α＋β)＝－eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－eq \f(4tan β,1－3tan2β)，
∴eq \f(1,tan γ)＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(3tan2β－1,4tan β)＋eq \f(1,3tan β)＝eq \f(9tan2β＋1,12tan β)
＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan β＋\f(1,9tan β)))≥eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,2)，
当且仅当tan β＝eq \f(1,9tan β)，即tan β＝eq \f(1,3)时取等号，
∴eq \f(1,tan γ)＋eq \f(1,tan α)的最小值为eq \f(1,2).]
14．3
解析 ∵an＝eq \f(sin 1°,cs n°cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°)＝eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(n°－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°)),cs n°cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°)
＝eq \f(sin n °cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°－cs n°sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°,cs n°cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°)
＝tan n°－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°
＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°＋tan n°，
∴Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan 0°＋tan 1°))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan 1°＋tan 2°))＋
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan 2°＋tan 3°))＋…＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°＋tan n°))＝tan n°，
∴eq \f(S60,S30)＝eq \f(tan 60°,tan 30°)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),3))＝3.