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![2022届高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及线性运算学案理含解析北师大版03](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/12165636/0/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
2022届高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及线性运算学案理含解析北师大版
展开平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及线性运算
命题分析预测 | 学科核心素养 |
本节在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理,主要以选择题和填空题的形式呈现,难度不大. | 本节通过平面向量的线性运算,考查考生的直观想象、数学运算核心素养和方程思想、数形结合思想的运用. |
授课提示:对应学生用书第87页
知识点一 向量的有关概念
名称 | 定义 | 备注 |
向量 | 既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模) | 平面向量是自由向量 |
零向量 | 长度为0的向量 | 记作0,其方向是任意的 |
单位向量 | 长度等于1个单位的向量 | 非零向量a的单位向量为± |
平行向量 | 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) | 0与任一向量平行或共线 |
相等向量 | 长度相等且方向相同的向量 | 两向量只有相等或不等,不能比较大小 |
相反向量 | 长度相等且方向相反的向量 | 0的相反向量为0 |
• 温馨提醒 •
1.对于平行向量易忽视两点:(1)零向量与任一向量平行.(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合,易忽视重合这一情况.
2.单位向量的定义中只规定了长度,没有方向限制.
1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等.则所有真命题的序号是( )
A.① B.③
C.①③ D.①②
解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量与互为相反向量,故③错误.
答案:A
2.(易错题)设a0为单位向量.①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
答案:D
知识点二 向量的线性运算
向量运算 | 定义 | 法则(或几何意义) | 运算律 |
加法 | 求两个向量和的运算 | 三角形法则 平行四边形法则 | (1)交换律: a+b=b+a; (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c) |
减法 | 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 | 三角形法则 | a-b=a+(-b) |
数乘 | 求实数λ与向量a的积的运算 | |λa|=|λ||a|;当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 | λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb |
1.已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则=________,=________(用a,b表示).
解析:如图所示,==-=b-a,=-=--=-a-b.
答案:b-a -a-b
2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1=________,λ2=________.
解析:=+=+=+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=.
答案:-
3.在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则四边形ABCD的形状为________.
解析:如图所示,因为+=,-=,所以||=||.
由对角线相等的平行四边形是矩形可知,四边形ABCD是矩形.
答案:矩形
知识点三 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
• 温馨提醒 •
三个常用结论
(1)P为线段AB的中点⇔=(+).
(2)G为△ABC的重心⇔若A,B,C是平面内不共线的点,则++=0.
(3)=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ+μ=1.
1.若m∥n,n∥k,则向量m与向量k( )
A.共线 B.不共线
C.共线且同向 D.不一定共线
解析:若n≠0,则m与k共线;若n=0,则m与k不一定共线.
答案:D
2.(易错题)已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为________.
解析:当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6].此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况.
答案:[2,6]
授课提示:对应学生用书第88页
题型一 平面向量的有关概念及线性运算
考法(一) 平面向量的有关概念
1.(2021·南宁质检)已知a,b是两个单位向量,下列命题中错误的是( )
A.|a|=|b|=1
B.a·b=1
C.当a,b反向时,a+b=0
D.当a,b同向时,a=b
解析:a,b是两个单位向量,即模为1的向量,对于A,|a|=|b|=1,正确;对于B,a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉=cos〈a,b〉,错误;对于C,当a,b反向时,a+b=0,正确;对于D,当a,b同向时,a=b,正确.
答案:B
2.给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”.
其中真命题的序号是_________.
解析:①不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确,因为=,所以||=||且∥,又因为A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形.反之,若四边形ABCD为平行四边形,则∥且||=||,因此,=.故“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件.
③正确,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,真命题的序号是②③.
答案:②③
向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
考法(二) 平面向量的线性运算
1.(2021·云南曲靖一中月考)在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且=2,=3,若=a,=b,则=( )
A.a+b B.a-b
C.-a-b D.-a+b
解析:=+=+
=(-)-
=--=-a-b.
答案:C
2.如图所示,在直角梯形ABCD中,=,=2,且=r+s,则2r+3s=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:法一:由题图可得=+=+=+(++)=+(+)=+=+.
因为=r+s,所以r=,s=,则2r+3s=1+2=3.
法二:因为=2,所以-=2(-),整理得=+=+(+)=+,以下同法一.
答案:C
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义:向量加法和减法均适合三角形法则.
(2)求已知向量的和:一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.
题型二 平面向量共线定理的应用
[例] 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
[解析] (1)证明:因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b),所以=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,
所以,共线,又它们有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
(2)因为ka+b与a+kb共线,
所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两个不共线的非零向量,
所以k-λ=λk-1=0.所以k2-1=0.
所以k=±1.
[变式探究1] (变条件)若将本例(1)中“=2a+8b”改为“=a+mb”,则m为何值时,A,B,D三点共线?
解析:+=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,
即=4a+(m-3)b.
若A,B,D三点共线,
则存在实数λ,使=λ,
即4a+(m-3)b=λ(a+b),
所以
解得m=7.
故当m=7时,A,B,D三点共线.
[变式探究2] (变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
解析:因为ka+b与a+kb反向共线,
所以存在实数λ,
使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),
所以所以k=±1.
又λ<0,k=λ,所以k=-1.
故当k=-1时,两向量反向共线.
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时才能得出三点共线.即A,B,C三点共线⇔,共线.
[题组突破]
1.已知O为△ABC内一点,且2=+,=t,若B,O,D三点共线,则t的值为_________.
解析:设线段BC的中点为M,则+=2.
因为2=+,所以=,
则==(+)==+.
由B,O,D三点共线,得+=1,解得t=.
答案:
2.如图所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为_________.
解析:∵=,
∴=m+
=m+.
∵B,P,N三点共线,∴m+=1.
m=.
答案:
共线向量定理应用中的核心素养
数学运算——共线向量定理的推广及应用
[共线定理] 已知,为平面内两个不共线的向量,设=x+y,则A,B,C三点共线的充要条件为x+y=1.
[例] 如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D,若=m+n,则m+n的取值范围是_________.
[解析] 由点D是圆O外的一点,可设=λ(λ>1),则=+=+λ=λ+(1-λ).因为C,O,D三点共线,令=-μ(μ>1),所以=--·(λ>1,μ>1).因为=m+n,所以m=-,n=-,则m+n=--=-∈(-1,0).
[答案] (-1,0)
利用共线定理的推广及数形结合分析是解决此类问题的关键.
[对点训练]
如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为_________.
解析:法一:=(+)=+.
∵M,O,N三点共线,
∴+=1.
∴m+n=2.
法二:MN绕O旋转,当N与C重合时,M与B重合,
此时m=n=1,∴m+n=2.
答案:2
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