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2020-2021学年河南省南阳市高二（上）12月月考数学（文）试卷北师大版
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这是一份2020-2021学年河南省南阳市高二（上）12月月考数学（文）试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若aA.a2
2. 已知命题p:∃x<0，x2>0，那么非p是( )
A.∀x≥0，x2≤0B.∃x≥0，x2≤0C.∀x<0，x2≤0D.∃x≥0，x2≤0
3. 不等式x2−2x−3<0成立的一个必要不充分条件是( )
A.−1
4. 已知椭圆x2m+y216=1的焦点在x轴上，且离心率e=35，则m=( )
A.9B.5C.25D.−9
5. 抛物线14x2=−y的准线方程为( )
A.x=116B.x=−116C.y=1D.y=−1
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9=18，则S13=( )
A.39B.78C.117D.156
7. 若椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，点A0,2为椭圆C上一点，则椭圆C的方程为（ ）
A.x22+y2=1B.x24+y22=1C.x28+y24=1D.x26+y23=1
8. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45∘(即∠BAC=45∘)的方向上，行驶6006m后到达B处，测得此山顶在北偏东15∘(即∠ABC=75∘)的方向上，仰角∠DBC=30∘，则此山的高度CD=( )
A.8003mB.6003mC.4003mD.2003m
9. 已知抛物线C:x2=12y，直线l过点0,3与抛物线C交于A，B两点，且|AB|=14，则直线l倾斜角α的正弦值为（ ）
A.24B.4242C.66D.77
10. 已知曲线x23−k+y2k+1=1(k∈R)表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是( )
A.(−∞, 1)∪(3, +∞)B.(−∞, 3)C.(1, +∞)D.(1, 3)
11. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c, 0)，F2(c, 0)，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，若直线PF1的方程为y=34(x+c)，△PF1F2的面积为32，则a=( )
A.2B.2C.3D.4
12. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使kAP⋅kBP∈(−13,0)，则离心率e的取值范围为( )
A.(22,1)B.(0,63)C.(63,1)D.(0,32)
二、填空题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2−b2=3ac，则角B的值为________．
椭圆x216+y29=1的左、右顶点分别为A，B，P为该椭圆上任意一点，则直线PA和直线PB的斜率之积等于________．
若关于x的不等式ax2−6x+a2<0的解集是(1, m)，则实数m=________.
已知直线l1:2x−y+2=0和直线l2:x=−1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.
三、解答题
设命题p：|a−3|<2；命题q：∀x∈R，x2+ax+1>0，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=π4，bsin(π4+C)−csin(π4+B)=a.
(1)求证：B−C=π2；
(2)若a=2，求△ABC的面积．
已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，a3是a1，a7的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列{1anan+1}的前n项和，若Tn≤1λan+1对一切n∈N∗恒成立，求实数λ的最大值.
已知抛物线y2=2pxp>0的焦点到准线的距离为4，直线y=kx−8与抛物线交于A，B两点．
(1)求此抛物线的方程；
(2)若以AB为直径的圆过原点O，求实数k的值．
已知抛物线C:y2=2pxp>0，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求以点M3,2为中点的弦所在直线方程．
如图，在直角坐标xOy中，设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M2,1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A2,0，B0,2经过点0,2且斜率为k，直线l与椭圆C有两个不同的P和Q交点，请问是否存在常数k，使得向量OP→+OQ→与AB→共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高二（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
对数函数的图象与性质
不等式的概念与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，令a=−2，b=1，满足aB，令a=0，b=e，则b−a=e>0，且ln(b−a)=lne=1>0，故选项错误；
C，原不等式可转化为a13D，原不等式可转化为2−a<2−b，由a−b，则2−a>2−b，故选项错误.
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
将存在量词改写为全称量词，再否定结论，从而得到答案．
【解答】
解：特称命题的否定是全称命题.
已知命题p:∃x<0，x2>0，
那么非p是：∀x<0，x2≤0.
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次不等式的解法
【解析】
先求出不等式的解集，再根据x的范围进行判断即可．
【解答】
解：由x2−2x−3<0，
得−1所以使不等式x2−2x−3<0成立的一个必要不充分条件是−2故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，a2=m，b2=16，
则c2=a2−b2=m−16.
又∵ 离心率e=35，
∴ e2=925，则m−16m=925，
解得m=25.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
直接由抛物线方程求得2p，得到p的值，则直线方程可求．
【解答】
解：由题意，抛物线方程14x2=−y化为标准方程为x2=−4y，
得2p=4，则p=2，
∴ p2=1，则抛物线14x2=−y的准线方程是y=p2=1．
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列通项公式推导出a5+a7+a9＝3a7＝21，解得a7＝7，再由S13=132(a1+a13)＝13a7，能求出结果．
【解答】
解：∵ 等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a7+a9=18，
∴ a5+a7+a9=3a7=18，
解得a7=6，
∴ S13=132(a1+a13)=13a7=78．
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得：b=2,ca=2,a2=b2+c2，
解得:b=2,c=2,a=2,
故椭圆C的方程为x24+y22=1．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：△ABC中，∠BAC=45∘，AB=6006，∠ABC=75∘，
∴ ∠ACB=60∘，
由正弦定理得BCsin45∘=6006sin60∘，
BC=6006×2232=1200，
Rt△DBC中，∠DBC=30∘，
∴ CD=BCtan∠DBC=1200×33，
=4003
则山高CD为4003m．
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
圆锥曲线的综合问题
直线与抛物线的位置关系
【解析】
【解答】
解：由题意可知，直线l的斜率存在．
当直线的斜率为零时，由于0,3为抛物线的焦点，故应有|AB|=12，所以直线的斜率存在，且不为零，
设直线l的方程为y=kx+3（k≠0），由 y=kx+3,x2=12y,
消去x得，y2−(12k2+6)y+9=0，所以y1+y2=12k2+6，
所以|AB|=y1+y2+6=12k2+12=14，
所以k=±66，所以tanα=±66，所以sinα=77．
故选D．
10.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】
利用椭圆的性质求解．
【解答】
解：∵ 曲线x23−k+y2k+1=1(k∈R)表示焦点在y轴上的椭圆，
∴ 3−k>0，k+1>0，k+1>3−k，
解得1∴ k的取值范围是(1, 3)．
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由题意可得P的坐标，代入直线PF1的方程可得a，b，c的关系，由面积及椭圆中的a，b，c的关系求出a的值．
【解答】
解：因为PF2垂直于x轴，
设P在x轴上方，由题意可得P(c, b2a)，
所以S△PF1F2=12×2c×b2a=b2ca=32.①
又P在直线PF1的方程为y=34(x+c)，
所以b2a=34×2c.②
又b2=a2−c2，③
由①②③可得，a=2.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
斜率的计算公式
【解析】
【解答】
解：设A(−a, 0)，B(a, 0)，P(x0, y0)，
则y02=b2a2(a2−x02)，
∴ kAP⋅kBP=y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2
=b2a2(a2−x02)x02−a2=−b2a2∈(−13,0)，
可得：c2−a2a2=e2−1∈(−13,0)，
∴ e∈(63,1)．
故选C.
二、填空题
【答案】
π6
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a2+c2−b2=3ac，
∴ csB=a2+c2−b22ac=3ac2ac=32，
又B∈(0, π)，
∴ B=π6．
故答案为：π6．
【答案】
−916
【考点】
斜率的计算公式
【解析】
A由(−4, 0)、B(4, 0)，由kPA⋅kPB=y−0x+4⋅y−0x−4=y2x2−16=9(1−x216)x2−16=−916，得出结论．
【解答】
解：由题意得，A(−4, 0)，B(4, 0).
设点P(x,y)，
则kPA⋅kPB=y−0x+4⋅y−0x−4
=y2x2−16=9(1−x216)x2−16=−916.
故答案为：−916.
【答案】
2
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为ax2−6x+a2<0的解集是(1, m)，
所以x=1和x=m是方程ax2−6x+a2=0的两个不相等的解，且开口向上，
即a−6+a2=0，am2−6m+a2=0a>0m>1，
解得a=2，m=2，
故答案为：2.
【答案】
455
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
由题意画出图形，把问题转化为在抛物线y2=4x上找一点P，使得P到F的距离和到直线l1:2x−y+2=0的距离和最小，再用点到直线的距离公式求解．
【解答】
解：如图所示，
由抛物线y2=4x得，焦点坐标为F(1, 0)，准线方程为l2:x=−1.
由抛物线定义知，P到直线l2的距离等于P到抛物线焦点F的距离，
故问题化为在抛物线y2=4x上找一点P，使得P到F的距离和到直线l1:2x−y+2=0的距离之和最小，
即当FP的延长线垂直直线l1:2x−y+2=0时，距离之和最小，
∴ 距离之和为|2−0+2|4+1=455．
故答案为：455.
三、解答题
【答案】
解：命题p为真命题，则1命题q为真命题，则Δ=a2−4<0，
解得−2因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
所以命题p和q中一个为真命题，一个为假命题.
当p真q假时，则1解得2≤a<5，
当p假q真时，则a≤1或a≥5，−2解得−2综上所述，a的取值范围为−2,1∪2,5 .
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：命题p为真命题，则1命题q为真命题，则Δ=a2−4<0，
解得−2因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
所以命题p和q中一个为真命题，一个为假命题.
当p真q假时，则1解得2≤a<5，
当p假q真时，则a≤1或a≥5，−2解得−2综上所述，a的取值范围为−2,1∪2,5 .
【答案】
(1)证明：∵ bsin(π4+C)−csin(π4+B)=a，
∴ 根据正弦定理可得：
sinBsin(π4+C)−sinCsin(π4+B)=sinA，
∴ sinB(22sinC+22csC)−
sinC(22sinB+22csB)=22，
整理得，sinBcsC−csBsinC=1，即sin(B−C)=1.
∵ 0∴ −3π4∴ B−C=π2．
(2)解：由(1)得，B−C=π2.
又∵ B+C=π−A=3π4，
∴ B=5π8，C=π8.
∵ a=2，A=π4，
∴ 由正弦定理得，b=asinBsinA=2sin5π8，c=asinCsinA=2sinπ8，
∴ 三角形的面积S=12bcsinA
=2sin5π8sinπ8
=2csπ8sinπ8
=22sinπ4
=12．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
诱导公式
【解析】
（1）通过正弦定理以及两角和与差的三角函数化简已知表达式，推出B−C的正弦函数值，然后说明B−C=π2．
（2）利用a=2，通过正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面积公式求△ABC的面积．
【解答】
(1)证明：∵ bsin(π4+C)−csin(π4+B)=a，
∴ 根据正弦定理可得：
sinBsin(π4+C)−sinCsin(π4+B)=sinA，
∴ sinB(22sinC+22csC)−
sinC(22sinB+22csB)=22，
整理得，sinBcsC−csBsinC=1，即sin(B−C)=1.
∵ 0∴ −3π4∴ B−C=π2．
(2)解：由(1)得，B−C=π2.
又∵ B+C=π−A=3π4，
∴ B=5π8，C=π8.
∵ a=2，A=π4，
∴ 由正弦定理得，b=asinBsinA=2sin5π8，c=asinCsinA=2sinπ8，
∴ 三角形的面积S=12bcsinA
=2sin5π8sinπ8
=2csπ8sinπ8
=22sinπ4
=12．
【答案】
解：(1)设公差为d.
∵ S4=14，a3是a1，a7的等比中项，
∴4a1+6d=14，a1+2d2=a1a1+6d，
解得d=1，a1=2或d=0，a1=72（舍去），
∴{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴an=2+n−1×1=n+1n∈N∗．
(2)∵ 1anan+1=1n+1n+2
=1n+1−1n+2，
∴ Tn=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2
=12−1n+2
=n2n+2.
∵ Tn≤1λan+1 对一切n∈N∗恒成立，
∴ n2n+2≤n+2λ，
∴ λ≤2n+22n，∀n∈N∗恒成立.
又∵2n+22n=2n+4n+4≥16，
∴ λ≤16，
∴ λ的最大值为16．
【考点】
等比中项
等差数列的性质
等差数列的前n项和
数列的求和
数列与不等式的综合
基本不等式在最值问题中的应用
不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设公差为d.
∵ S4=14，a3是a1，a7的等比中项，
∴4a1+6d=14，a1+2d2=a1a1+6d，
解得d=1，a1=2或d=0，a1=72（舍去），
∴{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴an=2+n−1×1=n+1n∈N∗．
(2)∵ 1anan+1=1n+1n+2
=1n+1−1n+2，
∴ Tn=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2
=12−1n+2
=n2n+2.
∵ Tn≤1λan+1 对一切n∈N∗恒成立，
∴ n2n+2≤n+2λ，
∴ λ≤2n+22n，∀n∈N∗恒成立.
又∵2n+22n=2n+4n+4≥16，
∴ λ≤16，
∴ λ的最大值为16．
【答案】
解：(1)由题知抛物线y2=2pxp>0的焦点到准线的距离为p=4,
∴ 抛物线的方程为y2=8x.
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2．
联立y2=8x,y=kx−8,
得k2x2−16k+8x+64=0,
则x1+x2=16k+8k2,x1x2=64k2,
Δ=16k+82−4×64k2>0,解得k>−14．
∵ 以AB为直径的圆过原点O，
∴ OA→⋅OB→=0，
∴ x1x2+y1y2=0，
即1+k2x1x2−8kx1+x2+64=0，
解得k=1，
∴ k=1．
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
直线与抛物线的位置关系
直线与圆的位置关系
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：(1)由题知抛物线y2=2pxp>0的焦点到准线的距离为p=4,
∴ 抛物线的方程为y2=8x.
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2．
联立y2=8x,y=kx−8,
得k2x2−16k+8x+64=0,
则x1+x2=16k+8k2,x1x2=64k2,
Δ=16k+82−4×64k2>0,解得k>−14．
∵ 以AB为直径的圆过原点O，
∴ OA→⋅OB→=0，
∴ x1x2+y1y2=0，
即1+k2x1x2−8kx1+x2+64=0，
解得k=1，
∴ k=1．
【答案】
解：(1)抛物线y2=2pxp>0的准线方程为： x=−p2.
∵ 抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，
∴ 根据抛物线的定义可知， 3+p2=5，
∴ p=4，
∴ 抛物线C的方程是y2=8x．
(2)设以点M3,2为中点的直线与抛物线交于两点Ax,y，Bx2,y2，
则y12=8x1①，y22=8x2②，
①−②得y12−y22=8x1−x2，
即y1−y2x1−x2=8y1+y2=2．
即kAB=2,
∴ 以点M3,2为中点的直线方程为y−2=2x−3，
得2x−y−4=0．
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
【解答】
解：(1)抛物线y2=2pxp>0的准线方程为： x=−p2.
∵ 抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，
∴ 根据抛物线的定义可知， 3+p2=5，
∴ p=4，
∴ 抛物线C的方程是y2=8x．
(2)设以点M3,2为中点的直线与抛物线交于两点Ax,y，Bx2,y2，
则y12=8x1①，y22=8x2②，
①−②得y12−y22=8x1−x2，
即y1−y2x1−x2=8y1+y2=2．
即kAB=2,
∴ 以点M3,2为中点的直线方程为y−2=2x−3，
得2x−y−4=0．
【答案】
解：1由椭圆定义可知，|MF1|+|MF2|=2a，
由题意得，|MF2|=1，
所以|MF1|=2a−1.
在Rt△MF1F2 中，
由勾股定理得，2a−12=222+1，a>0，
所以 a=2.
因为a2−b2=2，
所以b2=2，
所以椭圆C的方程为x24+y22=1.
2当直线l的斜率不存在时，不满足题意.
直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
代入椭圆方程得，x24+kx+222=1，
整理得，2k2+1x2+8kx+4=0 .
因为直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，
所以Δ=64k2−162k2+1>0，x1+x2=−8k2k2+1，①
解得k∈(−∞,−22)∪22,+∞.
设P(x1,y1)，Qx2,y2，
则OP→+OQ→=(x1+x2，y1+y2)，
即y1+y2=kx1+x2+4=k(−8k2k2+1)+4.②
因为A(2,0)，B0,2，
所以AB→=−2,2，
所以OP→+OQ→与AB→共线等价于2x1+x2=−2y1+y2，
将①②代入上式，解得k=22.
因为22∉−∞,−22∪22,+∞，
所以不存在常数k，使得向量OP→+OQ→与AB→共线．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
直线与椭圆结合的最值问题
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
【解答】
解：1由椭圆定义可知，|MF1|+|MF2|=2a，
由题意得，|MF2|=1，
所以|MF1|=2a−1.
在Rt△MF1F2 中，
由勾股定理得，2a−12=222+1，a>0，
所以 a=2.
因为a2−b2=2，
所以b2=2，
所以椭圆C的方程为x24+y22=1.
2当直线l的斜率不存在时，不满足题意.
直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
代入椭圆方程得，x24+kx+222=1，
整理得，2k2+1x2+8kx+4=0 .
因为直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，
所以Δ=64k2−162k2+1>0，x1+x2=−8k2k2+1，①
解得k∈(−∞,−22)∪22,+∞.
设P(x1,y1)，Qx2,y2，
则OP→+OQ→=(x1+x2，y1+y2)，
即y1+y2=kx1+x2+4=k(−8k2k2+1)+4.②
因为A(2,0)，B0,2，
所以AB→=−2,2，
所以OP→+OQ→与AB→共线等价于2x1+x2=−2y1+y2，
将①②代入上式，解得k=22.
因为22∉−∞,−22∪22,+∞，
所以不存在常数k，使得向量OP→+OQ→与AB→共线．
1. 若a
2. 已知命题p:∃x<0，x2>0，那么非p是( )
A.∀x≥0，x2≤0B.∃x≥0，x2≤0C.∀x<0，x2≤0D.∃x≥0，x2≤0
3. 不等式x2−2x−3<0成立的一个必要不充分条件是( )
A.−1
4. 已知椭圆x2m+y216=1的焦点在x轴上，且离心率e=35，则m=( )
A.9B.5C.25D.−9
5. 抛物线14x2=−y的准线方程为( )
A.x=116B.x=−116C.y=1D.y=−1
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9=18，则S13=( )
A.39B.78C.117D.156
7. 若椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，点A0,2为椭圆C上一点，则椭圆C的方程为（ ）
A.x22+y2=1B.x24+y22=1C.x28+y24=1D.x26+y23=1
8. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45∘(即∠BAC=45∘)的方向上，行驶6006m后到达B处，测得此山顶在北偏东15∘(即∠ABC=75∘)的方向上，仰角∠DBC=30∘，则此山的高度CD=( )
A.8003mB.6003mC.4003mD.2003m
9. 已知抛物线C:x2=12y，直线l过点0,3与抛物线C交于A，B两点，且|AB|=14，则直线l倾斜角α的正弦值为（ ）
A.24B.4242C.66D.77
10. 已知曲线x23−k+y2k+1=1(k∈R)表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是( )
A.(−∞, 1)∪(3, +∞)B.(−∞, 3)C.(1, +∞)D.(1, 3)
11. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c, 0)，F2(c, 0)，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，若直线PF1的方程为y=34(x+c)，△PF1F2的面积为32，则a=( )
A.2B.2C.3D.4
12. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使kAP⋅kBP∈(−13,0)，则离心率e的取值范围为( )
A.(22,1)B.(0,63)C.(63,1)D.(0,32)
二、填空题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2−b2=3ac，则角B的值为________．
椭圆x216+y29=1的左、右顶点分别为A，B，P为该椭圆上任意一点，则直线PA和直线PB的斜率之积等于________．
若关于x的不等式ax2−6x+a2<0的解集是(1, m)，则实数m=________.
已知直线l1:2x−y+2=0和直线l2:x=−1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.
三、解答题
设命题p：|a−3|<2；命题q：∀x∈R，x2+ax+1>0，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=π4，bsin(π4+C)−csin(π4+B)=a.
(1)求证：B−C=π2；
(2)若a=2，求△ABC的面积．
已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，a3是a1，a7的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列{1anan+1}的前n项和，若Tn≤1λan+1对一切n∈N∗恒成立，求实数λ的最大值.
已知抛物线y2=2pxp>0的焦点到准线的距离为4，直线y=kx−8与抛物线交于A，B两点．
(1)求此抛物线的方程；
(2)若以AB为直径的圆过原点O，求实数k的值．
已知抛物线C:y2=2pxp>0，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求以点M3,2为中点的弦所在直线方程．
如图，在直角坐标xOy中，设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M2,1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A2,0，B0,2经过点0,2且斜率为k，直线l与椭圆C有两个不同的P和Q交点，请问是否存在常数k，使得向量OP→+OQ→与AB→共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高二（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
对数函数的图象与性质
不等式的概念与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，令a=−2，b=1，满足a
C，原不等式可转化为a13
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
将存在量词改写为全称量词，再否定结论，从而得到答案．
【解答】
解：特称命题的否定是全称命题.
已知命题p:∃x<0，x2>0，
那么非p是：∀x<0，x2≤0.
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次不等式的解法
【解析】
先求出不等式的解集，再根据x的范围进行判断即可．
【解答】
解：由x2−2x−3<0，
得−1
4.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，a2=m，b2=16，
则c2=a2−b2=m−16.
又∵ 离心率e=35，
∴ e2=925，则m−16m=925，
解得m=25.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
直接由抛物线方程求得2p，得到p的值，则直线方程可求．
【解答】
解：由题意，抛物线方程14x2=−y化为标准方程为x2=−4y，
得2p=4，则p=2，
∴ p2=1，则抛物线14x2=−y的准线方程是y=p2=1．
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列通项公式推导出a5+a7+a9＝3a7＝21，解得a7＝7，再由S13=132(a1+a13)＝13a7，能求出结果．
【解答】
解：∵ 等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a7+a9=18，
∴ a5+a7+a9=3a7=18，
解得a7=6，
∴ S13=132(a1+a13)=13a7=78．
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得：b=2,ca=2,a2=b2+c2，
解得:b=2,c=2,a=2,
故椭圆C的方程为x24+y22=1．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：△ABC中，∠BAC=45∘，AB=6006，∠ABC=75∘，
∴ ∠ACB=60∘，
由正弦定理得BCsin45∘=6006sin60∘，
BC=6006×2232=1200，
Rt△DBC中，∠DBC=30∘，
∴ CD=BCtan∠DBC=1200×33，
=4003
则山高CD为4003m．
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
圆锥曲线的综合问题
直线与抛物线的位置关系
【解析】
【解答】
解：由题意可知，直线l的斜率存在．
当直线的斜率为零时，由于0,3为抛物线的焦点，故应有|AB|=12，所以直线的斜率存在，且不为零，
设直线l的方程为y=kx+3（k≠0），由 y=kx+3,x2=12y,
消去x得，y2−(12k2+6)y+9=0，所以y1+y2=12k2+6，
所以|AB|=y1+y2+6=12k2+12=14，
所以k=±66，所以tanα=±66，所以sinα=77．
故选D．
10.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】
利用椭圆的性质求解．
【解答】
解：∵ 曲线x23−k+y2k+1=1(k∈R)表示焦点在y轴上的椭圆，
∴ 3−k>0，k+1>0，k+1>3−k，
解得1
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由题意可得P的坐标，代入直线PF1的方程可得a，b，c的关系，由面积及椭圆中的a，b，c的关系求出a的值．
【解答】
解：因为PF2垂直于x轴，
设P在x轴上方，由题意可得P(c, b2a)，
所以S△PF1F2=12×2c×b2a=b2ca=32.①
又P在直线PF1的方程为y=34(x+c)，
所以b2a=34×2c.②
又b2=a2−c2，③
由①②③可得，a=2.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
斜率的计算公式
【解析】
【解答】
解：设A(−a, 0)，B(a, 0)，P(x0, y0)，
则y02=b2a2(a2−x02)，
∴ kAP⋅kBP=y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2
=b2a2(a2−x02)x02−a2=−b2a2∈(−13,0)，
可得：c2−a2a2=e2−1∈(−13,0)，
∴ e∈(63,1)．
故选C.
二、填空题
【答案】
π6
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a2+c2−b2=3ac，
∴ csB=a2+c2−b22ac=3ac2ac=32，
又B∈(0, π)，
∴ B=π6．
故答案为：π6．
【答案】
−916
【考点】
斜率的计算公式
【解析】
A由(−4, 0)、B(4, 0)，由kPA⋅kPB=y−0x+4⋅y−0x−4=y2x2−16=9(1−x216)x2−16=−916，得出结论．
【解答】
解：由题意得，A(−4, 0)，B(4, 0).
设点P(x,y)，
则kPA⋅kPB=y−0x+4⋅y−0x−4
=y2x2−16=9(1−x216)x2−16=−916.
故答案为：−916.
【答案】
2
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为ax2−6x+a2<0的解集是(1, m)，
所以x=1和x=m是方程ax2−6x+a2=0的两个不相等的解，且开口向上，
即a−6+a2=0，am2−6m+a2=0a>0m>1，
解得a=2，m=2，
故答案为：2.
【答案】
455
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
由题意画出图形，把问题转化为在抛物线y2=4x上找一点P，使得P到F的距离和到直线l1:2x−y+2=0的距离和最小，再用点到直线的距离公式求解．
【解答】
解：如图所示，
由抛物线y2=4x得，焦点坐标为F(1, 0)，准线方程为l2:x=−1.
由抛物线定义知，P到直线l2的距离等于P到抛物线焦点F的距离，
故问题化为在抛物线y2=4x上找一点P，使得P到F的距离和到直线l1:2x−y+2=0的距离之和最小，
即当FP的延长线垂直直线l1:2x−y+2=0时，距离之和最小，
∴ 距离之和为|2−0+2|4+1=455．
故答案为：455.
三、解答题
【答案】
解：命题p为真命题，则1
解得−2
所以命题p和q中一个为真命题，一个为假命题.
当p真q假时，则1
当p假q真时，则a≤1或a≥5，−2
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：命题p为真命题，则1
解得−2
所以命题p和q中一个为真命题，一个为假命题.
当p真q假时，则1
当p假q真时，则a≤1或a≥5，−2
【答案】
(1)证明：∵ bsin(π4+C)−csin(π4+B)=a，
∴ 根据正弦定理可得：
sinBsin(π4+C)−sinCsin(π4+B)=sinA，
∴ sinB(22sinC+22csC)−
sinC(22sinB+22csB)=22，
整理得，sinBcsC−csBsinC=1，即sin(B−C)=1.
∵ 0
(2)解：由(1)得，B−C=π2.
又∵ B+C=π−A=3π4，
∴ B=5π8，C=π8.
∵ a=2，A=π4，
∴ 由正弦定理得，b=asinBsinA=2sin5π8，c=asinCsinA=2sinπ8，
∴ 三角形的面积S=12bcsinA
=2sin5π8sinπ8
=2csπ8sinπ8
=22sinπ4
=12．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
诱导公式
【解析】
（1）通过正弦定理以及两角和与差的三角函数化简已知表达式，推出B−C的正弦函数值，然后说明B−C=π2．
（2）利用a=2，通过正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面积公式求△ABC的面积．
【解答】
(1)证明：∵ bsin(π4+C)−csin(π4+B)=a，
∴ 根据正弦定理可得：
sinBsin(π4+C)−sinCsin(π4+B)=sinA，
∴ sinB(22sinC+22csC)−
sinC(22sinB+22csB)=22，
整理得，sinBcsC−csBsinC=1，即sin(B−C)=1.
∵ 0
(2)解：由(1)得，B−C=π2.
又∵ B+C=π−A=3π4，
∴ B=5π8，C=π8.
∵ a=2，A=π4，
∴ 由正弦定理得，b=asinBsinA=2sin5π8，c=asinCsinA=2sinπ8，
∴ 三角形的面积S=12bcsinA
=2sin5π8sinπ8
=2csπ8sinπ8
=22sinπ4
=12．
【答案】
解：(1)设公差为d.
∵ S4=14，a3是a1，a7的等比中项，
∴4a1+6d=14，a1+2d2=a1a1+6d，
解得d=1，a1=2或d=0，a1=72（舍去），
∴{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴an=2+n−1×1=n+1n∈N∗．
(2)∵ 1anan+1=1n+1n+2
=1n+1−1n+2，
∴ Tn=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2
=12−1n+2
=n2n+2.
∵ Tn≤1λan+1 对一切n∈N∗恒成立，
∴ n2n+2≤n+2λ，
∴ λ≤2n+22n，∀n∈N∗恒成立.
又∵2n+22n=2n+4n+4≥16，
∴ λ≤16，
∴ λ的最大值为16．
【考点】
等比中项
等差数列的性质
等差数列的前n项和
数列的求和
数列与不等式的综合
基本不等式在最值问题中的应用
不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设公差为d.
∵ S4=14，a3是a1，a7的等比中项，
∴4a1+6d=14，a1+2d2=a1a1+6d，
解得d=1，a1=2或d=0，a1=72（舍去），
∴{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴an=2+n−1×1=n+1n∈N∗．
(2)∵ 1anan+1=1n+1n+2
=1n+1−1n+2，
∴ Tn=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2
=12−1n+2
=n2n+2.
∵ Tn≤1λan+1 对一切n∈N∗恒成立，
∴ n2n+2≤n+2λ，
∴ λ≤2n+22n，∀n∈N∗恒成立.
又∵2n+22n=2n+4n+4≥16，
∴ λ≤16，
∴ λ的最大值为16．
【答案】
解：(1)由题知抛物线y2=2pxp>0的焦点到准线的距离为p=4,
∴ 抛物线的方程为y2=8x.
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2．
联立y2=8x,y=kx−8,
得k2x2−16k+8x+64=0,
则x1+x2=16k+8k2,x1x2=64k2,
Δ=16k+82−4×64k2>0,解得k>−14．
∵ 以AB为直径的圆过原点O，
∴ OA→⋅OB→=0，
∴ x1x2+y1y2=0，
即1+k2x1x2−8kx1+x2+64=0，
解得k=1，
∴ k=1．
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
直线与抛物线的位置关系
直线与圆的位置关系
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：(1)由题知抛物线y2=2pxp>0的焦点到准线的距离为p=4,
∴ 抛物线的方程为y2=8x.
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2．
联立y2=8x,y=kx−8,
得k2x2−16k+8x+64=0,
则x1+x2=16k+8k2,x1x2=64k2,
Δ=16k+82−4×64k2>0,解得k>−14．
∵ 以AB为直径的圆过原点O，
∴ OA→⋅OB→=0，
∴ x1x2+y1y2=0，
即1+k2x1x2−8kx1+x2+64=0，
解得k=1，
∴ k=1．
【答案】
解：(1)抛物线y2=2pxp>0的准线方程为： x=−p2.
∵ 抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，
∴ 根据抛物线的定义可知， 3+p2=5，
∴ p=4，
∴ 抛物线C的方程是y2=8x．
(2)设以点M3,2为中点的直线与抛物线交于两点Ax,y，Bx2,y2，
则y12=8x1①，y22=8x2②，
①−②得y12−y22=8x1−x2，
即y1−y2x1−x2=8y1+y2=2．
即kAB=2,
∴ 以点M3,2为中点的直线方程为y−2=2x−3，
得2x−y−4=0．
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
【解答】
解：(1)抛物线y2=2pxp>0的准线方程为： x=−p2.
∵ 抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，
∴ 根据抛物线的定义可知， 3+p2=5，
∴ p=4，
∴ 抛物线C的方程是y2=8x．
(2)设以点M3,2为中点的直线与抛物线交于两点Ax,y，Bx2,y2，
则y12=8x1①，y22=8x2②，
①−②得y12−y22=8x1−x2，
即y1−y2x1−x2=8y1+y2=2．
即kAB=2,
∴ 以点M3,2为中点的直线方程为y−2=2x−3，
得2x−y−4=0．
【答案】
解：1由椭圆定义可知，|MF1|+|MF2|=2a，
由题意得，|MF2|=1，
所以|MF1|=2a−1.
在Rt△MF1F2 中，
由勾股定理得，2a−12=222+1，a>0，
所以 a=2.
因为a2−b2=2，
所以b2=2，
所以椭圆C的方程为x24+y22=1.
2当直线l的斜率不存在时，不满足题意.
直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
代入椭圆方程得，x24+kx+222=1，
整理得，2k2+1x2+8kx+4=0 .
因为直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，
所以Δ=64k2−162k2+1>0，x1+x2=−8k2k2+1，①
解得k∈(−∞,−22)∪22,+∞.
设P(x1,y1)，Qx2,y2，
则OP→+OQ→=(x1+x2，y1+y2)，
即y1+y2=kx1+x2+4=k(−8k2k2+1)+4.②
因为A(2,0)，B0,2，
所以AB→=−2,2，
所以OP→+OQ→与AB→共线等价于2x1+x2=−2y1+y2，
将①②代入上式，解得k=22.
因为22∉−∞,−22∪22,+∞，
所以不存在常数k，使得向量OP→+OQ→与AB→共线．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
直线与椭圆结合的最值问题
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
【解答】
解：1由椭圆定义可知，|MF1|+|MF2|=2a，
由题意得，|MF2|=1，
所以|MF1|=2a−1.
在Rt△MF1F2 中，
由勾股定理得，2a−12=222+1，a>0，
所以 a=2.
因为a2−b2=2，
所以b2=2，
所以椭圆C的方程为x24+y22=1.
2当直线l的斜率不存在时，不满足题意.
直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
代入椭圆方程得，x24+kx+222=1，
整理得，2k2+1x2+8kx+4=0 .
因为直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，
所以Δ=64k2−162k2+1>0，x1+x2=−8k2k2+1，①
解得k∈(−∞,−22)∪22,+∞.
设P(x1,y1)，Qx2,y2，
则OP→+OQ→=(x1+x2，y1+y2)，
即y1+y2=kx1+x2+4=k(−8k2k2+1)+4.②
因为A(2,0)，B0,2，
所以AB→=−2,2，
所以OP→+OQ→与AB→共线等价于2x1+x2=−2y1+y2，
将①②代入上式，解得k=22.
因为22∉−∞,−22∪22,+∞，
所以不存在常数k，使得向量OP→+OQ→与AB→共线．
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