2020-2021年湖南省益阳市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年湖南省益阳市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x|2x−8>0，B=x|x−1>6，则A∪B=（ ）
A.3,+∞B.7,+∞C.3,7D.−∞,7

2. 在△ABC中，“csA<0”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A.必要不充分条件B.充要条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2=a2−c2+bc，则A=（ ）
A.π6B.5π6C.π3D.2π3

4. 已知a=ln2，b=20.8，c=ln23，则（ ）
A.a
5. 由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都有出现正六边形．下图中塔的底面是边长为6m的正六边形，则该塔底面的面积为（ ）

A.483m2B.423m2C.363m2D.543m2

6. 已知正数a，b满足a+b=2ab，则2a+6b的最小值为（ ）
A.6B.4+3C.10D.4+23

7. 某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏．某科研部门在水域中投放一定面积的该植物，研究发现该植物在水面的覆盖面积y（单位：m2）与经过的时间t（单位：月）的关系式为y=a×1.3t，当投放一定面积的该植物后，经过1个月面积达到2.6m2．那么要使该植物在水面的覆盖面积达到2600m2，至少要经过的时间约为（ ）
参考数据：取lg1.3=0.114．
个月个月个月个月

8. 已知ω>0，函数fx=sinωx+π3在区间π3,π上有零点，则ω的取值范围为（ ）
A.32,+∞B.23,+∞C.23,53D.23,32
二、多选题

已知函数fx=Acs2x+φ+bA>0,0<φ<π的部分图象如图所示，则( )

A.A=2
B.点7π12,1是fx图象的一个对称中心
C.φ=π6
D.直线x=π3是fx图象的一条对称轴

△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，sinB=sin2A，则（ ）
A.sinB=429B.csA=−13C.c=3D.S△ABC=22

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=π3，E，F分别为CD，BC的中点，则（ ）

A.AE→=12AB→+AD→B.AF→=AB→+12AD→
C.AE→⋅AF→=25D.AE→⋅AC→=AF→⋅AC→

已知函数fx=|lnx|, x>0,−x2+1, x≤0,若存在aA.bc=1B.b+c=1C.a+b+c>1D.abc<−1
三、填空题

已知向量a→=5,4，b→=m,15，若a→⊥b→，则m=________．

写出一个在区间[0,+∞)上单调递减的偶函数fx=________.

以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB的长度为π，则该勒洛三角形的面积为________．


定义在R上的奇函数fx满足fx+2=f−x，当x∈−1,0时，fx=x2+2x，则f2021=________．
四、解答题

计算：
(1)12+1+π0−2−1+2713；

(2)lg32×lg881+lg25−2lg11004.

已知向量a→=3,1，|b→|=5，a→⋅a→+b→=15．
(1)求向量a→与b→夹角的正切值；

(2)若λa→−b→⊥a→+2b→，求λ的值．

已知幂函数fx=m2+4m−4xm+1在区间0,+∞上单调递增．
(1)求fx的解析式；

(2)用定义法证明函数gx=fx+4m+3x在区间0,2上单调递减．

已知平面向量m→=sinx,3csx，n→=3csx,2sinx+3csx，函数fx=m→⋅n→．
(1)求fx的最小正周期；

(2)先将fx图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到函数y=gx的图象，求gx的单调递减区间．

△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinC=33ccsA．
(1)求A的值；

(2)若a=5，求2b−3c的取值范围．

已知函数fx=sin2x+2−msinx−m．
(1)当m=32时，求方程fx=0的解集；

(2)若关于x的方程fx=0在区间π3,7π6上有解，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年湖南省益阳市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
并集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：因为A=x|x>3，B=x|x>7，所以A∪B=3,+∞．
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：若csA<0，则π2若△ABC为钝角三角形，则A，B，C中有一个角为钝角，不一定是A.
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由b2=a2−c2+bc，得a2=b2+c2−bc．又由余弦定理知，a2=b2+c2−2bccsA，所以csA=12，则A=π3．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
无
【解答】
解：因为01，c=ln23<0，所以c故选B．
5.
【答案】
D
【考点】
函数模型的选择与应用
【解析】

【解答】
解：因为正六边形的边长为6m，所以面积S=6×34×6×6=543m2．
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：因为a+b=2ab，所以1a+1b=2，
所以2a+6b=1a+1ba+3b
=1+3ba+ab+3≥4+23，
当且仅当a=3+12，b=3+36时取等．
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
函数模型的选择与应用
对数的运算性质
【解析】
无
【解答】
解：当t=1时，y=1.3a=2.6，则a=2．
设需要经过t个月该植物在水域中的面积达到2600m2，
则2×1.3t=2600，
则t=lg1.31300=lg1300lg1.3=1+3lg1.3
=1+30.114≈27.32，故至少需要经过大约27.32个月．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的图象
函数的零点
【解析】
无
【解答】
解：设fx的最小正周期为T，则T=2πω．
若π−π3≥T2，即2π3≥πω，解得ω≥32，
则fx在区间π3,π上至少有一个零点．
若0<ω<32，则ωπ3+π3,ωπ+π3⊆π3,11π6，
故只需ωπ3+π3≤π≤ωπ+π3，结合0<ω<32，得23≤ω<32．
综上ω≥23．
故选B．
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
无
【解答】
解：A．因为A>0，所以A+b=3,−A+b=−1,解得A=2,b=1,，A正确；
C．f0=2csφ+1=2，则csφ=12．又0<φ<π，所以φ=π3，C错误；
D．fx=2cs2x+π3+1，令2x+π3=kπ，k∈Z，解得x=−π6+kπ2，k∈Z，所以fx图象的对称轴方程为x=−π6+kπ2，k∈Z，令k=1，则x=π3，D正确；
B．令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，解得x=π12+kπ2，k∈Z，令k=1，则x=7π12且f7π12=1，故B正确．
故选ABD．
【答案】
A,C,D
【考点】
正弦定理
余弦定理
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
无
【解答】
解：因为sinB=sin2A，所以sinB=2sinAcsA，b=2acsA．
又a=3，b=2，所以csA=13，sinA=223，sinB=429．
又bcsC=−csA+B=−csAcsB+sinAsinB=13=csA，
所以c=a=3，
S△ABC=12bcsinA=12×2×3×223=22．
故选ACD．
【答案】
A,B,D
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
无
【解答】
解：由题可知，AE→=AD→+DE→=AD→+12AB→，AF→=AB→+BF→=AB→+12AD→，A，B正确；AE→⋅AC→−AF→⋅AC→=AE→−AF→⋅AC→
=FE→⋅AC→=12BD→⋅AC→=0，D正确；
AE→⋅AF→=12AB→+AD→⋅AB→+12AD→
=12AB→2+54AB→⋅AD→+12AD→2
=12×42+54×4×4×12+12×4×4=26,C错误．
故选ABD.
【答案】
A,C
【考点】
分段函数的应用
函数与方程的综合运用
【解析】
无
【解答】
解：如图，画出函数y=fx的图象，
可知−1c>1，且−lnb=lnc，
所以lnb+lnc=lnbc=0，即bc=1．
因为bc=1，所以abc=a∈(−1,0]，
a+b+c=a+1c+c>a+2>1．
故选AC．
三、填空题
【答案】
−12
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
无
【解答】
解：因为a→⊥b→，所以5m+4×15=0，解得m=−12．
故答案为：−12．
【答案】
−x2
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的判断
【解析】
利用函数的奇偶性与单调性写出一个满足题意的函数即可.
【解答】
解：函数f(x)=−x2，对称轴为x=0，关于y轴对称，为偶函数，
在区间[0,+∞)单调递减，满足题意.
故答案为：−x2（答案不唯一）.
【答案】
9π−932
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
【解析】
无
【解答】
解：设等边三角形ABC的边长为a，则π3a=π，解得a=3，所以该勒洛三角形的面积
S=3×32π−2×12×3×332=9π−932．
故答案为：9π−932．
【答案】
1
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的周期性
【解析】
无
【解答】
解：因为fx是奇函数，所以fx+2=f−x=−fx，
所以fx+4=f(x+2+2)=−f(x+2)=fx，
所以fx的周期为4.所以fx+4=fx，故fx是以4为周期的周期函数，则f2021=f4×505+1=f1
=−f−1=−−12−2=1．
故答案为：1．
四、解答题
【答案】
解：(1)原式=2−1+1−2−1+3
=4．
(2)原式=lg32×43lg23+lg25+lg4
=43+2
=103．
【考点】
有理数指数幂的化简求值
对数及其运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)原式=2−1+1−2−1+3
=4．
(2)原式=lg32×43lg23+lg25+lg4
=43+2
=103．
【答案】
解：(1)因为a→=3,1，
所以|a→|=32+12=10
设向量a→与b→的夹角为θ，
则a→⋅a→+b→=a→2+a→⋅b→=|a→|2+|a→||b→|csθ
=10+510csθ=15，
解得csθ=1010，
又0∈0,π，
所以sinθ=1−cs2θ=31010，
故tanθ=sinθcsθ=3．
(2)因为λa→−b→⊥a→+2b→，
所以λa→−b→⋅a→+2b→
=λa→2+2λ−1a→⋅b→−2b→2=0，
即10λ+52λ−1−50=0，
解得λ=114．
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】

无
【解答】
解：(1)因为a→=3,1，
所以|a→|=32+12=10
设向量a→与b→的夹角为θ，
则a→⋅a→+b→=a→2+a→⋅b→=|a→|2+|a→||b→|csθ
=10+510csθ=15，
解得csθ=1010，
又0∈0,π，
所以sinθ=1−cs2θ=31010，
故tanθ=sinθcsθ=3．
(2)因为λa→−b→⊥a→+2b→，
所以λa→−b→⋅a→+2b→
=λa→2+2λ−1a→⋅b→−2b→2=0，
即10λ+52λ−1−50=0，
解得λ=114．
【答案】
(1)解：由题可知，m2+4m−4=1，解得m=1或m=−5．
若m=1，则fx=x2在区间0,+∞上单调递增，符合条件；
若m=−5，则fx=x−4在区间0,+∞上单调递减，不符合条件．
故fx=x2 ．
(2)证明：由(1)可知，gx=x2+16x．
任取x1，x2∈0,2，令x1则gx1−gx2=x12+16x1−x22−16x2
=x1−x2x1+x2−16x1x2．
因为0所以x1−x2<0，x1+x2<4，16x1x2>4，
所以(x1−x2)(x1+x2)−16x1x2>0，
即gx1>gx2，
故gx在区间0,2上单调递减．
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
函数单调性的判断与证明
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：由题可知，m2+4m−4=1，解得m=1或m=−5．
若m=1，则fx=x2在区间0,+∞上单调递增，符合条件；
若m=−5，则fx=x−4在区间0,+∞上单调递减，不符合条件．
故fx=x2 ．
(2)证明：由(1)可知，gx=x2+16x．
任取x1，x2∈0,2，令x1则gx1−gx2=x12+16x1−x22−16x2
=x1−x2x1+x2−16x1x2．
因为0所以x1−x2<0，x1+x2<4，16x1x2>4，
所以(x1−x2)(x1+x2)−16x1x2>0，
即gx1>gx2，
故gx在区间0,2上单调递减．
【答案】
解：(1)因为m→=sinx,3csx，n→=3csx,2sinx+3csx,
所以f(x)=m→⋅n→
=3sinxcsx+3csx(2sinx+3csx)
=33sinxcsx+3cs2x
=332sin2x+321+cs2x
=3sin(2x+π6)+32.
故fx的最小正周期 T=2π2=π.
(2)由题可知gx=3sin4x+π3+π6+32
=3sin4x+3π2+32，
=−3cs4x+32.
令−π+2kπ≤4x≤2kπ，k∈Z，
解得−π4+kπ2≤x≤kπ2，k∈Z，
故gx的单调递减区间为−π4+kπ2,kπ2k∈Z.
【考点】
平面向量数量积的运算
三角函数中的恒等变换应用
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
余弦函数的单调性
余弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为m→=sinx,3csx，n→=3csx,2sinx+3csx,
所以f(x)=m→⋅n→
=3sinxcsx+3csx(2sinx+3csx)
=33sinxcsx+3cs2x
=332sin2x+321+cs2x
=3sin(2x+π6)+32.
故fx的最小正周期 T=2π2=π.
(2)由题可知gx=3sin4x+π3+π6+32
=3sin4x+3π2+32，
=−3cs4x+32.
令−π+2kπ≤4x≤2kπ，k∈Z，
解得−π4+kπ2≤x≤kπ2，k∈Z，
故gx的单调递减区间为−π4+kπ2,kπ2k∈Z.
【答案】
解：(1)因为asinC=33ccsA，
所以sinAsinC=33sinCcsA．
又sinC≠0，所以sinA=33csA，即tanA=33.
又A∈0,π，所以A=π6 .
(2)因为a=5，所以asinA=bsinB=csinC=10，
所以2b−3c=20sinB−103sinC
=20sin(π6+C)−103sinC=10csC．
由题可知，C∈0,56π，则10csC∈−53,10，
故2b−3c的取值范围是−53,10．
【考点】
正弦定理
余弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为asinC=33ccsA，
所以sinAsinC=33sinCcsA．
又sinC≠0，所以sinA=33csA，即tanA=33.
又A∈0,π，所以A=π6 .
(2)因为a=5，所以asinA=bsinB=csinC=10，
所以2b−3c=20sinB−103sinC
=20sin(π6+C)−103sinC=10csC．
由题可知，C∈0,56π，则10csC∈−53,10，
故2b−3c的取值范围是−53,10．
【答案】
解：(1)当m=32时，fx=sin2x+12sinx−32,
令fx=0，即sin2x+12sinx−32=0,
解得sinx=1(sinx=−32舍去）．
所以x=π2+2kπ,k∈Z.
所以方程fx=0的解集为x|x=π2+2kπ,k∈Z.
(2)由fx=0得sin2x+2−msinx−m=0，
即sinx+1m=sin2x+2sinx，
因为x∈π3,7π6，所以sinx∈−12,1,sinx+1≠0，
所以m=sin2x+2sinxsinx+1=sinx+12−1sinx+1，
令sinx+1=t，t∈12,2，
所以m=t2−1t=t−1t，
令gt=t−1t，
因为函数y=t和y=−1t在12,2上都是增函数，
所以gt在12,2上是增函数．
又g12=−32，g2=32，
所以gt在12,2上的值域为−32,32，
所以实数m的取值范围是−32,32．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的定义域和值域
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当m=32时，fx=sin2x+12sinx−32,
令fx=0，即sin2x+12sinx−32=0,
解得sinx=1(sinx=−32舍去）．
所以x=π2+2kπ,k∈Z.
所以方程fx=0的解集为x|x=π2+2kπ,k∈Z.
(2)由fx=0得sin2x+2−msinx−m=0，
即sinx+1m=sin2x+2sinx，
因为x∈π3,7π6，所以sinx∈−12,1,sinx+1≠0，
所以m=sin2x+2sinxsinx+1=sinx+12−1sinx+1，
令sinx+1=t，t∈12,2，
所以m=t2−1t=t−1t，
令gt=t−1t，
因为函数y=t和y=−1t在12,2上都是增函数，
所以gt在12,2上是增函数．
又g12=−32，g2=32，
所以gt在12,2上的值域为−32,32，
所以实数m的取值范围是−32,32．