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2020-2021学年河南省南阳市高一（上）10月月考数学试卷 (1)北师大版
展开这是一份2020-2021学年河南省南阳市高一（上）10月月考数学试卷 (1)北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集U=R，则正确表示集合A=−1,0,1和B=x|x2=x关系的韦恩图是( )
A.B.
C.D.
2. 已知集合A={x|x∈N，且32−x∈Z}，则集合A中的元素个数为（ ）
A.2B.3C.4D.5
3. 已知集合A={x|x>1}，B={x|ax>1}，若B⊆A，则实数a的取值范围（ ）
A.(0, 1)B.(0, 1]C.[0, 1]D.[0, 1)
4. 已知函数y=f(x)的定义域是[−2, 3]，则y=f(2x−1)的定义域是( )
A.[0,52]B.[−1, 4]C.[−12,2]D.[−5, 5]
5. 已知函数fx满足f3x+1=2x−3且fa=1，则实数a的值为（ ）
A.−7B.−6C.7D.6
6. 设函数f(1+1x)=2x+1，则fx的表达式为( )
A.1+x1−xB.1+xx−1C.1−x1+xD.2xx+1
7. 若关于x的不等式|x+1|+|x−2|
8. 已知二次函数fx=x2−2x−4在区间−2,a上的最小值为−5，最大值为4，则实数a的取值范围是( )
A.−2,1B.(−2,4]C.1,4D.[1,+∞)
9. 已知f(x)=(a−3)x+7a+2,x<1，−ax2+x,x≥1，在(−∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A.(0,3)B.[12,3)C.[29,3)D.(29,3)
10. 已知函数f(x)是单调函数，且x∈(0, +∞)时，都有f(f(x)+2x)=−1，则f(1)=（ ）
A.−4B.−3C.−1D.0
11. 已知函数g(x)=ax+a，f(x)=x2−1，0≤x≤2,−x2，−2≤x<0,对任意x1∈[−2, 2]，存在x2∈[−2, 2]，使g(x1)=f(x2)成立，则a的取值范围是（ ）
A.[−1, +∞)B.[−43, 1]C.(0, 1]D.(−∞, 1]
12. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3…，Bn，n∈N∗．记bi为集合Bi中的最大元素，则b1+b2+b3+...+bn=（ ）
A.45B.105C.150D.210
二、填空题
满足M∪a,b=a,b,c,d的集合M有________个．
已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1
函数fx=|x2+x−t|在区间−1,2上的最大值为4，则实数t=________.
已知函数fx=x2+bx+2,x∈R，若函数gx=ffx与fx在x∈R时有相同的值域，则实数b的取值范围为________.
三、解答题
已知全集U=R，集合A={x|x2−2x−15<0}，集合B={x|(x−2a+1)(x−a2)<0}．
(1)若a=1，求∁UA和B；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)=3x+9,x≤−2,x2−1,−2
(1)做出函数图象；
(2)说明函数f(x)的单调区间（不需要证明）；
(3)若函数y=f(x)的图象与函数y=m的图象有四个交点，求实数m的取值范围．
南阳市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池（蓄量足够大）在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知x0≤x≤24小时内供水总量为10x千吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象．
(1)一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？
(2)若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水aa>2千吨，求a的最小值，使得供水紧张现象消除．
函数f(x)的定义域为(0, +∞)，且对一切x>0，y>0，都有 f(xy)=f(x)−f(y)，当x>1时，有f(x)>0．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)=1，解不等式f(x+3)−f(1x)<2．
已知函数 fx=x2+ax+1a>0.
(1)若 fx 的值域为 [0,+∞) ，求关于x的方程 fx=4 的解；
(2)当 a=2 时，方程fx2−2mfx+m2−1=0在x∈−2,1 上有三个不同的解，求m的取值范围.
已知函数fx=−x2+mx−m.
(1)若函数fx的最大值为0，求实数m的值；
(2)若函数fx在−1,0上单调递减，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得fx在2,3上的值域恰好是2,3？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高一（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
先化简集合N，得N={−1, 1}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩(Venn)图即可选出答案．
【解答】
解：由B=x|x2=x，
得B={0, 1}．
∵ A={−1, 0, 1}，
∴ B⊊A.
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
集合中元素的个数
【解析】
根据集合与元素的关系，确定出集合A的元素，得到答案．
【解答】
解：已知集合A={x|x∈N，且32−x∈Z}，
所以|2−x|≤3，−1≤x≤5，又x∈N，
所以x=0，1，2，3，4，5，
当x=1，3，5时，32−x∈Z成立，
故集合A的元素有3个.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
利用集合的子集关系，分类讨论a的范围可解得a，
【解答】
解：已知集合A={x|x>1}，B={x|ax>1}，
若B⊆A，则A集合包含B集合的所有元素，
解B集合时，当a<0时，不满足题设条件，
当a=0时，x无实数解，B集合为空集，满足条件，
当a>0时，x>1a，则1a≥1，a≤1，即0
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．
【解答】
解：∵ 函数y=f(x)定义域是[−2, 3]，
∴ 由−2≤2x−1≤3，
解得−12≤x≤2，
即所求函数的定义域为[−12, 2].
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
求出函数fx的解析式，代入α，得到关于α的方程，解出即可.
【解答】
解：令3x+1=t，则x=t−13，
故ft=23t−113，
故fx=23x−113，
由fa=23a−113=1，
解得a=7.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令t=1+1x，则x=1t−1.
由题意知：f(t)=2×1t−1+1=1+tt−1，
∴ f(x)=1+xx−1.
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
集合关系中的参数取值问题
【解析】
利用绝对值的意义，求出fxmin=3，然后根据条件可知，只需a>fxmin即可．
【解答】
解：因为f(x)=|x+1|+|x−2|的几何意义，
就是数轴上的点到−1与2的距离之和，它的最小值为3，
关于x的不等式|x+1|+|x−2|
所以a的取值范围是3,+∞.
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
先判断函数fx=x2−2x−4=x−12−5在区间−2,a上取得相应最值的位置，结合函数的对称性即可求解.
【解答】
解：∵ fx=x2−2x−4=x−12−5，
∴ fxmin=f1=−5.
又由题知，fxmax=4，
即x2−2x−4=4，
解得x=−2或x=4.
作出fx的大致图象如图所示：
由题意及图象可知，1≤a≤4.
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
分段函数的应用
函数单调性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f(x)=(a−3)x+7a+2,x<1，−ax2+x,x≥1，在(−∞,+∞)上单调递减，
∴ a−3<0，(a−3)+7a+2≥−a+1，−a<0，−1−2a≤1，
解得12≤a<3.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
函数单调性的性质
函数的求值
【解析】
利用函数的性质性质，通过代换化简求解即可．
【解答】
解：由题意知f(x)+2x是常数，令k=f(x)+2x，（k为常数）
则f(x)=k−2x，
∴ f(k)=k−2k=−1，(k>0)，
解可得k=1或k=−2（舍），
∴ f(x)=1−2x，
故f(1)=−1．
故选C.
11.
【答案】
B
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
函数的求值
【解析】
由任意的x1∈[−2, 2]，都存在x2∈[−2, 2]，使得g(x1)=f(x2)，可得g(x)=ax+a在x1∈[−2, 2]的值域为f(x)=x2−1，0≤x≤2−x2，−2≤x<0在x2∈[−1, 2]的值域的子集，对a讨论，a>0，a=0，a<0，构造关于a的不等式组，可得结论．
【解答】
解：当x2∈[−2, 0)时，由f(x)=−x2得，f(x2)∈[−4, 0)；
当x2∈[0, 2]时，由f(x)=x2−1得，f(x2)∈[−1, 3]，
即有当x2∈[−2, 2]时，f(x2)的值域为[−4, 3]．
又∵ 任意的x1∈[−2, 2]，都存在x2∈[−2, 2]，使得g(x1)=f(x2)，
∴ 当x1∈[−2, 2]时，−4≤g(x)≤3.
当a<0时，g(x)在[−2, 2]上单调递减，值域为[3a, −a]，
即有−4≤3a<−a≤3，解得−43≤a<0；
当a=0时，g(x)=0恒成立，满足要求；
当a>0时，g(x)在[−2, 2]上单调递增，值域为[−a, 3a]，
即有−4≤−a<3a≤3，解得0
故选B．
12.
【答案】
B
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
【解答】
解：根据列举法可知集合A含有3个元素的子集有20种，即：
{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,3,6}，{1,4,5}，{1,4,6}，{1,5,6}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,6}，{2,4,5}，{2,4,6}，{2,5,6}，{3,4,5}，{3,4,6}，{3,5,6}，{4,5,6}，
在集合Bi(i=1, 2, 3,…,k)中：
最大元素为3的集合有1个；
最大元素为4的集合有3个；
最大元素为5的集合有6个；
最大元素为6的集合有10个；
所以b1+b2+b3+b4+b5=3×1+4×3+5×6+6×10=105．
故选B.
二、填空题
【答案】
4
【考点】
并集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
由题意得到M⊆a,b,c,d，且M一定含有元素c，d，列举出集合M即可求解.
【解答】
解：∵ M∪a,b=a,b,c,d，
∴ M⊆a,b,c,d，且M一定含有元素c，d，
则集合M可以为c,d，a,c,d，b,c,d，a,b,c,d，共4个.
故答案为：4.
【答案】
(−∞, 3]
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
根据B⊆A可分B=⌀，和B≠⌀两种情况：B=⌀时，m+1>2m−1；B≠⌀时， m+1≤2m−1，m+1≥−2，2m−1≤5.，这样便可得出实数m的取值范围．
【解答】
解：①若B=⌀，则m+1≥2m−1，∴ m≤2；
②若B≠⌀，
则m应满足： m+1<2m−1，m+1≥−2，2m−1≤5.解得2
故答案为：(−∞, 3]．
【答案】
2或154
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
根据数fx=|x2+x−t|=|(x+12)2−14−t|，在区间−1,2上最大值为4，可得4+2−t=4或14+t=4，由此可求t的值．
【解答】
解：∵ 函数fx=|x2+x−t|=|(x+12)2−14−t|，在区间−1,2上最大值为4，
∴4+2−t=4或14+t=4，
∴ t=2或t=154.
故答案为：2或154.
【答案】
(−∞,−2]∪[4,+∞).
【考点】
函数恒成立问题
函数的值域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于f(x)=x2+bx+2，x∈R．
则当x=−b2时，f(x)min=2−b24.
又由函数g(x)=f[f(x)]与f(x)在x∈R时有相同的值域，
则函数 g(x)必须要能够取到最小值，即2−b24<−b2，
得到b≥4或b≤−2，
b的取值范围为(−∞,−2]∪[4,+∞).
故答案为：(−∞,−2]∪[4,+∞).
三、解答题
【答案】
解：(1)若a=1，则集合A={x|x2−2x−15<0}={x|−3
若a=1，则集合B={x|(x−2a+1)(x−a2)<0}={x|(x−1)2<0}=⌀.
(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，
①当B=⌀时，a2=2a−1，解的a=1；
②当B≠⌀时，即a≠1时，B={x|2a−1
综上所求，实数a的取值范围为：−1≤a≤5．
【考点】
集合关系中的参数取值问题
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）利用集合的基本运算即可算出结果；
（2）因为A∪B＝A，所以B⊆A，对集合B分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出a的取值范围．
【解答】
解：(1)若a=1，则集合A={x|x2−2x−15<0}={x|−3
若a=1，则集合B={x|(x−2a+1)(x−a2)<0}={x|(x−1)2<0}=⌀.
(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，
①当B=⌀时，a2=2a−1，解的a=1；
②当B≠⌀时，即a≠1时，B={x|2a−1
综上所求，实数a的取值范围为：−1≤a≤5．
【答案】
解：(1)做出函数图象如图：
.
(2)根据函数图象可得：函数f(x)的单调递增区间为(−∞, −2)和(0, 1)；单调递减区间为(−2, 0)和(1, +∞)．
(3)由于函数y=f(x)的图象与函数y=m的图象有四个交点，
观察函数的图象可得实数m∈(−1, 0)．
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数图象的作法
函数的图象
【解析】
（1）根据分段函数的性质，即可画出函数图象；
（2）根据一次函数和二次函数的性质即可求解出函数的单调区间；
（3）由题意，观察函数的图象可得实数m的取值范围．
【解答】
解：(1)做出函数图象如图：
.
(2)根据函数图象可得：函数f(x)的单调递增区间为(−∞, −2)和(0, 1)；单调递减区间为(−2, 0)和(1, +∞)．
(3)由于函数y=f(x)的图象与函数y=m的图象有四个交点，
观察函数的图象可得实数m∈(−1, 0)．
【答案】
解：(1)设蓄水量为y，根据题意，y=15+2x−10x，(0≤x≤24)，
令y=15+2x−10x<3，
则(x−2)(x−3)<0，
解得2
(2)每小时向池内注水a(a>2)千吨，则y=15+ax−10x(0≤x≤24)，
令t=x∈[0,26]，则x=t2，f(t)=at2−10t+15，t∈[0,26]，
对称轴为x=5a，因为a>2，所以0<5a<52<26，
fmin(t)=f5a=a⋅25a2−10×5a+15=−25a+15，
令−25a+15≥3(a>2)，解得a≥2512，
所以使得供水紧张现象消除的a的最小值为2512.
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
【解答】
解：(1)设蓄水量为y，根据题意，y=15+2x−10x，(0≤x≤24)，
令y=15+2x−10x<3，
则(x−2)(x−3)<0，
解得2
(2)每小时向池内注水a(a>2)千吨，则y=15+ax−10x(0≤x≤24)，
令t=x∈[0,26]，则x=t2，f(t)=at2−10t+15，t∈[0,26]，
对称轴为x=5a，因为a>2，所以0<5a<52<26，
fmin(t)=f5a=a⋅25a2−10×5a+15=−25a+15，
令−25a+15≥3(a>2)，解得a≥2512，
所以使得供水紧张现象消除的a的最小值为2512.
【答案】
解：(1)令x=y=1，
则f(1)=f(1)−f(1)=0，
所以f(1)=0．
(2)任取x1，x2∈(0, +∞)，且x1
因为x2>x1>0，
所以x2x1>1，故f(x2x1)>0，
所以f(x2)−f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(0, +∞)上是增函数．
(3)因为f(6)=1，所以f(36)−f(6)=f(6)，
所以f(36)=2f(6)=2．
由f(x+3)−f (1x)<2，得f(x2+3x)
【考点】
函数单调性的性质
函数单调性的判断与证明
函数的求值
【解析】
（1）令x=y=1，即可求得f(1)的值；
（2）利用单调性的定义，任取x1，x2∈(0, +∞)，且x1
【解答】
解：(1)令x=y=1，
则f(1)=f(1)−f(1)=0，
所以f(1)=0．
(2)任取x1，x2∈(0, +∞)，且x1
因为x2>x1>0，
所以x2x1>1，故f(x2x1)>0，
所以f(x2)−f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(0, +∞)上是增函数．
(3)因为f(6)=1，所以f(36)−f(6)=f(6)，
所以f(36)=2f(6)=2．
由f(x+3)−f (1x)<2，得f(x2+3x)
【答案】
解：(1)因为 fx 的值域为[0,+∞) ,
所以 fxmin=f−a2=14a2−12a2+1=0.
因为 a>0 ,
所以 a=2 ，则fx=x2+2x+1.
因为 fx=4 ,
所以 x2+2x+1=4 ，即x2+2x−3=0，
解得 x=−3 或x=1.
(2)方程fx2−2mfx+m2−1=0在x∈−2,1 上有三个不同的解等价于方程fx2−2mfx+m2−1=0 在[−2,1 ]上有三个不同的根.
因为 fx2−2mfx+m2−1=0 ,
所以 fx=m+1 或fx=m−1，
因为 a=2 ，
所以 fx=x2+2x+1.
结合 fx 在−2,1 上的图象可知，
要使方程 fx2−2mfx+m2−1=0 在[−2,1]有三个不同的根，
则 fx=m+1 在−2,1 上有一个实数根， fx=m−1 在−2，1上有两个不等实数根，
即1
【考点】
二次函数的性质
二次函数的图象
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为 fx 的值域为[0,+∞) ,
所以 fxmin=f−a2=14a2−12a2+1=0.
因为 a>0 ,
所以 a=2 ，则fx=x2+2x+1.
因为 fx=4 ,
所以 x2+2x+1=4 ，即x2+2x−3=0，
解得 x=−3或x=1.
(2)方程fx2−2mfx+m2−1=0在x∈−2,1 上有三个不同的解等价于方程fx2−2mfx+m2−1=0 在[−2,1 ]上有三个不同的根.
因为 fx2−2mfx+m2−1=0 ,
所以 fx=m+1 或fx=m−1，
因为 a=2 ，
所以 fx=x2+2x+1.
结合 fx 在−2,1 上的图象可知，
要使方程 fx2−2mfx+m2−1=0 在[−2,1]有三个不同的根，
则 fx=m+1 在−2,1 上有一个实数根， fx=m−1 在−2，1上有两个不等实数根，
即1
【答案】
解：(1)∵ 函数f(x)=−x2+mx−m，最大值为0，
且二次函数f(x)图象是抛物线，开口向下，
∴ 令f(x)=0，该方程有两个相等实根，
即Δ=m2−4m=0，
解得m=0，或m=4，
∴ m的值为0或4．
(2)函数f(x)=−x2+mx−m图象是抛物线，开口向下，对称轴是x=m2.
要使f(x)在[−1, 0]上是单调递减的，应满足m2≤−1，∴ m≤−2，
∴ m的取值范围是{m|m≤−2}．
(3)当m2≤2，即m≤4时，f(x)在[2, 3]上是减函数，
若存在实数m，使f(x)在[2, 3]上的值域是[2, 3]，
则有f(2)=3,f(3)=2,即−4+2m−m=3,−9+3m−m=2,解得m不存在；
当m2≥3，即m≥6时，f(x)在[2, 3]上是增函数，
则有f(2)=2,f(3)=3,即−4+2m−m=2,−9+3m−m=3,解得m=6；
当2
解得m=−2或6（不满足条件，舍去）；
∴ 综上，存在实数m=6，使f(x)在[2, 3]上的值域恰好是[2, 3]．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的性质
函数的值域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 函数f(x)=−x2+mx−m，最大值为0，
且二次函数f(x)图象是抛物线，开口向下，
∴ 令f(x)=0，该方程有两个相等实根，
即Δ=m2−4m=0，
解得m=0，或m=4，
∴ m的值为0或4．
(2)函数f(x)=−x2+mx−m图象是抛物线，开口向下，对称轴是x=m2.
要使f(x)在[−1, 0]上是单调递减的，应满足m2≤−1，∴ m≤−2，
∴ m的取值范围是{m|m≤−2}．
(3)当m2≤2，即m≤4时，f(x)在[2, 3]上是减函数，
若存在实数m，使f(x)在[2, 3]上的值域是[2, 3]，
则有f(2)=3,f(3)=2,即−4+2m−m=3,−9+3m−m=2,解得m不存在；
当m2≥3，即m≥6时，f(x)在[2, 3]上是增函数，
则有f(2)=2,f(3)=3,即−4+2m−m=2,−9+3m−m=3,解得m=6；
当2
解得m=−2或6（不满足条件，舍去）；
∴ 综上，存在实数m=6，使f(x)在[2, 3]上的值域恰好是[2, 3]．
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