2021届上海市普陀区高三下学期数学高考调研试卷及答案

 高三下学期数学高考调研试卷

一、填空题

1.集合U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={1，2}，那么∁U(A∪B)=________.   

2. ， ，那么cos(π﹣x)=________.   

3.一个关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵是 ，那么 ________．   

4.复数 为虚数单位〕， 表示 的共轭复数，那么 ________.   

5.直线l的参数方程是 〔 ， 为参数〕，那么直线l的倾斜角的大小为________.   

6.高三某位同学参加物理､化学､政治科目的等级考，这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+概率分别为 ，这三门科目考试成绩互不影响，那么这位考生至少得2个A+的概率为________.   

7.在某次数学测验中，6位学生的成绩如下：78，85，a，82，69，80，他们得平均成绩为80，他们成绩的中位数为________.   

8.下面是某算法的程序框图，那么程序运行后输出的结果为________. 

9.圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥内半径最大的球的外表积为________．   

10.实数m>1，实数x､y满足不等式组 ，假设目标函数z=x+my的最大值等于10，那么m=________.   

n(xn  ， yn)是直线3x+y= (n∈N*)与圆x2+y2=5在第四象限的交点，那么极限 =________.   

12.向量 的夹角为锐角，且满足 ､ ，假设对任意的 ，都有|x+y|≤1成立，那么 的最小值为________.   

二、单项选择题

13.如图，一个空间几何体的主视图､左视图､俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的体积是〔    〕 

A.                                           B.                                           C.                                           D. 1

14.三角形 所在平面内一点P满足 ，那么点P是三角形 的〔    〕           

A. 重心                                     B. 垂心                                     C. 外心                                     D. 内心

15.著名的波那契列{an}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1=a2=1，an+2=an+1+an(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2021是斐波那契数列中的〔    〕           

A. 第2021项                          B. 第2021项                          C. 第2022项                          D. 第2023项

16.x∈R，符号表示不超过x的最大整数，假设函数 (x≠0)有且仅有4个零点，那么实数a的取值范围是〔    〕           

A.                       B.                       C.                       D. 

三、解答题

17.如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA11为A1C1与B1D1的交点. 

〔1〕求点B1到平面D1AC的距离；   

〔2〕在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？假设存在，求出线段BP的长；假设不存在，请说明理由.   

18.设函数 .   

〔1〕求函数f(x)的最大值和最小正周期；   

〔2〕设A，B，C为 的三个内角， ，且C为锐角， ，a=4，求c边的长.   

19.如图，曲线 与直线 相交于 ，作 交 轴于 ，作 交曲线 于 ，……，以此类推. 

〔1〕写出点 和 的坐标；   

〔2〕猜想 的坐标，并用数学归纳法加以证明.   

20.A､B为椭圆 =1(a>b>0)和双曲线 =1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足 ，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k1､k2､k3､k4.   

〔1〕求证：点P､Q､O三点共线；   

〔2〕当a=2，b= 时，假设点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为 ，求△BPQ的面积S；   

〔3〕假设F1､F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1 PF2  ， 求k12+k22+k32+k42的值.   

21.假设函数f(x)对任意的x∈R，均有f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)，那么称函数f(x)具有性质P.   

〔1〕判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由； 

①y=3x；②y=x3；

〔2〕假设函数g(x)= ，试判断g(x)是否具有性质P，并说明理由；   

〔3〕假设函数f(x)具有性质P，且f(0)=f(n)=0(n>2，n∈N*)求证：对任意1≤k≤n﹣1，k∈N*，均有f(k)≤0.   

答案解析局部

一、填空题

1.【解析】【解答】解：∵U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={1，2}，

∴A∪B={﹣1，0，1，2}，∁U(A∪B)={﹣2，3}。

故答案为：{﹣2，3}。

 
【分析】利用条件结合并集和补集的运算法那么，从而求出集合∁U(A∪B)。

2.【解析】【解答】解：因为 ， ，

可得cosx=﹣ =﹣ ，

所以cos(π﹣x)=﹣cosx= 。

故答案为： 。

 
【分析】利用条件结合同角三角函数根本关系式，得出角x的余弦值，再利用诱导公式，从而求出cos(π﹣x)的值。

3.【解析】【解答】由二元线性方程组的增广矩阵是 ，

可得到二元线性方程组的表达式为 ，

解得： ，

所以 。

故答案为：6。

 
【分析】利用一个关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵是 ， 可得到二元线性方程组的表达式为 ，从而解方程组求出x,y的值，进而求出x+y的值。

4.【解析】【解答】 ，

∴ 。

故答案为：1。

 
【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的乘法运算法那么，从而求出的值。

5.【解析】【解答】解：直线l的参数方程是 〔 ， 为参数〕，

转换为标准式为 (t为参数)，

所以直线的倾斜角为110°。

故答案为：110°。

 
【分析】利用直线的参数方程转化为标准式，得出(t为参数)，再结合同角三角函数根本关系式结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而求出直线的倾斜角。

6.【解析】【解答】解：设这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+的事件分别为A，B，C，

那么 ， ， ，

∴这位考生至少得2个A+的概率为：

= 。

故答案为： 。

 
【分析】利用条件结合对立事件求概率公式结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而求出这位考生至少得2个A+的概率。

7.【解析】【解答】解：因为6位学生的成绩如下：78，85，a，82，69，80，他们得平均成绩为80，

所以78+85+a+82+69+80=6×80，解得a=86，

那么将6位学生的成绩从小到大排列为：69，78，80，82，85，86，

所以他们成绩的中位数为 。

故答案为：81。

 
【分析】利用条件结合平均数公式，从而求出a的值，再利用中位数的公式，从而求出6位学生成绩的中位数。

8.【解析】【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，S=﹣1+1=0；

第二次循环n=2，S=0+1+2=3；

第三次循环n=3，S=3﹣1+3=5；

第四次循环n=4，S=5+1+4=10；

第五次循环n=5，S=10﹣1+5=14，

满足条件S>13，跳出循环，输出S的值为14。

故答案为：14。

 
【分析】利用条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构，从而求出程序运行后输出的结果。

9.【解析】【解答】如图，

由题意可知， ，

圆锥内半径最大的球 满足与底面相切于 ，与侧面相切于点B，

那么 ，

所以 ，

设球 的半径为r，那么 ，

所以 ，

解得 ，故 。

故答案为：2π。

 
【分析】由题意结合勾股定理求出的长 ，再利用圆锥内半径最大的球 满足与底面相切于 ，与侧面相切于点B，再结合两三角形相似的判断方法，得出 ，再利用两三角形相似对应边成比例，所以 ，设球 的半径为r，那么 ，再利用对应边成比例，从而求出该圆锥内半径最大的球的半径，再利用球的外表积公式，从而求出该圆锥内半径最大的球的外表积。

10.【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图内的整数点(含边界线上的整数点)，

联立 ，解得A(3，3)，

⇒B( ， )，

化目标函数z=x+my为 ，

由图可知，当直线 过B时，直线在y轴上的截距最大，但B不是整数点，

因为：0≤x≤3， ，

故当y=4，x=2时，z有最大值为2+4m=10，

即m=2。

故答案为：2。

 
【分析】利用条件结合二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再利用最优解求出线性目标函数的最大值，再结合条件线性目标函数z=x+my的最大值等于10，从而求出m的值。

11.【解析】【解答】当 时， ，

直线 与圆 在第四象限的交点无限靠近 ，

而 可看作点 ， 与 连线的斜率，

其值会无限接近圆 在点 处的切线的斜率，

其斜率为 ， 。

故答案为： 。

 
【分析】当 时， ，所以直线 与圆 在第四象限的交点无限靠近 ，再利用两点求斜率公式，得出 可看作点 ， 与 连线的斜率，其值会无限接近圆 在点 处的切线的斜率，从而用两点求斜率公式求出直线OA的斜率，进而求出的值。

12.【解析】【解答】解：因为 ，且 ､ ，

那么|x |2=x = =1≥(x+y)2恒成立，

所以 = 恒成立，

只需 ，

又 ，

当且仅当18x2=2y2时取等号，此时 的最大值为 ，

所以 ，即 的最小值为 。

故答案为： 。

 
【分析】因为 ，且 ， ，从而利用数量积求向量的模的公式结合不等式恒成立问题求解方法，得出|x |2 =1≥(x+y)2恒成立，所以   恒成立，只需 ，再利用均值不等式求最值的方法，得出 的最大值为 ，所以 ，从而求出 的最小值。

二、单项选择题

13.【解析】【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，可由正方体截得为正方体中的三棱锥P﹣ABC，正方体棱长为1，

所以几何体的体积为： 。

故答案为：C.

 
【分析】根据三视图，可知该几何体是三棱锥，可由正方体截得为正方体中的三棱锥P﹣ABC，正方体棱长为1，从而利用三棱锥的体积公式得出该几何体的体积。

14.【解析】【解答】由于三角形 所在平面内一点P满足 ，

那么

即有 ，

即有 ，

那么点P为三角形 的垂心.

故答案为：B.

【分析】先化简得 ，即得点P为三角形 的垂心.

15.【解析】【解答】因为 ，

所以

。

故答案为：C．

 
【分析】利用斐波那契列{an}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1=a2=1，an+2=an+1+an(n∈N*)，从而化简求出 ， 从而推出1+a3+a5+a7+a9+…+a2021是斐波那契数列中的第2022项。

16.【解析】【解答】解：由f(x)= ﹣a=0得 =a，

设g(x)= ，

那么当0<x<1，[x]=0，此时g(x)=0，

当1≤x<2，[x]=1，此时 ，此时 ，

当2≤x<3，[x]=2，此时g(x)= ，此时 ，

当3≤x<4，[x]=3，此时 ，此时 ，

当4≤x<5，[x]=4，此时 ，此时 ，

当5≤x<6，[x]=5，此时 ，此时 ，

当6≤x<7，[x]=6，此时 ，此时 ，

作出函数g(x)的图像，

要使f(x)= ﹣a有且仅有4个零点，

即函数g(x)=a有且仅有4个零点，

那么由图像可知 或 。

故答案为：B.

 
【分析】利用 x∈R，符号表示不超过x的最大整数， 设g(x)= ，再利用分类讨论的方法画出分段函数g(x)的图像，要使f(x)= ﹣a有且仅有4个零点，即函数g(x)=a有且仅有4个零点，由图象求出实数a的取值范围。

三、解答题

17.【解析】【分析】〔1〕由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC与BD的交点O为原点，以射线OA､OB､OO1分别为x､y､z轴，建立空间直角坐标系，再利用条件，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用数量积求出点B1到平面D1AC的距离。
〔2〕 设 ，再利用向量共线的坐标表示结合三角形法那么和向量的坐标运算，得出又因为 ，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出当 时， ，于是，在线段BO1上存在点P，使得AP⊥CD1  ， 此时。

18.【解析】【分析】〔1〕利用两角和的余弦公式结合二倍角的余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出函数的最小正周期，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的最大值。
〔2〕利用函数的解析式结合代入法和条件，从而得出 ，因为角C为锐角，再利用同角三角函数根本关系式，得出 ，再利用三角形面积公式结合条件，从而求出b的值，再利用余弦定理，从而求出c的值。

19.【解析】【分析】利用曲线 与直线 相交于 ，作 交 轴于 ，作 交曲线 于 ，……，以此类推，那么由 求出 ，进而得到直线 的点斜式方程，再转化为直线的一般式方程，即 ，令 ，求出 ，进而求出直线 的斜截式方程为： .由 得，从而求出直线 的点斜式方程为： ，再转化为直线的一般式方程，即 ，令 ，求出 ，进而求出直线 的斜截式方程为： ，由 得 ，即 ，所以求出直线 的点斜式方程为 ，再转化为直线的一般式方程，即 ，令 求出点。

(2) 由〔1〕猜想 的坐标为 ，设 ， ，从而求出直线 的点斜式方程为： ，令 ，解得 ，从而求出 ，因为直线 的斜率为 ，再利用两点求斜率公式，即 ，再利用用数学归纳法证明 的坐标。

20.【解析】【分析】〔1〕 因为A，B为椭圆与双曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，又因为 =λ( )，再利用平行四边形法那么得出 ，即 再利用向量共线证出点P，Q，O三点共线。
〔2〕 设P(x1  ， y1)，Q(x2  ， y2)，再利用两点式转化为斜截式的方法，从而得出直线PQ的方程为 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点P的坐标，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程求出交点Q的坐标，再利用两点距离公式求出|PQ|=3﹣ ，又因为椭圆标准方程确定焦点的位置，从而求出a=2，b= ，再利用椭圆与双曲线相交。联立二者方程求出交点B的坐标，再利用点到直线的距离公式求出点B到直线PQ的距离，再结合三角形面积公式，从而求出三角形 △BPQ的面积。

〔3〕 因为 =λ ，从而结合向量共线的坐标表示，所以 ， 从而结合和⇒ ，因为QF1 PF2  ， 所以|OF1|=λ|OF2|，所以λ2= ，所以 = ，再利用两点求斜率公式，所以(k1+k2)2=4，同理(k3+k4)2=4，再利用两点求斜率公式得出k1k2= ，又因为x12=a2+ •y12  ， 所以k1k2= ，同理k1k4=﹣ ，从而求出k12+k22+k32+k42的值。

21.【解析】【分析】〔1〕利用函数f(x)对任意的x∈R，均有f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)，那么称函数f(x)具有性质P，从而结合函数的解析式和代入法，再通过比较法得出①具有性质P；再利用特殊值判断法得出②不具有性质P。
〔2〕利用函数f(x)对任意的x∈R，均有f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)，那么称函数f(x)具有性质P，再利用分段函数g(x)的解析式结合分类讨论的方法，从而结合代入法得出函数g(x)具有性质P。
〔3〕利用函数f(x)对任意的x∈R，均有f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)，那么称函数f(x)具有性质P，再结合反证法证出对任意1≤k≤n﹣1，k∈N*，均有f(k)≤0 。