2020-2021年江西省瑞金市高一（下）5月月考数学（理）试卷北师大版

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这是一份2020-2021年江西省瑞金市高一（下）5月月考数学（理）试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x|x−1x+1≤0，B=x|2x<1，则A∩B=( )
A.[−1,1）B.[−1,0)C.−1,0D.[0,1）

2. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是( )
A.1a<1bB.ac2abD.a2
3. 已知sinx−π4=35，则csx+π4=( )
A.45B.35C.−45D.−35

4. 如图，若OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，B是线段AC靠近C的一个三等分点，则下列等式成立的是( )

A.c→=43b→−13a→B.c→=32b→+12a→
C.c→=23b→+16a→D.c→=32b→−12a→

5. 已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则cs(a2+a8)的值为( )
A.12B.−12C.32D.−32

6. 在△ABC中，已知sinA=2sinBcsC，则此三角形一定为( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形

7. 宽与长的比为5−12≈0.618的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD中，BC=5−1，AB>BC，那么AB→⋅AC→的值为( )
A.4B.5−1C.5+1D.25+2

8. 设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a+1b的最小值为( )
A.9B.8C.4D.2

9. 设等比数列an的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=( )
A.144B.81C.45D.63

10. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且ac=2+bcsAccsA+C，则B=( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

11. 已知函数fx=2x−1, x≤1,|lnx−1|, x>1, 则方程ffx=1根的个数为( )
A.3B.5C.7D.9

12. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15∘，向山顶前进100m到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45∘，若CD=50m，山坡对于地平面的坡角为θ，则csθ等于( )

A.22B.32C.2−1D.3−1
二、填空题

已知向量a→=5,4，b→=m,15，若a→⊥b→，则m=________．

不等式(a−2)x2−2(a−2)x−4<0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．

函数fx=Asinωx+φ+kA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，则fx的解析式是________.

已知函数fx满足fx+f−x=2， gx=1x+1，y=fx与y=gx交于点x1,y1，x2,y2，则y1+y2=________．
三、解答题

已知向量a→，b→满足：|a→|=2，|b→|=4，a→⋅b→−a→=−8.
(1)求a→与b→的夹角；

(2)求|a→−2b→|．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA−sinB+bsinB=csinC.
(1)求角C；

(2)若c=3，a+b=6，求△ABC的面积．

已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和，若S5=10，且a1+3，a2，−1成等比数列.
(1)求数列an的通项公式；

(2)设bn=an+7，若cn=1bnbn+1，求数列cn的前n项和Tn.

已知函数f(x)=2sinxcsx+2cs2x．
(1)求函数f(x)的单调增区间；

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π4个单位后，得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=k在x∈0,π2上恰有两个实数解，求k的取值范围．

已知fx=ax2−a+12x+2a2+1，a∈R.
(1)当a=2时，解不等式fx≥0；

(2)求关于x的不等式fx≥0的解集．

已知函数gx=2ex−aex，是奇函数.
(1)求a的值，并证明函数gx的单调性；

(2)若对任意的t∈1,9，使得不等式g1−lg3t+gk⋅lgt3>0成立，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年江西省瑞金市高一（下）5月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
先求出集合A，B，再利用集合的交集运算求解即可.
【解答】
解：∵ 集合A=x|x−1x+1≤0={x|−1B=x|2x<1={x|x<0}，
∴ A∩B={x|−1故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
不等式性质的应用
不等式比较两数大小
【解析】
根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】
解：对于A，1a−1b=b−aab<0，则A正确；
对于B，当c=0时，ac2=bc2，不成立，则B不正确，
对于C，ba−ab=b2−a2ab=(b−a)(b+a)ab<0，则C不正确，
对于D，∵a>b>0，
∴a2>ab，则D不正确.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为csx+π4
=sinπ2−x+π4=sinπ4−x,
又因为sinx−π4=−sinπ4−x=35，
所以sinπ4−x=−35，
所以csx+π4=−35.
故选D.
4.
【答案】
D
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
由平面向量的加、减、数乘运算直接化简得解．
【解答】
解：∵ OC→=OA→+AC→=OA→+32AB→
=OA→+32OB→−OA→=32OB→−12OA→，
∴ c→=32b→−12a→.
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
等差中项
任意角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为{an}为等差数列，且a1+a5+a9=π，
由等差数列的性质可知，a5=π3，
所以a2+a8=2π3，
故cs(a2+a8)=−12.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
三角形的形状判断
解三角形
两角和与差的正弦公式
【解析】
将sinA=2sinBcsC，化简为sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC=2sinBcsC．即sinB−C=0，即可求得答案
【解答】
解：∵ sinA=2sinBcsC，
∴ sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC=2sinBcsC，
∴ sinBcsC−csBsinC=0，
即sinB−C=0，
∴ B=C，
∴ 此三角形是等腰三角形.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
黄金分割常数
【解析】
由题求出AB=2，建立直角坐标系，求出各个点的坐标，利用数量积求得结果．
【解答】
解：∵ BC=5−1，AB>BC，BCAB=5−12，
∴ AB=2．
由题意，建立如图所示的直角坐标系，
则B0,0，C5−12,0，A0,2，
∴ AB→=0,−2，AC→=5−12,−2，
∴ AB→⋅AC→=4．
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
等比数列的性质
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
先根据等比中项的性质求得a+b的值，代入1a+2b 中，将其变为1+2+ba+2ab，利用基本不等式就可得出其最小值．
【解答】
解：∵ 3是3a与3b的等比中项，
∴ 3a⋅3b=3a+b=3，
∴ a+b=1，
∴ 1a+1b=(a+b)1a+1b=a+ba+a+bb
=1+1+ba+ab≥2+2=4，
当且仅当ba=ab时“=”成立.
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由等比数列的性质可得S3 ，S6−S3，S9−S6…成等比数列，由已知数据易得答案．
【解答】
解：由等比数列的性质可知，S3 ，S6−S3，S9−S6成等比数列，
并设其公比为q，
∵ S3=9，S6−S3=36−9=27，
∴ q=279=3，
∴ a7+a8+a9=S9−S6=27×3=81.
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
根据3asinC=3ccsA，利用正弦定理可得3sinAsinC=3sinCcsA，化简可得tanA，从而得到A的值．
【解答】
解：∵ac=2+bcsAccsA+C，
且csA+C=csπ−B=−csB，
∴ac=2+bcsAc−csB=2ccsB−bcsAccsB ，
即acsB=2ccsB−bcsA，
由正弦定理，得asinA=bsinB=csinC，
∴ sinAcsB=2sinCcsB−sinBcsA，
∴sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsB，
∴ sinA+B=2sinCcsB，
即sinC=2sinCcsB，
∴csB=12，
∴B=π3.
故选B.
11.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令u=f(x)，解方程f(u)=1，
①当u≤1时，f(u)=2u−1=1，得u1=1，
②当u>1时，f(u)=|ln(u−1)|=1，
即lnu−1=±1 ，
解得u2=1+1e，u3=1+e，
如图所示：
直线u=1，u=1+1e，u=1+e与函数u=f(x)的交点个数分别为3，2，2，
所以方程f(fx)=1的根的个数为3+2+2=7．
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在△ABC中，AB=100m，
由正弦定理可知BC=ABsin∠BACsin∠ACB
=100sin15∘sin45∘−15∘=50(6−2)m，
在△BCD中，CD=50m，
由正弦定理可知sin∠BDC=BCsin∠CBDCD
=50(6−2)sin45∘50=3−1，
由题图知csθ=sin∠ADE=sin∠BDC=3−1.
故选D．
二、填空题
【答案】
−12
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
无
【解答】
解：因为a→⊥b→，所以5m+4×15=0，解得m=−12．
故答案为：−12．
【答案】
(−2,2]
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
依题意，分a=2与a≠2两类讨论，即可求得实数a的取值范围．
【解答】
解：由题意，不等式(a−2)x2−2(a−2)x−4<0对x∈R恒成立，
当a=2时，−4<0，则对任意实数x都成立；
当a≠2时，a−2<0，Δ=[−2(a−2)]2−4(a−2)×(−4)<0，
解得−2综上所述，实数a的取值范围为(−2,2]．
故答案为：(−2,2]．
【答案】
32sin(2x+π3)+1
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图象得T=2πω=2×(7π12−π12)=π，
解得ω=2，
∴ fx=Asin2x+φ+k.
当x=π12时，f(x)=A+k=52①，
当x=7π12时，f(x)=−A+k=−12②，
由①②得A=32，k=1，
∴ fx=32sin2x+φ+1.
当x=π12时，sin(2×π12+φ)=1，
∴ π6+φ=π2+kπ，k∈Z，
∴ φ=π3+kπ，k∈Z.
∵ |φ|<π2，
∴ φ=π3，
∴ f(x)=32sin(2x+π3)+1.
故答案为：32sin(2x+π3)+1.
【答案】
2
【考点】
函数的对称性
【解析】
无
【解答】
解：因为fx+f−x=2，
所以y=fx关于点(0,1)对称，
y=gx=1x+1也关于点(0,1)对称，
则交点关于(0,1)对称，
∴ y1+y2=2．
故答案为：2．
三、解答题
【答案】
解：(1)设向量a→与b→的夹角θ，
∵ |a→|=2，|b→|=4，
∴ a→⋅b→−a→=a→⋅b→−a→2
=a→⋅b→−4=2×4⋅csθ−4=−8，
解得csθ=−12.
∵ θ∈0,π，
∴ θ=2π3.
(2)由向量的模的公式可得
|a→−2b→|=a→−2b→2
=a→2−4a→⋅b→+4b→2
=4−4×2×4×−12+64
=221.
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设向量a→与b→的夹角θ，
∵ |a→|=2，|b→|=4，
∴ a→⋅b→−a→=a→⋅b→−a→2
=a→⋅b→−4=2×4⋅csθ−4=−8，
解得csθ=−12.
∵ θ∈0,π，
∴ θ=2π3.
(2)由向量的模的公式可得
|a→−2b→|=a→−2b→2
=a→2−4a→⋅b→+4b→2
=4−4×2×4×−12+64
=221.
【答案】
解：(1)因为asinA−sinB+bsinB=csinC，
由正弦定理得aa−b+b2=c2，即a2+b2−c2=ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12，C∈0,π，
所以C=π3.
(2)由(1)得 a2+b2−c2=a2+b2−9=ab，
则a+b2−3ab=9.
因为a+b=6，
所以ab=9，
所以S△ABC=12absinC=12×9×sinπ3=934.
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为asinA−sinB+bsinB=csinC，
由正弦定理得aa−b+b2=c2，即a2+b2−c2=ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12，C∈0,π，
所以C=π3.
(2)由(1)得 a2+b2−c2=a2+b2−9=ab，
则a+b2−3ab=9.
因为a+b=6，
所以ab=9，
所以S△ABC=12absinC=12×9×sinπ3=934.
【答案】
解：(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，
因为S5=10，且a1+3，a2，−1成等比数列，
所以 5a1+10d=10,a1+d2=−a1+3, 解得a1=−4,d=3,
所以an=a1+n−1d=−4+3n−1=3n−7.
(2)由(1)可得bn=an+7=3n−7+7=3n，
所以cn=1bnbn+1=13n⋅3n+1=191n−1n+1，
所以Tn=191−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=191−1n+1=n9n+1.
【考点】
等差数列的通项公式
等比数列的性质
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，
因为S5=10，且a1+3，a2，−1成等比数列，
所以 5a1+10d=10,a1+d2=−a1+3, 解得a1=−4,d=3,
所以an=a1+n−1d=−4+3n−1=3n−7.
(2)由(1)可得bn=an+7=3n−7+7=3n，
所以cn=1bnbn+1=13n⋅3n+1=191n−1n+1，
所以Tn=191−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=191−1n+1=n9n+1.
【答案】
解：(1)f(x)=2sinxcsx+2cs2x
=sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π4)+1，
由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间是[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)．
(2)由题意，得g(x)=f(x−π4)=2sin[2(x−π4)+π4]+1
=2sin(2x−π4)+1，
当x∈0,π2时，2x−π4∈−π4,3π4，
则2sin(2x−π4)∈−1,2，
使gx=k有两个实数解，则1≤k−1<2，
解得2≤k<2+1，
即k的取值范围为[2,2+1).
【考点】
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
正弦函数的单调性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的定义域和值域
【解析】
（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性即可得出结论．
（2）利用三函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可求得实数k的取值范围．
【解答】
解：(1)f(x)=2sinxcsx+2cs2x
=sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π4)+1，
由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间是[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)．
(2)由题意，得g(x)=f(x−π4)=2sin[2(x−π4)+π4]+1
=2sin(2x−π4)+1，
当x∈0,π2时，2x−π4∈−π4,3π4，
则2sin(2x−π4)∈−1,2，
使gx=k有两个实数解，则1≤k−1<2，
解得2≤k<2+1，
即k的取值范围为[2,2+1).
【答案】
解：(1)当a=2时， fx=2x2−9x+10，
又fx≥0，即2x2−9x+10≥0，
解得x≤2或x≥52，
故不等式的解集为−∞,2∪52,+∞.
(2)fx=ax2−a+12x+2a2+1=x−2ax−a2+1
令f(x)=0，解得x=2或x=a+1a，
当a=0时， fx=−x+2≥0，
解得x≤2，则解集为(−∞,2]；
当a<0时， a+1a<2，
则解集为a+1a,2；
当a=1时， fx=x−22≥0恒成立，则解集为R；
当a>0且a≠1时， a+1a>2，
则解集为−∞,2∪a+1a,+∞，
综上所述，当a=0时，解集为(−∞,2]；
当a<0时，解集为a+1a,2;
当a=1时，解集为R；
当a>0且a≠1时，解集为−∞,2∪a+1a,+∞．
【考点】
一元二次不等式的解法
其他不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=2时， fx=2x2−9x+10，
又fx≥0，即2x2−9x+10≥0，
解得x≤2或x≥52，
故不等式的解集为−∞,2∪52,+∞.
(2)fx=ax2−a+12x+2a2+1=x−2ax−a2+1
令f(x)=0，解得x=2或x=a+1a，
当a=0时， fx=−x+2≥0，
解得x≤2，则解集为(−∞,2]；
当a<0时， a+1a<2，
则解集为a+1a,2；
当a=1时， fx=x−22≥0恒成立，则解集为R；
当a>0且a≠1时， a+1a>2，
则解集为−∞,2∪a+1a,+∞，
综上所述，当a=0时，解集为(−∞,2]；
当a<0时，解集为a+1a,2;
当a=1时，解集为R；
当a>0且a≠1时，解集为−∞,2∪a+1a,+∞．
【答案】
解：(1)函数gx=2ex−aex是奇函数，
所以g0=2e0−ae0=2−a=0，解得a=2.
当a=2时，gx=2ex−2ex，
g−x=2ex−2ex=−gx，函数为奇函数.
函数单调递增，
证明：设x1则gx2−gx1=2ex2−2ex2−2ex1−2ex1
=2ex2−ex11+1ex1+x2.
因为x1所以ex2−ex1>0，1+1ex1+x2>0，
所以gx2−gx1>0，
所以函数单调递增.
(2)因为g1−lg3t+gk⋅lgt3>0，
所以g1−lg3t>g−k⋅lgt3，
即1−lg3t>−k⋅lgt3.
设lg3t=m，则m∈0,2，
所以1−m>−km，
即k>m2−m=m−122−14，
当m=2时，m−122−14=2，
所以k≥2.
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的单调性及单调区间
函数恒成立问题
二次函数在闭区间上的最值
函数单调性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数gx=2ex−aex是奇函数，
所以g0=2e0−ae0=2−a=0，解得a=2.
当a=2时，gx=2ex−2ex，
g−x=2ex−2ex=−gx，函数为奇函数.
函数单调递增，
证明：设x1则gx2−gx1=2ex2−2ex2−2ex1−2ex1
=2ex2−ex11+1ex1+x2.
因为x1所以ex2−ex1>0，1+1ex1+x2>0，
所以gx2−gx1>0，
所以函数单调递增.
(2)因为g1−lg3t+gk⋅lgt3>0，
所以g1−lg3t>g−k⋅lgt3，
即1−lg3t>−k⋅lgt3.
设lg3t=m，则m∈0,2，
所以1−m>−km，
即k>m2−m=m−122−14，
当m=2时，m−122−14=2，
所以k≥2.