2022届一轮复习专题练习10 第82练 二项式定理（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习10 第82练 二项式定理（解析版），共4页。试卷主要包含了6的展开式中的第3项为，84的展开式中x2y2的系数是等内容，欢迎下载使用。
考点一 二项式定理
1．(x＋2y)6的展开式中的第3项为( )
A．60x4y2 B．－60x4y2
C．15x4y2 D．－15x4y2
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))6的展开式中的常数项是( )
A．－120 B．－60
C．60 D．120
3．(1＋x＋x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))5的展开式中含x的项为( )
A．120 B．120x C．－40 D．－40x
考点二 二项式系数与系数
4．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
5．在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，x2的系数等于( )
A．280 B．300 C．210 D．120
6．若(2x＋eq \r(3))100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a99)2的值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
考点三 最值问题
7．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－\r(x)))n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )
A．160 B．－160 C．60 D．－60
8．在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x)))11的展开式中，系数最大的项为( )
A．第五项 B．第六项
C．第七项 D．第六项或第七项
考点四 二项式定理的应用
9．若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为( )
A．29 B．29－1
C．39 D．39－1
10．用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为( )
A．99 000 B．99 002
C．99 004 D．99 005
11．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x))))n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则展开式中有理项的二项式系数和为( )
A．2 080 B．2 079 C．32 D．31
12．(2020·南京模拟)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则下列结论不正确的是( )
A．a0的值为2
B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D．a1＋a3＋a5的值为120
13．若(2x＋3y)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－4))n－4的展开式中x2的系数为( )
A．－304 B．304 C．－208 D．208
14．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )
A．2 020×22 019 B．2 021×22 018
C．2 020×22 018 D．2 021×22 019
答案精析
1．A [T2＋1＝Ceq \\al(2,6)x4(2y)2＝60x4y2.]
2．C [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))6的展开式通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)(eq \r(x))6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))k＝Ceq \\al(k,6)·(－2)k·，取k＝2得到常数项为Ceq \\al(2,6)·(－2)2＝60.]
3．D [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))5的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(－2)k·x5－2k，k＝0,1,2,3,4,5，
所以(1＋x＋x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))5的展开式中含x的项为1·Ceq \\al(2,5)(－2)2x1＋x2·Ceq \\al(3,5)(－2)3x－1＝40x－80x＝－40x.]
4．D [根据eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))8和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋y))4的展开式的通项公式可得， x2y2的系数为Ceq \\al(2,8)·Ceq \\al(2,4)＝168.]
5．D [在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，x2的系数为Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9)
＝Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(2,4)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝…
＝Ceq \\al(3,9)＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,10)＝120.]
6．A [令x＝1，则(2＋eq \r(3))100＝(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)；令x＝－1，则(－2＋eq \r(3))100＝(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)，
两式相乘得(2＋eq \r(3))100(－2＋eq \r(3))100＝(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2，即(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝1.]
7．C [二项式系数对称，所以，若只有第四项的二项式系数最大，则n＝6，通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))6－k·(－eq \r(x))k＝，由eq \f(3,2)k－6＝0，得k＝4，所以常数项为(－1)4×22×Ceq \\al(4,6)＝60.]
8．C [依题意可知Tk＋1＝Ceq \\al(k,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))kx22－3k,0≤k≤11，k∈N，二项式系数最大的是Ceq \\al(5,11)与Ceq \\al(6,11)，
所以系数最大的是T7＝Ceq \\al(6,11)，即第七项．]
9．D [令x＝0，得a0＝1，令x＝2得(1＋2)(1－4)8＝a0＋a1·2＋…＋a9·29，所以a1·2＋…＋a9·29＝39－1.]
10．C [9.985＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－0.02))5＝105－Ceq \\al(1,5)·104·0.02＋Ceq \\al(2,5)·103·0.022－Ceq \\al(3,5)·102·0.023＋Ceq \\al(4,5)101·0.024－0.025
≈105－Ceq \\al(1,5)·104·0.02＋Ceq \\al(2,5)·103·0.022
＝100 000－1 000＋4＝99 004.]
11．C [依题意得eq \f(4n,2n)＝64，∴n＝6，
∴Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·x6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(x))))k＝，
令6－eq \f(3,2)k∈Z，k＝0,1,2，…，6，
∴k＝0,2,4,6，
即展开式中的有理项为T1，T3，T5，T7，
其二项式系数和为Ceq \\al(0,6)＋Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(4,6)＋Ceq \\al(6,6)＝25＝32.]
12．D [∵(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，
令等式中的x＝0，可得a0＝2，故A正确．
a5的值，即展开式中x5的系数，
为2×(－2)5Ceq \\al(5,5)＋(－2)4Ceq \\al(4,5)＝16，即a5＝16，故B正确．
在所给的等式中，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3，①
又a0＝2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－5，故C正确；
在所给的等式中，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝243，②
由①②得，a1＋a3＋a5＝－123，故D错误．]
13．A [由题意可知n＝8，
故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－4))n－4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4＋x2＋\f(1,x2)))4，
其展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)(－4)4－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))k，k＝0,1,2,3,4，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))k的展开式的通项为Ceq \\al(m,k)(x2)k－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))m＝Ceq \\al(m,k)x2k－4m，m＝0,1，…，k，
令2k－4m＝2，得k＝2m＋1，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝0，,k＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,k＝3，))
所以，x2的系数为Ceq \\al(1,4)×Ceq \\al(0,1)×(－4)3＋Ceq \\al(3,4)×Ceq \\al(1,3)×(－4)1＝－304.]
14．B [由题意，数表的每一行从右向左都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，……
故第1行的第一个数为2×2－1，第2行的第一个数为3×20，第3行的第一个数为4×21，…，第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，第2 020行只有一个数，所以这个数是2 021×22 018.]