2021届安徽省合肥市高三下学期理数第三次教学质量检测试卷及答案

这是一份2021届安徽省合肥市高三下学期理数第三次教学质量检测试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期理数第三次教学质量检测试卷
一、单项选择题
1.全集 ，集合 与 关系的Venn图如下列图，那么阴影局部表示集合的元素共有〔    〕





2.设 〔i是虚数单位〕，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C. 1                                         D. 
3.如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，那么该几何体最长棱的长度为〔    〕

A.                                        B.                                        C.                                        D. 8
4.在平面直角坐标系中，点 ， ，当t由 变化到 时，线段 扫过形成图形的面积等于〔    〕
A. 2                                         B.                                          C.                                          D. 
5.曲线 ，曲线 ，那么下面结论正确的选项是〔    〕
A. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍〔纵坐标不变〕后，再向右平移 个单位长度得到曲线E
B. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍〔纵坐标不变〕后，再向左平移 个单位长度得到曲线E
C. 把C上各点横坐标缩短到原来 倍〔纵坐标不变〕后，再向右平移 个单位长度得到曲线E
D. 把C上各点横坐标缩短到原来 倍〔纵坐标不变〕后，再向左平移 个单位长度得到曲线E
6.假设函数 满足 ，那么 的值等于〔    〕
A. 2                                          B. 0                                          C. -2                                          D. -4
7.图上半局部为一个油桃园．每年油桃成熟时，园主都要雇佣人工采摘，然后沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售．路径1：先将油桃集中到A处，再沿公路 运送；路径2：先将油桃集中到B处，再沿公路 运送． ， ．为了减少运送时间，园主在油桃园中画定了一条界线，使得位于界线一侧的采摘工按路径1运送路程较近，另一侧的采摘工按路径2运送路程较近假设这条界线是曲线E的一局部，那么曲线E为〔    〕

A. 圆                                    B. 椭圆                                    C. 双曲线                                    D. 抛物线
8.等比数列 的各项均为实数，公比为q，那么以下结论错误的选项是〔    〕
A. 假设 ，那么
B. 假设 ，且 ，那么
C. 假设 ，那么
D. 假设 ，那么
9.某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来 城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加髙加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作 ．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．假设抽调的翻斗车每隔 才有一辆到达施工现场投入工作，要在 内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车〔    〕
A. 25辆                                    B. 24辆                                    C. 23辆                                    D. 22辆
10.圆 ，过圆外一点 作圆 的切线，切点为 ，假设 〔O为坐标原点〕，那么 的最小值为〔    〕
A. 4                                  B.                                   C.                                   D. 
11.函数 ， ，当 时， 恒成立，那么实数a的取值范围是〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
12.几何中常用表示 的测度，当 为曲线、平面图形和空间几何体时， 分别对应其长度、面积和体积．在 中， ， ， ， 为 内部一动点〔含边界〕，在空间中，到点 的距离为 的点的轨迹为 ，那么 等于〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
二、填空题
13. 的重心为 ，假设 ，那么 ________．
14.抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线 的交点为 ，且 ，那么抛物线 的方程为________．
15.为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化〞研学游活动．该校高一年级部10个班级分别去3个革命老区开展研学游，每个班级只去1个革命老区，每个革命老区至少安排3个班级，那么不同的安排方法共有________种〔用数字作答〕．
16.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线〔Cassini Oval〕．在平面直角坐标系中，设定点为 ， ，点O为坐标原点，动点 满足 〔 且为常数〕，化简得曲线 ．以下四个命题中，正确命题的序号是________．
〔将你认为正确的命题的序号都填上〕
①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；
②当 时， 的最大值为 ；
③ 的最小值为 ；
④ 面积的最大值为 ．
三、解答题
17.在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
〔1〕求B；
〔2〕假设 ， ，求 的面积．
18.如图，在四棱锥 中， 平面 ，且 ， ， ， ．

〔1〕求证： ；
〔2〕设F为棱 上一点，且 平面 ，求二面角 的大小．
19.某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品．该电子产品由A、B两个系统组成，其中A系统由3个电子元件组成，B系统由5个电子元件组成．各个电子元件能够正常工作的概率均为 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，那么该系统可以正常工作，否那么就需要维修．
〔1〕当 时，每个系统维修费用均为200元．设 为该电子产品需要维修的总费用，求 的分布列与数学期望；
〔2〕当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测．从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应优先检测哪个系统？
20.函数 ．
〔1〕假设 ，求实数a的值；
〔2〕求证： ．
21.点D是圆 上一动点，点 ，线段 的中垂线交 于点B．
〔1〕求动点B的轨迹方程C；
〔2〕定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似〞曲线．假设关于坐标轴对称的曲线T与曲线C相似，且焦点在同一条直线上，曲线T经过点 ， ．过曲线C上任一点P向曲线T作切线，切点分别为M，N，这两条切线PM， 分别与曲线C交于点G，H〔异于点P〕．
证明： 是一个定值，并求出这个定值．
22.在平面直角坐标系 ，直线l过点 ．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
〔1〕设直线l的倾斜角为 ，写出其参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；
〔2〕假设直线l与曲线C交于P，Q两点，且线段 的中点为M，求直线l的方程．
23.函数 ．
〔1〕当 时，解不等式 ；
〔2〕假设在 ，使得不等式 成立，求实数a的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 或 ，
阴影局部用集合 表示，
因为 ，所以 ，又因为 ，
2k-1=-1k=0，可以
2k-1=0，k=,舍去，k∈Z
2k-1=1，k=1,可以
2k-1=2，k=， 舍去，k∈Z
2k-1=3，k=2,可以
综上，3个元素可以
故答案为：C

【分析】 求出集合A、B，进一步求出，阴影局部表示集合为，由此能求出阴影局部表示集合的元素的个数.
2.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故答案为：B

【分析】 利用复数的运算法那么、模的计算公式即可得出.
3.【解析】【解答】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，如图中的 ，

， ， ， ，
， ， ，
，
所以该几何体最长棱的长度为 .
故答案为：A

【分析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，经过计算六条棱长可得答案。
4.【解析】【解答】当 时，设点 在 处，当 时，设点 在 处，如以下列图所示：

线段 扫过形成图形为坐标系中的阴影局部，
因为 轴，所以 ，
所以线段AP扫过形成图形的面积为扇形 的面积： .
故答案为：C.
【分析】当 时，设点 在 处，当 时，设点 在 处，根据图像可知，线段 扫过形成图形的面积为扇形 的面积，即可得出答案。
5.【解析】【解答】对于A：由得 ，从而有 ，A符合题意；
对于B：由得 ，从而有 ，B不正确；
对于C：由得 ，从而有
，C不正确；
对于D：由得 ，从而有
，D不正确；
故答案为：A

【分析】 利用三角函数的伸缩变换以及平移变换，分析每一个选项是否正确即可.
6.【解析】【解答】由题意易知， 分别在 上单调，
 
假设 ，那么 不在同一单调区间，
又 ，一定有 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A

【分析】假设 ，那么 不在同一单调区间，又 ，一定有 ，，求出a，即可求出  的值 。
7.【解析】【解答】由题意可知，假设曲线E上一点为P，
那么满足 时，由P点到C点的两条路径一样长，
即 ，即点P的轨迹为双曲线的左支，
当在双曲线左边时，按路径1运送，当在双曲线右边时，按路径2运送，
结合题意曲线E应为双曲线左支与油桃园的交集局部，
故答案为：C.

【分析】 利用条件，推出曲线E满足双曲线的定义，得到结果.
8.【解析】【解答】显然 .
A：因为 ，所以 ，因此本选项结论正确；
B：由 ，而 ，显然
，因此本选项结论正确；
C：由 ，
，因此本选项结论正确；
D：由 ， ，
因此本选项结论不正确，
故答案为：D

【分析】根根据等比数列的通项公式以及性质逐项进行判断即可得到答案。 
9.【解析】【解答】总工作量为： ，
由题意可知：每调来一辆车，工作时间依次递减 ，那么每辆车的工作时间成等差数列，
设第 辆车的工作时间为 ，那么 ，等差数列的公差 ，
辆车的工作总时长 ，
， ，
共需24辆车完成工程， 至少还需要抽调24-1=23辆车.
故答案为：C.

【分析】 利用题中的条件易知每一辆工程车的工作量成等差数列，可求出所有工程车的工作量，列出等式即可解出.
10.【解析】【解答】圆 ，化简可得 ，所以 ，半径为 ，由题意，过圆外一点 作圆 的切线，切点为 ，

所以 为直角三角形， ，又由 ，可求得动点 的轨迹方程，设 ，那么 ，可得 ，点 在圆 上，圆心为 ，那么 的最小值为： .
故答案为：D.

【分析】 求出P的轨迹方程，然后求解  的最小值即可.
11.【解析】【解答】由 ，
当 时，上式可变形为： ，问题转化为：
当 时， 恒成立，
设 ， ，
  ，
因为 ， ，所以 ，因此 ，
所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调增，故 ，要想
当 时， 恒成立，只需 ，
设 ， ，
，
当 时， ，所以函数 单调递增，而 ，
显然当 ， 成立，
故答案为：B

【分析】 不等式  恒成立 ，等价于恒成立；构造函数 ， ，利用导数判断单调性，求 的最小值，再令最小值， 从而求得a的取值范围.
12.【解析】【解答】空间中，到点 的距离为1的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面 的角度看，如以下列图所示：

其中： ， 和 区域内的几何体为底面半径为 的半圆柱； ， ， 区域内的几何体为被两平面所截得的局部球体，球心分别为 ； 区域内的几何体是高为2的直三棱柱.
四边形 和 为矩形， ，
，
同理可得： ， ，
，
， ， 区域内的几何体合成一个完整的，半径为 的球，
那么 ， ， 区域内的几何体的体积之和 ；
又 ， 和 区域内的几何体的体积之和 ； 区域内的直三棱柱体积 ，
.
故答案为：D.

【分析】空间中，到点 的距离为1的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面 ， ， 和 区域内的几何体为底面半径为 的半圆柱； ， ， 区域内的几何体为被两平面所截得的局部球体，球心分别为 ； 区域内的几何体是高为2的直三棱柱，根据柱体的体积公式即可得出答案。
二、填空题
13.【解析】【解答】设 为 中点，由重心性质知： ，

，
， ， .
故答案为：-1.

【分析】 由结合三角形重心性质及向量的线性表示及平面向量根本定理即可求解.
14.【解析】【解答】易知抛物线 的焦点为 ，联立 ，解得 ，即点 ，
由 可得 ， ，解得 .
因此，抛物线 的方程为 .
故答案为： .

【分析】 根据抛物线的定义，求出p的值即可求出抛物线方程.
15.【解析】【解答】由题意，10个班级分别去3个革命老区，每个革命老区至少安排3个班级，分成3组有 ,
再把3组分到三个革命老区由 种，
所以共有2100×6=12600种.
故答案为：12600

【分析】 由题意，10个班级分别去3个革命老区，每个革命老区至少安排3个班级，分成3组,再分配到三个革命老区即可求出答案.
16.【解析】【解答】①：以 代 ，得： ，所以曲线关于纵轴对称；
以 代 ，得： ，所以曲线关于横轴对称；
同时以 代 ，以 代 得：
，所以曲线关于原点对称，所以曲线E既是中心对称又是轴对称图形，故本命题是真命题；
②：当 时，
由 ，
解得： ，
因此有 ，
即 ，故本命题是真命题；
③：因为 ，
所以当 时，有 ，
当 时，显然 与 ， 中一点重合，故此时 ，
因此本命题是假命题，
④： 面积为： ，
当 时， 面积的最大值为 ，故本命题是真命题，
故答案为：①②④

【分析】①对曲线方程以 代 ， 以 代 ， 同时以 代 ， 以 代 你进行判断即可；②利用曲线方程求出x的取值范围，结合两点间距离公式进行判断即可；
③ 利用根本不等式进行判断即可；
④利用三角形面积公式，结合题中定义进行判断即可。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 由结合正弦定理进行化简可求   ，进而可求B；
〔2〕由余弦定理先进行化简，然后结合三角形面积公式可求.
18.【解析】【分析】 〔1〕证明 ， ， 结合   ，推出  平面 ， 即可证明 ；
〔2〕 连接  交  于点G，连接 ， 以E为坐标原点，  ，  所在的直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量，平面 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 的大小即可.
19.【解析】【分析】 〔1〕求出A系统需要维修的概率，B系统需要维修的概率，设X为该电子产品需要维修的系统个数，  ， ， 求出概率得到分布列，然后求解期望；
〔2〕求出A系统3个元件至少有2个正常工作的概率，B系统5个元件至少有3个正常工作的概率，令 ，解得  ，然后得到结论.
20.【解析】【分析】 〔1〕求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据 ，求出a的值即可；
〔2〕根据  ， 令 ， 求出  ，累加即可。
21.【解析】【分析】 〔1〕根据椭圆的定义得， 交点B的轨迹是一个以A，Q为焦点的椭圆，求出a,b得到椭圆方程；
〔2〕求出曲线T的方程为  ， 设  
① 当切线  的斜率不存在时， 推出  是一个定值 ； 当切线  的斜率不存在时，  也是一个定值.②当切线PG和PH的斜率都存在时，设切线PG的方程为：  ，
分别代入  和  ，利用韦达定理，结合中点坐标公式推出是一个定值.
22.【解析】【分析】 〔1〕利用条件直接求解直线l的参数方程，由  得，  ，然后求解曲线C的直角坐标方程；
〔2〕将直线l的参数方程   代入  ， 利用参数的几何意义，转化求解直线的斜率，得到直线方程即可.
23.【解析】【分析】〔1〕 当  时 ， 利用分段讨论法求出不等式 的解集；
〔2〕 当  时 ，   可化为  ，由绝对值的定义化为关于a的不等式，从而求得实数a的取值范围.