人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷三（解析版）

这是一份人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷三（解析版），共19页。试卷主要包含了已知直线a在平面α外，则，复数z满足z等内容，欢迎下载使用。
人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷三
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知直线a在平面α外，则（　　）
A．a∥α
B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α＝A
D．直线a与平面α至多有一个公共点

【答案】D
【分析】由直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交得答案．
【解答】解：空间中直线与平面的位置关系有两种，即直线在平面外和直线在平面内，
而直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交，
可知，若直线a在平面α外，则直线a与平面α至多有一个公共点，
故选：D．
【知识点】平面的基本性质及推论

2.在△ABC中，，．若点D满足，则＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】C
【分析】由题意先求出，，再求出．
【解答】解：在△ABC中，，；如图；
∴＝﹣＝﹣，
又，
∴＝＝（﹣）；
∴＝+＝+（﹣）＝+；
故选：C．

【知识点】向量加减混合运算

3.设E为△ABC所在平面内一点，若＝2，则（　　）
A．＝+ B．＝﹣
C．＝+ D．＝﹣

【答案】A
【分析】直接利用向量的线性运算的应用和减法求出结果．
【解答】解：E为△ABC所在平面内一点，若＝2，
根据向量的线性运算：，
则．
故选：A．
【知识点】向量数乘和线性运算

4.复数z满足z（1+i）＝1﹣ai，且z在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，+∞）

【答案】C
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．
【解答】解：由z（1+i）＝1﹣ai，得z＝，
∵z在复平面内对应的点在第四象限，
∴，解得﹣1＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．
故选：C．
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义

5.在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为B1C1的中点，过点D作平面a使a⊥BM，则平面a截正方体所得截面的面积为（　　）
A． B． C． D．

【答案】C
【分析】先作出平面α，进而求出截面的面积．
【解答】解：作出截面 CDEF，点 E，F 分别为 AA1，BB1中点，
四边形CDEF的面积为＝．
故选：C．

【知识点】平面的基本性质及推论

6.已知z＝x+yi，x，y∈R，i是虚数单位．若复数+i是实数，则|z|的最小值为（　　）
A．0 B． C．5 D．

【答案】D
【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x＝y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵复数+i＝＝＝是实数，
∴＝0，得到x＝y+2．
∴|z|＝＝＝，当且仅当y＝﹣1，x＝1取等号．
∴|z|的最小值为．
故选：D．
【知识点】复数的模

7.已知平面向量，，满足||＝2|﹣|＝2|﹣|＝2||＝2，则•的取值范围是（　　）
A．[1，2] B． C． D．

【答案】C
【分析】建立平面坐标系，得出三向量的终点满足的条件，用参数表示出，根据三角恒等变换化简即可求出最小值．
【解答】解：设＝，＝，＝，则由题意可知PA＝2，AB＝1，PC＝1，BC＝1，
以PA为x轴，以PA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系O﹣xy，
则B点在圆A：（x﹣1）2+y2＝1上，C点在圆P：（x+1）2+y2＝1上，
设B（1+cosα，sinα），C（﹣1+cosβ，sinβ），
则＝＝（2+cosα，sinα），＝＝（cosβ，sinβ），
∴＝2cosβ+cosαcosβ+sinαsinβ，
∵BC＝1，∴||＝1，∴+﹣2＝1，
即（1+cosα）2+sin2α+（﹣1+cosβ）2+sin2β﹣2（1+cosα）（﹣1+cosβ）﹣2sinαsinβ＝1，
整理可得：cosαcosβ+sinαsinβ＝+2cosα﹣2cosβ，
∴＝+2cosα，
∵|BC|＝1，∴以B为圆心，以1为半径的圆B与圆P有公共点，
故1≤|PB|≤2，即1≤（2+cosα）2+sin2α≤2，∴﹣2≤2cosα≤﹣，
∴≤≤1．
故选：C．

【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

8.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AA1的上的一点，且A1E＝2EA＝2，M为侧面ABB1A1上的动点．若C1M∥面ECD1，动点M形成的图形为线段PQ，则三棱锥B1﹣PQC1的外接球的表面积是（　　）

A．27π B．11π C．14π D．17π

【答案】D
【分析】若C1M∥面ECD1，则P、Q分别满足B1Q＝2QB＝2，B1P＝2PA1＝2；然后证明C1Q∥D1E，PQ∥D1C，根据面面平行的判定定理可推出平面C1PQ∥平面ECD1，故C1M∥面ECD1；于是以B1为顶点，B1P、B1Q、B1C1分别为长、宽、高构造一个长方体，求得该长方体的体对角线即可得三棱锥B1﹣PQC1外接球的直径，再由球的表面积公式即可得解．
【解答】解：若C1M∥面ECD1，则P、Q分别满足B1Q＝2QB＝2，B1P＝2PA1＝2．理由如下：
连接C1Q、C1P，
∵A1E＝2EA＝2，B1Q＝2QB＝2，
∴C1D1∥EQ，C1D1＝EQ，
∴四边形C1D1EQ为平行四边形，∴C1Q∥D1E．
∵B1Q＝2QB＝2，B1P＝2PA1＝2
∴PQ∥A1B∥D1C．
又C1Q∩PQ＝Q，D1E∩D1C＝D1，C1Q、PQ⊂平面C1PQ，D1E、D1C⊂平面ECD1，
∴平面C1PQ∥平面ECD1，
∵C1M⊂平面C1PQ，∴C1M∥面ECD1．

以B1为顶点，B1P＝2、B1Q＝2、B1C1＝3分别为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的体对角线为三棱锥B1﹣PQC1外接球的直径，
∴2R＝，其中R为外接球的半径，
∴R＝，
∴外接球的表面积S＝4πR2＝17π．
故选：D．
【知识点】球的体积和表面积


二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）

9.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是（　　）
A．是单位向量 B．
C． D．

【答案】ABD
【分析】根据条件可求出，从而判断选项A正确；可得出，从而判断选项B正确；对两边平方即可得出，从而判断选项C错误；根据前面，可以得出，从而判断选项D正确．
【解答】解：A．∵，∴由得，，∴是单位向量，该选项正确；
B．∵，∴，该选项正确；
C.，∴由得，，即，∴，该选项错误；
D．∵，由上面得，，∴，该选项正确．
故选：ABD．
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平面向量数量积的性质及其运算

10.四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2AD＝2DC，，则下列表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．

【答案】BD
【分析】根据图象以及三角形法则分别求出对应选项的向量，即可判断选项是否正确．
【解答】解：由已知四边形ABCD如图所示：
由图可得：＝++＝﹣++＝+，所以A错误，
＝＝（+）＝+）＝+＝
＝+＝，B正确，
＝＝﹣＝，C错误，
＝＝＝﹣，D正确，
故选：BD．
【知识点】平面向量的基本定理

11.如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝1，E为AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝．则（　　）

A．平面PED⊥平面EBCD
B．二面角P﹣DC﹣B的大小为
C．PC⊥ED
D．PC与平面PED所成角的正切值为

【答案】AB
【分析】根据PC的长证明PE⊥平面BCDE，分别计算线线角、线面角、面面角的大小即可作出判断．
【解答】解：∵AB∥CD，BC⊥AB，CD＝BC＝AB＝BE，
∴四边形BCDE是正方形，∴DE⊥AE，DE⊥BE，
故翻折后DE⊥PE，∵PE＝AE＝1，EC＝＝，PC＝，
∴PE2+EC2＝PC2，故PE⊥EC，又DE∩EC＝E，
∴PE⊥平面BCDE，又PE⊂平面PDE，
∴平面PED⊥平面BCDE，故A正确，
由PE⊥平面BCDE可得PE⊥CD，又CD⊥DE，PE∩DE＝E，
∴CD⊥平面PDE，故CD⊥PD，
∴∠PDE为二面角P﹣DC﹣B的平面角，
∵PE＝DE＝1，PE⊥DE，∴∠PDE＝，故B正确；
∵DE∥BC，∴∠PCB为异面直线PC与DE所成的角，
∵DE⊥PE，DE⊥BE，PE∩BE＝E，∴DE⊥平面PBE，
∴DE⊥PB，又DE∥BC，∴BC⊥PB，
∴∠PCB＜，故C错误；
由CD⊥平面PDE可得∠CPD为PC与平面PDE所成角，
∴tan∠CPD＝＝＝，故D错误．
故选：AB．

【知识点】二面角的平面角及求法、平面与平面垂直、直线与平面所成的角

12.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝a，以下结论正确的有（　　）

A．AC⊥BE
B．点A到△BEF的距离为定值
C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的
D．异面直线AE，BF所成的角为定值

【答案】ABC
【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D．
【解答】解：对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1，AC⊥平面BDD1B1，
所以AC⊥BE，所以A正确；
对于B，A到平面CDD1C1的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，
则B正确；
对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为
V三棱锥A﹣BEF＝•EF•AB•BB1•sin45°＝×××a×a×a＝a3，
三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的，正确；
对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；
故选：ABC．

【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积


三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13.已知平面向量，，其中，，，则＝　　；若t为实数，则的最小值为　　．

【分析】根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值；根据进行数量积的运算即可求出，然后配方即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴＝；
＝，
∴t＝﹣1时，取最小值．
故答案为：．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

14.在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9．若＝m+（﹣m）（m为常数），则CD的长度是　　．



【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求得B与C的坐标，再把的坐标用m表示．由AP＝9列式求得m值，然后分类求得D的坐标，则CD的长度可求．
【解答】解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则B（4，0），C（0，3），
由＝m+（﹣m），得，
整理得：
＝﹣2m（4，0）+（2m﹣3）（0，3）＝（﹣8m，6m﹣9）．
由AP＝9，得64m2+（6m﹣9）2＝81，解得m＝或m＝0．
当m＝0时，，此时C与D重合，|CD|＝0；
当m＝时，直线PA的方程为y＝x，
直线BC的方程为，
联立两直线方程可得x＝m，y＝3﹣2m．
即D（，），
∴|CD|＝．
∴CD的长度是0或．
故答案为：0或．

【知识点】向量的概念与向量的模

15.已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足|z﹣1|＝x，那么z在复平面上对应的点（x，y）的轨迹方程为　　﹣　；|z|min＝　　　　　　．

【分析】把z＝x+yi（x，y∈R）代入|z﹣1|＝x，整理后可得z在复平面上对应的点（x，y）的轨迹方程，画出图形，数形结合可得|z|min．
【解答】解：∵z＝x+yi（x，y∈R）且|z﹣1|＝x，
∴|（x﹣1）+yi|＝x，即，
整理得y2＝2x﹣1．
图象如图，

∴|z|min＝．
故答案为：y2＝2x﹣1；．
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义

16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为　　　　　　；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为　　　　　　．


【分析】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，在棱长为1的正四面体S﹣ABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，求出AD＝SD＝，OD＝＝，SO＝＝，该六面体的体积
V＝2VS﹣ABC；当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，由此能求出该球体积的最大值．
【解答】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，
如图，在棱长为1的正四面体S﹣ABC中，
取BC中点D，连结SD、AD，
作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，
则AD＝SD＝＝，OD＝＝，SO＝＝，
∴该六面体的体积：
V＝2VS﹣ABC＝2×＝．
当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，
过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，
∵SO×OD＝SD×OE，∴球半径R＝OE＝＝＝，
∴该球体积的最大值为：V球＝＝．
故答案为：，．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积


四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知向量＝（2sinA，1），＝（sinA+cosA，﹣3），⊥，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，＞0，求b+c的取值范围．

【分析】（1）根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出；
（2）根据即可得出，然后根据正弦定理即可得出，从而可得出，从而可得出b+c的取值范围．
【解答】解：（1）∵，
∴＝＝，
∴，
∵0＜A＜π，∴，
∴，解得；
（2）由，得∠B为钝角，
∴，
由正弦定理，得，
∴b＝sinB，，
∴＝，
又，∴，
∴b+c的取值范围为．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

18.如图，在△OAB中，点P为直线AB上的一个动点，且满足＝，Q是OB中点．
（Ⅰ）若O（0，0），A（1，3），B（，0），且＝，求的坐标和模？
（Ⅱ）若AQ与OP的交点为M，又＝t，求实数t的值．


【分析】（Ⅰ）根据题意，＝，代入可求，然后结合向量模长的坐标表示可求，
（II）由，然后结合向量的线性表示可转化为＝，再结合＝t＝t（），结合平面向量基本定理可求．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，Q是OB中点，即OQ＝，
又ON＝，且A（1，3），B（），
若O（0，0），A（1，3），B（，0），且＝，
可知＝（），＝（），
∴＝＝（1，﹣1），
且||＝＝，
（II）因为，
所以＝，可以化简为：＝，
又＝t＝t（），
不妨再设，即＝，
所以＝（1﹣μ）+①，
由Q是OB的中点，所以，
即＝（1﹣μ）+②，
由①②，可得1﹣μ＝，，
联立得t＝．
【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理

19.已知复数z1＝+（a2﹣1）i，z2＝2+2（a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若虚数z1是实系数一元二次方程4x2﹣4x+m＝0的根，求实数m值．

【分析】（1）由复数对应的点在第一象限得到实部大于0，虚部大于0，解不等式组即可；
（Ⅱ）利用z1是实系数一元二次方程4x2﹣4x+m＝0的根，得到另一个根是复数z1的共轭复数，利用根与系数的关系得到a和m．
【解答】解：（Ⅰ由已知得到z1﹣z2＝﹣2+（a2﹣2a﹣3）i，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，解得，所以；
（Ⅱ）因为虚数z1是实系数一元二次方程4x2﹣4x+m＝0的根，所以1是方程的另一个根，所以＝1，所以a＝0，
所以，，
所以，所以m＝5．
【知识点】复数的运算

20.已知复数z满足z＝（﹣1+3i）（1﹣i）﹣4．
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若ω＝z+ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．

【分析】（1）根据复数的代数形式的运算法则，求出复数z，再求z的共轭复数；
（2）求出复数ω、z对应的向量、，利用|ω|≤||列出不等式求出a的取值范围．
【解答】解：（1）复数z＝（﹣1+3i）（1﹣i）﹣4＝﹣1+i+3i+3﹣4＝﹣2+4i，
∴复数z的共轭复数为＝﹣2﹣4i；
（2）∵ω＝z+ai＝﹣2+（4+a）i，
∴复数ω对应向量为＝（﹣2，4+a）；
此时||＝＝，
又∵复数z对应的向量＝（﹣2，4），
∴||＝2；
∴|ω|≤||，
∴≤2，
即a（a+8）≤0，
解得实数a的取值范围是﹣8≤a≤0．
【知识点】复数的模

21.如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB＝AE＝BC＝AD＝1，BC∥AD，AE⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，N为DE的中点．
（1）求证：NC∥平面EAB；
（2）求二面角A﹣CN﹣D的余弦值．


【分析】（1）取AE中点F，连接FN，BF，证明四边形BCNF为平行四边形，即可证得NC∥BF，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可．
【解答】解：（1）证明：取AE中点F，连接FN，BF，易知，
又，故，
∴四边形BCNF为平行四边形，
∴NC∥BF，
又∵NC⊄平面ABE，BF⊂平面ABE，
∴NC∥平面EAB；
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），E（0，0，1），N（0，1，），
∴，
设平面ACN的法向量为，则，则可取，
设平面CND的法向量为，则，则可取，
∴，
易知二面角A﹣CN﹣D为钝角，故二面角A﹣CN﹣D的余弦值为．

【知识点】二面角的平面角及求法、直线与平面平行

22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AB＝2，PD⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为45°，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．
（Ⅰ）求证：EF⊥DC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣E所成角的余弦值为，求的值．


【分析】（Ⅰ）推导出AD∥BC，AD∥平面PBC，从而AD∥EF，推导出AD⊥DC，由此能证明EF⊥DC．
（Ⅱ）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AD∥BC，
∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC，
∵AD⊂平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC＝EF，
∴AD∥EF，
∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，∴EF⊥DC．
（Ⅱ）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
平面ADP的法向量＝（0，1，0），
A（2，0，0），D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），
令＝λ，则，∴E（），
＝（），＝（），
设平面ADE的法向量为＝（x，y，z），
则，即，
取z＝λ，得＝（0，，λ），
∴二面角P﹣AD﹣E所成角的余弦值为，
∴|cos＜＞|＝＝＝，解得，
∴＝．

【知识点】二面角的平面角及求法、空间中直线与直线之间的位置关系