2020-2021年河南省南阳市高二（上）期末考试数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021年河南省南阳市高二（上）期末考试数学（文）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列说法中，正确的是( )
A.若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B.命题“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是：“任意x∈R，都有x2+x+1>0”
C.命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a>b，则2a≤2b−1”
D.“a>b”是"ac2>bc2”的充分不必要条件

2. 在△ABC中，若2csAsinB=sinC，则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形

3. 设x，y满足约束条件 x+y−1≥0,x−y−1≤0,x−3y+3≥0, 则z=2x+3y的最大值为( )
A.2B.3C.12D.15

4. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作《数书九章》中叙述了已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为 S=14a2c2−a2+c2−b222．已知△ABC的三条边长为a=5，b=7，c=8，其面积为( )
A.10B.12C.103D.123

5. 已知等比数列{an}的前n项和Sn=4n+a，则a的值等于( )
A.−4B.−1C.0D.1

6. 如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像，给出下列命题：
①−3是函数y=f(x)的极值点；
②−1是函数y=f(x)的最小值点；
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零；
④y=f(x)在区间(−3, 1)上单调递增．则正确命题的序号是( )

A.①②B.②③C.③④D.①④

7. 2020年11月24日，嫦娥五号发射成功，九天揽月，见证中华民族复兴！11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行．环月轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100km，远月点与月球表面距离为400km．已知月球的直径约为3476km，则该椭圆形轨道的离心率约为( )

A.340B.125 C.18D.35

8. “x2−x−6<0”的一个充分但不必要的条件是( )
A.−2
9. 已知双曲线C的标准方程为x2−y23=1，则下列说法中错误的是( )
A.双曲线C的离心率为2
B.直线x=2与双曲线C相交的弦长为6
C.双曲线y2−x23=1与C有相同的渐近线
D.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3

10. 已知函数f(x)=(x−b)lnx+x2在区间[1,e]上单调递增，则实数b的取值范围是( )
A.(−∞,−3]B.(−∞,2e]C.(−∞,3]D.(−∞,2e2+2e]

11. 周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin(α+β)=( )
A.516B.5316C.1116D.31516

12. 已知偶函数fxx≠0的导函数为f′x，且满足f1=0，当x>0时，xf′x<−2fx，则使fx>0成立的x的取值范围为( )
A.−∞,−1∪0,1B.−1,0∪0,1
C.−1,0∪1,+∞D.−∞,−1∪1,+∞
二、填空题

如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，则水位上涨1米后，水面宽为________米.


数列an中，a1=1，a2=12，2an=1an+1+1an−1(n≥2)，则an⋅an+1的前2021项和S2021=________.

已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=________．

已知函数f(x)=x+4x，g(x)=2x+a，若∀x1∈[12,1]，∃x2∈[2,3] ，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________.
三、解答题

已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=−12x．
(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在[−3, 1]上的最值．

已知等比数列an满足a2=4，a3a4=128，数列anbn是首项为1，公差为1的等差数列.
(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)求数列bn的前n项和Sn.

已知平面上点M到定点F−14,0的距离和到直线x=14的距离相等，若动点M的轨迹为E，曲线E与直线l:y=kx+1k∈R相交于A，B两点．
(1)求曲线E的方程；

(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．

在①sinA=2sinC，②a+c=6，③ac=15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+C2=bsinA，b=3，________.
注：请将你的选择填在答题卡的横线上；如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分．

已知函数fx=lnx+a1−x.
(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当fx有最大值，且最大值大于2a−2时，求实数a的取值范围．

设O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为45，离心率为255，直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；

(2)设点P(0, 1)，PA→⋅PB→=−4，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021年河南省南阳市高二（上）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
复合命题及其真假判断
全称命题与特称命题
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
利用复合命题的真假判断判断A的正误；特称命题与全称命题的否定关系判断B的正误；利用命题的逆否命题C的正误；利用充分必要条件的定义判断D．
【解答】
解：A，若命题“非p”是真命题，则p是假命题，
命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，故A正确；
B，“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是：
“任意x∈R，都有x2+x+1≥0”，故B不正确；
C，命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为
“若a≤b，则2a≤2b−1”，故C不正确；
D，“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故D不正确.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角形的形状判断
【解析】
利用内角和定理及诱导公式得到sinC=sin(A+B)，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A−B=0，即A=B，即可确定出三角形形状．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
∴ 2csAsinB=sinC=sinAcsB+csAsinB，
即sinAcsB−csAsinB=sin(A−B)=0，
∴ A−B=0，即A=B，
∴ △ABC为等腰三角形．
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=2时，z=2x+3y取得最大值．
【解答】
解：作出x，y满足约束条件 x+y−1≥0,x−y−1≤0,x−3y+3≥0,
表示的平面区域如图的阴影部分，
设l：z=2x+3y，则y=−2x+z3，
将直线l:z=2x+3y进行平移，当l经过点A时，
直线在y轴上截距最大，目标函数z达到最大值，
所以x−y−1=0,x−3y+3=0,
解得x=3,y=2,
所以A(2,3)，
所以zmax=2×3+3×2=12.
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
三角形求面积
解三角形
【解析】
把a，b，c的值代入S=14a2c2−a2+c2−b222即可求出.
【解答】
解：∵ S=14a2c2−a2+c2−b222，
∴ S=14×25×64−25+64−4922
=14×25×64−4022
=14×1600−400
=300
=103.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的性质
【解析】
由an=S1，n=1Sn−Sn−1，n≥2，利用Sn=4n+a，能求出a1，a2，a3，再由等比数列的性质能求出a的值．
【解答】
解：∵ 等比数列{an}的前n项和Sn=4n+a，
∴ a1=S1=4+a，
a2=S2−S1=(16+a)−(4+a)=12，
a3=S3−S2=(64+a)−(16+a)=48，
∴ 122=48(4+a)，
解得a=−1．
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
根据导函数的图象得到导函数的符号，根据导函数的符号判断出函数单调性，根据函数的单调性求出函数的极值及最值，判断出①②④的对错根据函数在切点的导数为切线的斜率，判断出③的对错．
【解答】
解：由导函数y=f′(x)的图象可知，
函数y=f(x)在(−∞, −3)上单调递减，在(−3, +∞)上单调递增，
∴ −3是函数y=f(x)的极小值点，即最小值点，故①正确，②错误；
∵ 0∈(−3, +∞)，函数y=f(x)在(−3, +∞)上单调递增，
∴ f′(0)>0，故③错误；
∵ 函数y=f(x)在(−3, +∞)上单调递增，
∴ 函数y=f(x)在区间(−3, 1)上单调递增，故④正确.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
【解析】
根据椭圆的定义以及几何性质求解即可得结果.
【解答】
解：如图，
F为月球的球心，
月球的半径约为12×3476=1738，
因为AF=100+1738=1838，
BF=400+1738=2138，
所以2a=1838+2138=3976，
解得a=1988.
因为a+c=2138，所以c=150，
所以椭圆的离心率为e=ca=1501988≈340.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
x2−x−6<0，解出不等式，根据充分但不必要的条件即可得出结论．
【解答】
解：∵ x2−x−6<0，解得−2∴ “x2−x−6<0”的一个充分
但不必要的条件是0故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
根据双曲线的标准方程以及几何性质求解进而即可得结果.
【解答】
解：A，∵ 双曲线C的标准方程为x2−y23=1，
∴ a2=1，b2=3，
∴ c2=a2+b2=4，解得c=2，
∴ e=ca=2，故A正确；
B，∵ x=2，
∴ y2=9，∴ y=±3，
∴ 直线与双曲线C相交的弦长为6，故B正确；
C，双曲线y2−x23=1的渐近线方程为y=±33x，
双曲线x2−y23=1的渐近线方程为y=±3x，故C错误；
D，双曲线C的焦点到渐近线的距离为b=3，故D正确.
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
令f′(x)≥0在[1, e]上恒成立，对b进行讨论得出b的范围．
【解答】
解：∵ f(x)=(x−b)lnx+x2，
∴ f′(x)=lnx+x−bx+2x
=lnx−bx+1+2x.
∵ f(x)在[1, e]上单调递增，
∴ f′(x)≥0在[1, e]上恒成立，
若b≤0，显然f′(x)>0恒成立，符合题意，
若b>0，则f″(x)=1x+bx2+2>0，
∴ 函数f′(x)在[1, e]上单调递增，
∴ f′(x)≥f′(1)≥0，
即−b+1+2≥0，
解得0综上，b的取值范围是(−∞, 3]．
故选C．
11.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
诱导公式
数列的应用
【解析】
先根据条件求出边长，结合余弦定理求出中间角的余弦值，进而求得结论．
【解答】
解：由题意，设三角形三边长分别为a−1，a，a+1.
因为三角形的周长为9，
所以a−1+a+a+1=9，
解得a=3，
所以三角形三边长分别为2，3，4.
设中间边对应的角为A，
因为csA=42+22−322×4×2=1116，
所以sin(α+β)=sin(π−A)=sinA
=1−cs2A=1−(1116)2=31516.
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的判断
【解析】
构造辅助函数，利用导数求不等式恒成立的x的取值范围.
【解答】
解：根据题意，设函数gx=fxx2，
当x>0时，g′x=f′x⋅x−2⋅fxx3<0，
所以函数gx在0,+∞上单调递减.
又因为fx为偶函数，
g(−x)=f(−x)x2=f(x)x2=g(x)，
所以gx为偶函数.
又因为f1=0，所以g1=0，
所以gx在−1,0∪0,1上的函数值大于零，
即fx在−1,0∪0,1上的函数值大于零．
故选B.
二、填空题
【答案】
22
【考点】
抛物线的应用
抛物线的标准方程
【解析】
建立如图的平面直角坐标系，抛物线的方程是标准方程，由已知求得抛物线方程即可求解．
【解答】
解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线方程为x2=−2py，
由题意可知，P2,−2在抛物线上，
则22=−2p×−2，
解得p=1，
即抛物线的方程为x2=−2y.
当水面上升1米，
即y=−12x2=−1，
解得x=±2，
故水面宽度为22米.
故答案为：22.
【答案】
20212022
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
数列递推式
【解析】
由题意得到数列1an是以1为首项，以d=1a2−1a1=1为公差的等差数列，利用等差数列通项求出an=1n，再利用裂项相消法求和即可.
【解答】
解：∵ a1=1，a2=12，2an=1an+1+1an−1(n≥2)，
∴ 数列1an是以1为首项，以d=1a2−1a1=1为公差的等差数列，
∴ 1an=1+n−1=n，
∴ ．an=1n.
设bn=anan+1=1nn+1=1n−1n+1，
∴ Sn=b1+b2+…+bn
=1−12+12−13+⋯ +1n−1n+1
=1−1n+1=nn+1，
∴ S2021 =20212022.
故答案为： 20212022.
【答案】
6
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的准线方程
抛物线的标准方程
【解析】
利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，则|AB|可求．
【解答】
解：设椭圆E的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
右焦点坐标为(c, 0)，
∵ 椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，
且椭圆E的右焦点(c, 0)与抛物线C:y2=8x的焦点(2, 0)重合，
∴ c=2，a=4，
∴ b2=a2−c2=42−22=12，
∴ 椭圆E的标准方程为x216+y212=1.
∵ 抛物线的准线方程为x=−2，
联立x=−2,x216+y212=1,
解得y=±3，
∴ A(−2, 3)，B(−2, −3)．
∴ |AB|=3−(−3)=6．
故答案为：6.
【答案】
(−∞,1]
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：任意x1∈[12，1]，都存在x2∈[2,3]，
使得f(x1)≥g(x2)，
等价于f(x1)min≥g(x2)min，x1∈[12，1]，x2∈[2,3]，
对于函数f(x)=x+4x，x∈[12,1]，
f′(x)=1−4x2=x2−4x2<0，
因此函数f(x)在x∈[12,1]上单调递减，
∴ f(x)min=f(1)=5，
对于函数g(x)=2x+a，在x∈[2,3]单调递增，
∴ g(x)min=4+a,
∴ 5≥4+a，解得a≤1，
∴ 实数a的取值范围是(−∞,1].
故答案为： (−∞,1].
三、解答题
【答案】
解：(1)f′(x)=12x2+2ax+b，f′(1)=12+2a+b=−12．①
又x=1，y=−12在f(x)的图象上，
∴ 4+a+b+5=−12．②
由①②得a=−3，b=−18，
∴ f(x)=4x3−3x2−18x+5．
(2)f′(x)=12x2−6x−18=0，得x=−1，x=32，
∵ f(−1)=16，f(−3)=−76，f(1)=−12．
∴ f(x)的最大值为16，最小值为−76．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f(x)的解析式；
（2）先求出f′(x)=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f(x)的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
【解答】
解：(1)f′(x)=12x2+2ax+b，f′(1)=12+2a+b=−12．①
又x=1，y=−12在f(x)的图象上，
∴ 4+a+b+5=−12．②
由①②得a=−3，b=−18，
∴ f(x)=4x3−3x2−18x+5．
(2)f′(x)=12x2−6x−18=0，得x=−1，x=32，
∵ f(−1)=16，f(−3)=−76，f(1)=−12．
∴ f(x)的最大值为16，最小值为−76．
【答案】
解：(1)因为数列an是等比数列，
所以设数列an的首项为a1，公比为q.
因为a2=4，a3a4=128，
所以a2q⋅a2q2=128，
所以q3=8，解得q=2，
所以a1=2，
所以数列an的通项公式为an=2n．
因为anbn是首项为1公差为1的等差数列，
所以anbn=1+n−1=n.
因为an=2n，
所以bn=n2n．
(2)由(1)知Sn=1⋅12+2⋅122+⋯+n⋅12n①，
两边同乘12，得
12Sn=1⋅122+2⋅123+⋯+n⋅12n+1②，
①−②得
12Sn=12+122+⋯+12n−n⋅12n+1，
即12Sn=1−12n−n⋅12n+1
=1−n+212n+1，
所以Sn=2−n+22n．
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
数列的求和
等比数列的前n项和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为数列an是等比数列，
所以设数列an的首项为a1，公比为q.
因为a2=4，a3a4=128，
所以a2q⋅a2q2=128，
所以q3=8，解得q=2，
所以a1=2，
所以数列an的通项公式为an=2n．
因为anbn是首项为1公差为1的等差数列，
所以anbn=1+n−1=n.
因为an=2n，
所以bn=n2n．
(2)由(1)知Sn=1⋅12+2⋅122+⋯+n⋅12n①，
两边同乘12，得
12Sn=1⋅122+2⋅123+⋯+n⋅12n+1②，
①−②得
12Sn=12+122+⋯+12n−n⋅12n+1，
即12Sn=1−12n−n⋅12n+1
=1−n+212n+1，
所以Sn=2−n+22n．
【答案】
解：(1)由题可知，
点M到定点F(−14, 0)的距离和直线x=14的距离相等，
∴ 动点M的轨迹E的方程为y2=−x.
(2)由(1)可知，动点M的轨迹E的方程为y2=−x①，
且直线l:y=kx+1k∈R②，
∴ 联立①②两式y2=−x,y=k(x+1),
消去x并整理，得ky2+y−k=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l与x轴的交点为N，
则y1+y2=−1k，y1y2=−1，N(−1, 0)，
∴ S△OAB=S△OAN +S△OBN
=12|ON||y1|+12|ON||y2|
=12×1×(y1+y2)2−4y1y2
=12(−1k)2+4.
又∵ S△OAB =10，
∴ 12(−1k)2+4=10，
解得k=±16.
【考点】
抛物线的定义
抛物线与直线的平面几何问题
抛物线的应用
【解析】
（1）根据题意可知点C到定点(−14, 0)和直线x=14的距离相等，根据抛物线的定义可求得点C的轨迹方程．
（2）把直线与抛物线方程联立消去x，设出点A，B的坐标，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标可得，进而根据S△OAB=S△OAN+S△OBN求得k
【解答】
解：(1)由题可知，
点M到定点F(−14, 0)的距离和直线x=14的距离相等，
∴ 动点M的轨迹E的方程为y2=−x.
(2)由(1)可知，动点M的轨迹E的方程为y2=−x①，
且直线l:y=kx+1k∈R②，
∴ 联立①②两式y2=−x,y=k(x+1),
消去x并整理，得ky2+y−k=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l与x轴的交点为N，
则y1+y2=−1k，y1y2=−1，N(−1, 0)，
∴ S△OAB=S△OAN +S△OBN
=12|ON||y1|+12|ON||y2|
=12×1×(y1+y2)2−4y1y2
=12(−1k)2+4.
又∵ S△OAB =10，
∴ 12(−1k)2+4=10，
解得k=±16.
【答案】
解：∵ asinA+C2=bsinA，
∴ 由正弦定理，得sinAsinA+C2=sinBsinA，
∵ sinA≠0，
∴ sinA+C2=sinB，
∵ A+B+C=180∘，
∴ sinA+C2=csB2，
∴ csB2=2sinB2csB2，
∵ csB2≠0，
∴ sinB2=12，
∴ B=60∘．
选择①，sinA=2sinC，即a=2c.
根据余弦定理，得csB=a2+c2−b22ac=12，
∵ b=3，
解得c=3，a=23，
∴ S=12acsinB=332；
选择②，a+c=6.
∵ csB=a2+c2−b22ac=12，a+c=6，
∴ ac=9，
∴ a=c=3，
∴ S=12acsinB=934；
选择③，ac=15.
∵ csB=a2+c2−b22ac=12，ac=15，
∴ a+c=36①，
又ac=15②，
联立①②两式，a，c无解，
∴ △ABC不存在．
【考点】
正弦定理
二倍角的正弦公式
余弦定理
【解析】
无
【解答】
解：∵ asinA+C2=bsinA，
∴ 由正弦定理，得sinAsinA+C2=sinBsinA，
∵ sinA≠0，
∴ sinA+C2=sinB，
∵ A+B+C=180∘，
∴ sinA+C2=csB2，
∴ csB2=2sinB2csB2，
∵ csB2≠0，
∴ sinB2=12，
∴ B=60∘．
选择①，sinA=2sinC，即a=2c.
根据余弦定理，得csB=a2+c2−b22ac=12，
∵ b=3，
解得c=3，a=23，
∴ S=12acsinB=332；
选择②，a+c=6.
∵ csB=a2+c2−b22ac=12，a+c=6，
∴ ac=9，
∴ a=c=3，
∴ S=12acsinB=934；
选择③，ac=15.
∵ csB=a2+c2−b22ac=12，ac=15，
∴ a+c=36①，
又ac=15②，
联立①②两式，a，c无解，
∴ △ABC不存在．
【答案】
解：(1)f′(x)=1x−a(x>0)．
若a≤0，则f′(x)>0，
∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增.
若a>0，则当x∈(0,1a)时，f′(x)>0；
当x∈(1a,+∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0, +∞)无最大值．
当a>0时，f(x)在x=1a处取得最大值，
最大值为f(1a)=ln1a+a(1−1a)=−lna+a−1．
因此f(1a)>2a−2等价于lna+a−1<0．
令g(a)=lna+a−1，
则g(a)在(0, +∞)上单调递增，g(1)=0．
于是，当0当a>1时，g(a)>0，
因此，a的取值范围是(0, 1)．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′(x)=1x−a(x>0)．
若a≤0，则f′(x)>0，
∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增.
若a>0，则当x∈(0,1a)时，f′(x)>0；
当x∈(1a,+∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0, +∞)无最大值．
当a>0时，f(x)在x=1a取得最大值，
最大值为f(1a)=ln1a+a(1−1a)=−lna+a−1．
因此f(1a)>2a−2等价于lna+a−1<0．
令g(a)=lna+a−1，
则g(a)在(0, +∞)上单调递增，g(1)=0．
于是，当0当a>1时，g(a)>0，
因此，a的取值范围是(0, 1)．
【答案】
(1)解：∵ 2c=45，e=ca=255，
∴ a=5，c=25，
又a2=b2+c2，
∴ b2=a2−c2=5，
∴ 椭圆C的方程为x225+y25=1.
(2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立y=kx+m,x225+y25=1,
消去y整理，得(1+5k2)x2+10mkx+5m2−25=0，
∵ Δ=(10km)2−4(1+5k2)(5m2−25)>0，
且x1+x2=−10km1+5k2，x1x2=5m2−251+5k2，
∴ y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=5k2m2−25k2−10k2m2+m2+5k2m21+5k2
=−25k2+m21+5k2.
∵ 点P(0,1)，PA→⋅PB→=−4，
∴ PA→⋅PB→=(x1, y1−1)⋅(x2, y2−1)
=x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=−4，
∴ 5m2−251+5k2+−25k2+m21+5k2−2m1+5k2+5=0，
整理，得3m2−m−10=0，
解得m=2或m=−53（舍去），
∴ 直线l过定点(0, 2)．
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）利用椭圆的基本性质，求出即可；
（2）联立解方程组，用韦达定理和数量积公式，求出m，得到定点坐标．
【解答】
(1)解：∵ 2c=45，e=ca=255，
∴ a=5，c=25，
又a2=b2+c2，
∴ b2=a2−c2=5，
∴ 椭圆C的方程为x225+y25=1.
(2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立y=kx+m,x225+y25=1,
消去y整理，得(1+5k2)x2+10mkx+5m2−25=0，
∵ Δ=(10km)2−4(1+5k2)(5m2−25)>0，
且x1+x2=−10km1+5k2，x1x2=5m2−251+5k2，
∴ y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=5k2m2−25k2−10k2m2+m2+5k2m21+5k2
=−25k2+m21+5k2.
∵ 点P(0,1)，PA→⋅PB→=−4，
∴ PA→⋅PB→=(x1, y1−1)⋅(x2, y2−1)
=x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=−4，
∴ 5m2−251+5k2+−25k2+m21+5k2−2m1+5k2+5=0，
整理，得3m2−m−10=0，
解得m=2或m=−53（舍去），
∴ 直线l过定点(0, 2)．x
[−3,−1)
−1
(−1,1]
f′(x)
+
0
−
f(x)
↗
极大值
↘
x
[−3,−1)
−1
(−1,1]
f′(x)
+
0
−
f(x)
↗
极大值
↘