人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷七（解析版）

这是一份人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷七（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷七一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴，则，解得或，又，∴，∴，故选D。2．下列说法中错误的是(  )。A、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D、斜二测坐标系取的角可能是【答案】B【解析】平行于轴的线段在直观图中变为原来的一半，故B错误，由斜二测画法的基本要求可知A、C、D正确，故选B。3．在下列命题中，正确命题的个数为(  )。①两个复数不能比较大小；②若是纯虚数，则实数；③是虚数的一个充要条件是；④若、是两个相等的实数，则是纯虚数；⑤的一个充要条件是；⑥的充要条件是。A、B、C、D、【答案】B【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错，时，，②错，为实数时，也有，③错，时， ，④错，⑤⑥正确，故选B4．设、是两个不同的平面，则的充要条件是(  )。A、平面内任意一条直线与平面垂直B、平面、都垂直于同一条直线C、平面、都垂直于同一平面D、平面内存在一条直线与平面垂直【答案】D【解析】若，则平面内存在直线与平面不垂直，选项A不正确；若平面、都垂直于同一条直线，则平面与平行，选项B不正确；若平面、都垂直于同一平面，则平面、可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面内存在一条直线与平面垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知，若，则由面面垂直的性质定理知，平面内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面，故选项D正确；故选D。5．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】设，，，则长方体的体积，又，且三棱锥的高为，∴，则剩余部分的几何体体积，则，故选A。6．四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】将四面体置于一个长方体中，∴四面体的外接球即为长方体的外接球，设长方体的长、宽、高分别为、、，则根据图形可有，则外接球的直径，∴，则球的表面积为，故选C。7．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图。其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】如图所示，建立以、为一组基底的基向量，其中且、的夹角为60°，∴，，∴，故选B。8．在长方体中，，，、分别为上底面的边、的中点，过、的平面与底面交于、两点，、分别在下底面的边、上，，平面与棱交于点，则直线与侧面所成角的正切值为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】延长和交于点，连接，        ∵平面，平面平面，        ∴，且，∵，∴，∴，∴，又，∴，∵∽，∴，且，∴，∵∽，∴，且，∴，又，∴，又直线与侧面所成角为，则，故选A。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设为虚数单位，则下列命题错误的是(  )。A、，复数是纯虚数B、在复平面内对应的点位于第三象限C、若复数，则存在复数，使得D、，方程无解【答案】ABD【解析】A选项，只有当时，复数是纯虚数，错，B选项，，对应的点位于第一象限，错，C选项，若复数，则存在复数，使得，对，D选项，，方程成立，错，故选ABD。10．如图所示，在正方体中，、分别是、的中点，则图中阴影部分在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的(  )。A、                                B、C、                                D、【答案】AC【解析】A选项为在上的投影，C选项为在上的投影。11．设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题是真命题的有(  )。A、B、C、不与垂直D、【答案】BD【解析】A选项，平面向量的数量积不满足结合律，故A假，B选项，由向量的减法运算可知、、恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故B真，C选项，∵，∴与垂直，故C假，D选项，，成立，故D真，故选BD。12．如图，在直角梯形中，，，且为的中点，、分别是、的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是(  )。A、不论折至何位置(不在平面内)，都有平面B、不论折至何位置(不在平面内)，都有C、不论折至何位置(不在平面内)，都有D、在折起过程中，一定存在某个位置，使【答案】ABD【解析】由已知，在未折叠的原梯形中，，，∴四边形为平行四边形，∴，折叠后如图所示，A选项，过点作，交于点，连接，∵、分别是、的中点，∴点为的中点，故，又，，∴平面平面，故平面，对，B选项，由已知，，，∴，，又，∴平面，又平面，∴，对，C选项，假设，则与确定平面，从而平面，平面，与和是异面直线矛盾，错，D选项，当时，，∵，，，∴平面，平面，∴，对，故选ABD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算       。【答案】【解析】原式。14．已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为       。【答案】【解析】设正四面体的棱长为，则，高，设点在底面内的射影是，则，∴即为所求异面直线与所成角，则。15．已知非零向量、满足，，且与的夹角为，则的取值范围是         。【答案】【解析】令，则，与的夹角为，∴，又，∴，∴的取值范围是。16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为       。【答案】【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，∴，设底面圆的半径为，则有，解得，∴这个圆锥的高为，这个圆锥的体积为。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知、，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围。【解析】∵，∴，                                           2分∴对恒成立，                                        4分当，即时，不等式恒成立，                                        6分当时，，                             9分综上，。                                                           10分18．（本小题满分12分）已知三个点，，。(1)求证：；(2)若四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值。【解析】(1)证明：∵，，，∴，，                2分∵，∴，即；               4分(2)解：∵，四边形为矩形，∴，                         5分设点坐标为，则，                             6分∴，解得，∴点坐标为，                           7分从而，，且，，，                         9分设与的夹角为，则，                 11分∴矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为。                       12分19．（12分）如图，底面为菱形的直棱柱中，、分别为棱、的中点。(1)在图中作一个平面，使得，且平面；(不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面。)(2)若，，求点到所作截面的距离。     【解析】(1)如图，取、的中点、，连接、、，则平面即为所求平面；                                              6分(2)设点到平面的距离为，由等体积法得：，又，                 8分∵，又，∴，                             10分又由得：，∴。            12分20．（本小题满分12分）如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，平面平面，，，四边形为平行四边形，且。(1)求证：；(2)若，，，求此五面体的体积。      【解析】(1)过作交于，连接，由平面平面，平面平面，得平面，∴，                                          2分∵，，，∴≌，∴，由已知得为等腰直角三角形，∴，                  4分又，，平面，∴平面，；                                             6分(2)取中点，连接、，由(1)可知，，又，∴四边形为平行四边形，棱柱为斜棱柱且为此斜棱柱的直截面，在四棱锥中，由(1)知，，又平面平面，∴平面，∴。                     12分21．（本小题满分12分）如图所示的空间几何体中，平面平面，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上。(1)求证：平面；(2)求多面体的体积。       【解析】(1)证明：由题意知，、都是边长为的等边三角形，取中点，连接、，则，，∵平面平面，∴平面，   2分作平面，则，根据题意点落在上，∴，易求得，∴四边形是平行四边形，，         4分∵平面，平面，∴平面；                5分   (2)解：∵平面平面，，∴平面，又∵，∴平面，                                      7分∴三棱锥体积，           9分又三棱锥体积，                   11分∴多面体体积为。                            12分22．（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，为边上的中点。(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)求三棱锥的体积。   【解析】(1)如图，取的中点，连接、，∵为中点，∴，且，∵，，∴且， ∴四边形是平行四边形，                                              2分∴，又平面，平面，∴平面；          4分(2)在直角梯形中，，∴，∴，即，                                         6分又平面，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面；                                 8分(3)∵为边上的中点，平面，∴，                   10分∵，，∴。                  12分