2022届一轮复习专题练习8 第62练 立体几何小题易错练（解析版）

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A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若m∥n，n⊂α，则m∥α
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
2．“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补．其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知△ABC是面积为eq \f(9,4)eq \r(3)的等边三角形，其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(3,2) C．1 D.eq \f(\r(3),2)
5．如图所示，有一个几何体是由几个相同的正方体拼合而成，则这个几何体含有的正方体的个数是( )
A．7 B．6 C．5 D．4
6.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为( )
A．12 B．13
C.eq \r(61) D．15
7．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V≈eq \f(1,36)L2h的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式V≈eq \f(3,112)L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为( )
A.eq \f(22,7) B.eq \f(157,50)
C.eq \f(28,9) D.eq \f(337,115)
8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝2，A1E＝m，DQ＝n，DP＝p(m，n，p大于零)，则四面体PEFQ的体积( )
A．与m，n，p都有关
B．与m有关，与n，p无关
C．与p有关，与m，n无关
D．与n有关，与m，p无关
10.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则下列说法不正确的是( )
A．三棱锥D－BEF的体积为6
B．直线PB与直线DF垂直
C．平面DEF截三棱锥P－ABC所得的截面面积为12
D．点P与点A到平面BDE的距离相等
11．将一个棱长为3 cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为________cm3.
12．(2020·北京模拟)将底面直径为8，高为2eq \r(3)的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为________．
13．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
14．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P－ABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面的面积等于4eq \r(6)；
②截面是一个五边形；
③截面只与四棱锥P－ABCD四条侧棱中的三条相交．
其中，所有正确结论的序号是________.
答案精析
1．D [对于选项A，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或者异面，所以A不正确；
对于选项B，若m∥α，m∥n，则n∥α或者n⊂α，所以B不正确；
对于选项C，若m∥n，n⊂α，则m∥α或者m⊂α，所以C不正确；
对于选项D，垂直于同一平面的两条直线平行，所以D正确．]
2．B [设命题p：直线l与平面α内无数条直线垂直，
命题q：直线l与平面α垂直，
则p⇏q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．]
3．A [对于①，由斜二测画法规则知，三角形的直观图是三角形，故①正确；
对于②，如图符合条件但却不是棱柱，故②错误；
对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成的三棱锥不是正棱锥，故③错误；
对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，地板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与地板面相交的面与地板面构成的二面角不一定是直角．故④错误．所以只有命题①正确．故选A.]
4．C [如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，则O1为等边三角形ABC的中心．
设△ABC的边长为a，则eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(9\r(3),4)，解得a＝3，
∴O1A＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×3＝eq \r(3).
设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.
在Rt△OO1A中，OO1＝eq \r(OA2－O1A2)＝1，
即O到平面ABC的距离为1.]
5．C [根据三视图，还原空间几何体如图所示，
由图知，该几何体含有5个正方体．]
6．C [将正三棱柱ABC－A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，
在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×1＝6，宽等于5，由勾股定理得d＝eq \r(62＋52)＝eq \r(61).]
7．C [设圆锥底面圆的半径为r，则V＝eq \f(1,3)πr2h，
又V≈eq \f(3,112)L2h＝eq \f(3,112)(2πr)2h，
故eq \f(3,112)(2πr)2h≈eq \f(1,3)πr2h，所以π≈eq \f(112,36)＝eq \f(28,9).]
8．D [一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]
9．C [四面体PEFQ的体积V＝＝eq \f(1,3)·S△EFQ·h(h为点P到平面EFQ的距离)．
S△EFQ＝eq \f(1,2)×EF×DA1＝eq \f(1,2)×2×4eq \r(2)＝4eq \r(2)为定值，与m，n无关，
点P到平面EFQ的距离即为点P到平面A1B1CD的距离，与点P的位置有关，即与p有关，故选C.]
10．B [对于A选项，∵D，E分别为PC，AC的中点，则DE∥PA，且DE＝eq \f(1,2)PA＝3，
∵PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，
∵F为AB的中点，∠ABC＝90°，
∴S△BEF＝eq \f(1,2)S△ABE＝eq \f(1,4)S△ABC＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×6×8＝6，
∴VD－BEF＝eq \f(1,3)S△BEF·DE＝eq \f(1,3)×6×3＝6，故A选项正确；
对于B选项，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥PA，
又∵∠ABC＝90°，即BC⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
∵E，F分别为AC，AB的中点，
∴EF∥BC，∴EF⊥平面PAB，
∵AB⊂平面PAB，∴EF⊥AB，
∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，
∵EF∩DE＝E，DE，EF⊂平面DEF，
∴AB⊥平面DEF，∵DF⊂平面DEF，∴AB⊥DF，
假设DF⊥PB，∵AB∩PB＝B，∴DF⊥平面PAB，
而过点F有且只有一条直线与平面PAB垂直，故B选项错误；
对于C选项，取PB的中点M，连接DM，FM，
∵D，M分别为PC，PB的中点，
∴DM∥BC且DM＝eq \f(1,2)BC，
同理可得EF∥BC且EF＝eq \f(1,2)BC，
∴EF∥DM且EF＝DM，
四边形DEFM为平行四边形，则平面DEF截三棱锥P－ABC所得的截面为平行四边形DEFM，
易知DE⊥EF，且DE＝eq \f(1,2)PA＝3，EF＝eq \f(1,2)BC＝4，
∴S▱DEFM＝DE·EF＝12，
故C选项正确；
对于D选项，∵DE∥PA，PA⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE，
∴点P与点A到平面BDE的距离相等，故D选项正确．]
11.eq \f(9,2)π
解析 正方体的棱长为3 cm，
所以最大球体的半径R＝eq \f(3,2) cm，
所以球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(9π,2) cm3.
12．4eq \r(3)π
解析 欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；
设圆柱的高为h，底面半径为r，
则eq \f(2\r(3)－h,2\r(3))＝eq \f(r,4)，解得h＝2eq \r(3)－eq \f(\r(3),2)r，
所以S圆柱侧＝2πrh＝2πreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)－\f(\r(3),2)r))＝eq \r(3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4r－r2))，
当r＝2时，S圆柱侧取得最大值4eq \r(3)π.
13．①③④⇒②(或②③④⇒①)
解析 ∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，
若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β.
又∵④m⊥α，
∴②α⊥β.
即①③④⇒②.
若②α⊥β，③n⊥β，则n∥α.
又∵④m⊥α，
∴①m⊥n.
即②③④⇒①.
14．②③
解析 如图，连接AC，BD交于点N，过点F作FG∥BD交CD于点G，交AC于点M，过点M作MI∥PC交PA于点I，连接IH，EI，GH.
在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，
∵E，F分别为PB，BC的中点，
∴EF∥PC且EF＝eq \f(1,2)PC＝2eq \r(3)，
∵EF⊂平面EFGH，PC⊄平面EFGH，
∴PC∥平面EFGH，
∵PC⊂平面PCD，平面PCD∩平面EFGH＝GH，
∴GH∥PC，
∵H为PD的中点，∴G为CD的中点，
∴GH＝eq \f(1,2)PC＝2eq \r(3)，
同理可得EH∥BD∥FG，且EH＝FG＝eq \f(1,2)BD＝2eq \r(2)，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵四边形ABCD为正方形，则BD⊥AC，
∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC，
则EF⊥EH，
∴四边形EFGH为矩形，故E，F，G，H四点共面．
又∵PC∥平面EFGH，M∈平面EFGH且MI∥PC，
∴MI⊂平面EFGH，故E，F，G，H，I五点共面．
∴截面EFGHI为一个五边形且截面只与四棱锥P－ABCD四条侧棱中的三条相交，
∴②③正确．
又S四边形EFGH＝EF·EH＝2eq \r(3)×2eq \r(2)＝4eq \r(6)，
∴截面五边形EFGHI的面积大于4eq \r(6)，故①错误．