2021届八省联考1月数学普通高等学校招生全国统一考试适应性测试试卷及答案

数学普通高等学校招生全国统一考试适应性测试试卷

一、单项选择题

1. ( 2分 )  均为 的子集，且 ，那么 〔    〕           

A.                                          B.                                          C.                                          D. 

2. ( 2分 ) 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，那么恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为〔    〕           

A.                                           B.                                           C.                                           D. 

3. ( 2分 ) 关于 的方程 ，有以下四个命题：甲： 是该方程的根；乙： 是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，那么该命题是〔    〕           

A. 甲                                         B. 乙                                         C. 丙                                         D. 丁

4. ( 2分 ) 椭圆 的焦点为 、 ，上顶点为 ，假设 ，那么 〔    〕           

A. 1                                         B.                                          C.                                          D. 2

5. ( 2分 ) 单位向量 满足 ，假设向量 ，那么 〔    〕           

A.                                       B.                                       C.                                       D. 

6. ( 2分 )的展开式中 的系数是〔    〕           

A. 60                                        B. 80                                        C. 84                                        D. 120

7. ( 2分 ) 抛物线 上三点 ，直线 是圆 的两条切线，那么直线 的方程为〔    〕           

A.                 B.                 C.                 D. 

8. ( 2分 )  且 且 且 ，那么〔    〕           

A.                            B.                            C.                            D. 

二、多项选择题

9. ( 3分 ) 函数 ，那么〔    〕           

A. 在 单调递增                                                             B. 有两个零点
C. 曲线 在点 处切线的斜率为      D. 是偶函数

10. ( 3分 ) 设 为复数， ．以下命题中正确的选项是〔    〕           

A. 假设 ，那么                                    B. 假设 ，那么
C. 假设 ，那么                                  D. 假设 ，那么

11. ( 3分 ) 以下列图是一个正方体的平面展开图，那么在该正方体中〔    〕 

A.                         B.                         C.                         D. 

12. ( 3分 ) 设函数 ，那么〔    〕           

A.                                                   B. 的最大值为
C. 在 单调递增                                 D. 在 单调递减

三、填空题

13. ( 1分 ) 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，那么该圆台的体积为________．   

14. ( 1分 ) 写出一个最小正周期为2的奇函数 ________．   

15. ( 1分 ) 对一个物理量做 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．最后结果的误差 ，为使误差 在 的概率不小于0.9545，至少要测量________次〔假设 ，那么 〕．   

16. ( 2分 ) 假设正方形一条对角线所在直线的斜率为2，那么该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．   

四、解答题

17. ( 10分 ) 各项都为正数的数列 满足 ．   

〔1〕证明：数列 为等比数列；   

〔2〕假设 ，求 的通项公式．   

18. ( 10分 ) 在四边形 中， ， ．   

〔1〕假设 ，求 ；   

〔2〕假设 ，求 ．   

19. ( 10分 ) 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．   

〔1〕求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；   

〔2〕记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为 ，求 的分布列及数学期望．   

20. ( 10分 ) 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差〔多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制〕，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ． 

〔1〕求四棱锥的总曲率；   

〔2〕假设多面体满足：顶点数-棱数+面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数．   

21. ( 10分 ) 双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，动点 在 上．当 时， ．   

〔1〕求 的离心率；   

〔2〕假设 在第一象限，证明： ．   

22. ( 10分 ) 函数 ．   

〔1〕证明：当 时， ；   

〔2〕假设 ，求 ．   

答案解析局部

一、单项选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题