专题03 因式分解 —— 2022年中考数学一轮复习专题精讲精练学案+课件

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因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的 　积　的形式，这样的变形叫做这个多项式的因式分解．
【例1】（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A．都是因式分解 B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，
【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【例2】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A．x（a–b）＝ax–bxB．x2–1+y2＝（x–1）（x+1）+y2C．x2–1＝（x+1）（x–1）D．ax+bx+c＝x（a+b+c）
【分析】A．等号右边不是几个整式乘积的形式，故不是因式分解；B．等号右边不是几个整式乘积的形式，故不是因式分解；C．等号右边是几个整式乘积的形式，且变形正确，左右两边相等，故是因式分解；D．左右两边不相等，故不是因式分解.【答案】C．
1.一般方法：（1）提公因式法：用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．（2）运用公式法：①a2－b2＝(a＋b)(a－b)；②a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．2.一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．
【例3】（2020•海南13/22）因式分解：x2-2x = ．
【考点】因式分解—提公因式法【分析】原式提取x即可得到结果．【解答】解：原式= x(x-2)，故答案为：x(x-2)【点评】此题考查了因式分解—提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
利用提公因式法分解因式
【例4】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（ ）A．–3x2y2B．–2x2y2C．6x2y2D．–x2y2
【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．故选D．【答案】D
【例5】分解因式：（2x+y）2–（x+2y）2．
【解答】解：原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y–x–2y）＝（3x+3y）（x–y）＝3（x+y）（x–y）．【答案】3（x+y）（x–y）．
利用平方差公式分解因式
【例6】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A．x2 ＋1 B．x2＋2x－1C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋4
【分析】A．不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；B．不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；C．不符合完全平方公式的结构，不能完全平方公式分解因式；D．符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式；故选D．【答案】D．
利用完全平方公式分解因式
【例7】已知二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），则b+c的值为（ ）A．1B．–1C．–5D．5
【分析】∵二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），∴x2+bx+c＝（x–3）（x+1）＝x2–2x–3，∴b＝–2，c＝–3，故b+c＝–5．故选C．【答案】C．
利用十字相乘法分解因式
【例8】分解因式：x2–2x–24= ．
【分析】 x2–2x–24 ＝（x–6）（x+4）．【答案】（x–6）（x+4）．
【例9】因式分解：x2 – y2 –2x+2y
【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x–y即可.【答案】x2 – y2–2x+2y = (x2 – y2 )–( 2x–2y )= ( x+y ) ( x –y ) –2 ( x–y )= ( x–y ) ( x+y–2 ) ．
利用分组分解法分解因式
【例10】（2020•宁夏9/26）分解因式：3a2-6a+3= ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式=3(a2-2a+1)=3(a-1)2．故答案为：3(a-1)2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
几种方法的综合运用
【例11】（2020•新疆兵团11/23）分解因式：am2-an2 = ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式= a(m2-n2 )= a(m+n)(m-n)，故答案为：a(m+n)(m-n)【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【例12】在实数范围内分解因式：a3–3a．
【答案】解：原式＝a（a2–3）＝a（a+ ）（a- ）