2021届浙江省绍兴市高三下学期数学一模试卷及答案

 高三下学期数学一模试卷

一、单项选择题

1.集合 或 ， ，那么 〔    〕           

A.                               B.                               C.                               D. 

i是虚数单位，假设 ，那么 〔    〕           

A.                          B.                          C.                          D. 

x，y满足约束条件 ，那么 的最大值是〔    〕           

A.                                            B. 3                                           C.                                            D. 4 

4.函数 的图象可能是〔    〕           

A. 
B. 

C. 
D. 

5.某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成，其三视图如下列图，那么该几何体的体积是〔    〕 

A.                                    B.                                    C.                                    D. 

6.设 ，那么“ 〞是“直线 和圆 有公共点〞的〔    〕           

A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件 

           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件 

7.无穷数列 是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n项和为 ，那么〔    〕           

A. 数列 不可能是等差数列
B. 数列 不可能是等差数列 

C. 数列 不可能是等差数列
D. 数列 不可能是等差数列 

8. ，那么a+b的最小值是〔    〕           

A.                                         B. 3                                        C.                                         D. 4 

9.椭圆 和点 ，假设存在过点M的直线交C于P，Q两点，满足 ，那么椭圆C的离心率取值范围是〔    〕           

A.                              B.                              C.                              D. 

a，b  ，  ，假设关于x不等式 的解集为 ，那么〔    〕           

A. 不存在有序数组 ，使得

B. 存在唯一有序数组 ，使得

C. 有且只有两组有序数组 ，使得

D. 存在无穷多组有序数组 ，使得

二、填空题

11.?九章算术?中的“两鼠穿墙题〞是我国数学的古典名题：“今有垣厚假设干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？〞题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚， 为前n天两只老鼠打洞长度之和，那么 ________尺.   

12.如图，在棱长为4的正方体 中，M是棱 上的动点，N是棱 的中点.当平面 与底面 所成的锐二面角最小时， ________. 

13.平面向量 满足： ，那么 的最大值是________.   

14.函数 ，那么 ________；关于x的不等式 的解集是________.   

15.二项展开式 ，那么 ________； ________.(用数字作答)   

16.在锐角 中，内角A，B所对的边分别为a，b  ， 假设 ，那么 ________；边长a的取值范围是________.   

17.袋中装有大小相同的1个白球和2个黑球，现分两步从中摸球：第一步从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(假设摸得白球那么涂成黑球，假设摸得黑球那么不变色)；第二步再从袋中随机摸取2个球，记第二步所摸取的2个球中白球的个数为 ，那么 ________； ________.   

三、解答题

18.已领函数

〔1〕求 的值；   

〔2〕求 在区间 上的最大值和最小值.   

19.如图，在三棱柱 中， . 

〔1〕证明： 平面 ；   

〔2〕设点D为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.   

20.等差数列 的公差不为零， ，且 成等比数列，数列 的前n项和为 ，满足 .   

〔1〕求数列 和 的通项公式；   

〔2〕假设数列 满足： ，求使得 成立的所有n值.   

21.抛物线 和椭圆 如图，经过抛物线 焦点F的直线l分别交抛物线 和椭圆 于A，B，C，D四点，抛物线 在点A，B处的切线交于点P. 

〔1〕求点P的纵坐标；   

〔2〕设M为线段 的中点， 交 于点Q  ，  交 于点T.记 的面积分别为 . 

〔i〕求证：Q为线段 的中点；

〔ii〕假设 ，求直线l的方程.

22.函数 (其中 ，e为自然对数的底数).   

〔1〕求函数 的单调区间；   

〔2〕设函数 的极小值点为m  ， 极大值点为n  ， 证明：当 时， .   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】由题可知：集合 或 ，

所以

故答案为：C

 
【分析】 进行交集的运算即可.

2.【解析】【解答】由题可知：

所以

故答案为：D

 
【分析】 利用复数的乘法运算进行化简求解即可.

3.【解析】【解答】如图

，所以点

当目标函数的一条等值线 过点 时，目标函数会取最大值

所以 的最大值是

故答案为：C

 
【分析】 由约束条件作出可行域，令， 化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案.

4.【解析】【解答】由 ，当且仅当 时，取等号

又 ，所以 ，故

所以只有A符合题意

故答案为：A

 
【分析】根据根本不等式以及排除法可得结果。

5.【解析】【解答】如图

所以四棱锥的体积为：

半个圆柱的体积为：

故该几何体的体积为：

故答案为：B

 
【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.

6.【解析】【解答】圆 ，圆心 ，半径 ，

假设直线 与圆 有公共点，

那么圆心 到直线的距离 ，解得： ，

⫋ ，所以“ 〞是“直线 和圆 有公共点〞的充分不必要条件.

故答案为：A

 
【分析】根据条件先求m的取值范围，再比较集合的包含关系，判断充分必要条件。

7.【解析】【解答】由题可知： ， ，其中

对A， ，所以数列 是公差为 等差数列，A不符合题意

对B， ，当 时， ，

所以数列 可能是等差数列，B不符合题意

对C， ，当 时， ，

所以数列 可能是等差数列，C不符合题意

， 不可能转化为关于 的一次函数形式，

故数列 不可能是等差数列，D符合题意.

故答案为：D

 
【分析】 利用等差数列的通项公式与求和公式，判断各选项即可.

8.【解析】【解答】因为 ，

，

令 ，

那么 ，

因为 ，

所以 ，即 ，

解得 ，

所以 ，

，

，

，

因为 ，

所以 ，

因为 ，

所以 ，

解得 ，

所以 ，那么 ，

所以 ，

所以a+b的最小值是3，

故答案为：B

 
【分析】 由进行三角换元，然后结合辅助角公式进行化简后，结合不等式及正弦函数的性质可求.

9.【解析】【解答】设 是椭圆上的任一点，

，

对称轴为 ，所以 在 上单调递减，

设 ，由题知：只要 即可，

，所以 .

故答案为：C.

 
【分析】 设 是椭圆上的任一点，求出，根据其单调性，将问题转化为 ，其中，得出a，c的关系式，由此即可求解.

10.【解析】【解答】由题意不等式 的解集为 ，

即 的解集是 ，

那么不等式 的解是 或 ，不等式 的解集是 ，

设 ， ， ，

所以 ， ，

和 是方程 的两根，

那么 ， ，

又 ，

所以 是 的一根，

所以存在无数对 ，使得 ．

故答案为：D．

 
【分析】根据x1>0，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论。

二、填空题

11.【解析】【解答】由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,

所以大老鼠前 天打洞长度之和为 ,

同理小老鼠前 天打洞长度之和为 ,

所以

所以

故答案为：

 
【分析】 由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列，小老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，以为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式可求.

12.【解析】【解答】如图

设 ，

设平面 的一个法向量为

令 ， ，那么

平面 的法向量的一个法向量为

设平面 与底面 所成的锐二面角为

所以

当 时， 有最大，那么 有最小，所以

故答案为：

 
【分析】 建立适宜的空间直角坐标系，MA=k求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，利用向量的夹角公式表示出二面角的关系式，由余弦函数的单调性以及二次函数的性质求解即可.

13.【解析】【解答】由 ，又 ，所以可知

又 ，所以

设 的终点为 ， 的终点为 ，其中

由 ①，设 ，

那么 ，

所以 ， ②

将②代入①并化简可得

令设 ，

所以

当 时，

故答案为：

 
【分析】由 ，又 ，所以可知 ， 设 的终点为 ， 的终点为 ，那么 ， 令设 ，  进而求出  的最大值 。

14.【解析】【解答】由题可知： ，所以

① ，②

所以 的解集是〔16，+∞〕

故答案为：6，〔16，+∞〕

 
【分析】 把x=0直接代入函数解析式即可求解 ， 然后结合分段函数的解析式及二次函数及对数函数的性质可求.

15.【解析】【解答】由题可知： ， ， ，

， ，所以

故答案为：1，255.

 
【分析】 由题意令x=0，可得， 再利用组合数的计算公式求得 的值.

16.【解析】【解答】由题可知： ，所以

所以 ，由正弦定理可知 ,那么 ，

由 为锐角三角形，所以 ，即

所以 ，那么

故答案为：4,

 
【分析】 结合二倍角公式和正弦定理，可推出，从而得  的值；由锐角确定角B的取值范围，再根据余弦函数的图象与性质，得解.

17.【解析】【解答】 所有可能结果为1，0

，所以

所以

故答案为： ，

 
【分析】得到 的所有值，并计算相应的概率，然后简单计算即可。

三、解答题

18.【解析】【分析】  〔1〕利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得  ，代入即可得解；
〔2〕由题意可求范围   ，根据正弦函数的图像和性质即可求解.

19.【解析】【分析】〔1〕根据勾股定理逆定理可知  ，然后利用线面垂直的判定定理可知结果；
〔2〕 解法1：通过作辅助线，找到 直线  与平面  所成角 ，然后根据三角函数的知识进行求解即可； 解法2： 利用建系，求得平面 的一个法向量，然后按公式计算即可。

20.【解析】【分析】〔1〕 设等差数列  的公差为  ，由题得  ， 即可求得 ，  当  时，由  得 ，可得 数列  和  的通项公式 ；

〔2〕 由  得 ， 设  ，那么  ， 作差得 ，当  时，不满足题意；  时，满足题意；当  时，  ，解得 ， 可得满足题意的所有n值。

21.【解析】【分析】  

 〔1〕设点   以及直线l的方程，求出过点A,B的切线方程，进而求出点P的坐标，然后联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理即可求解；
〔2〕利用 〔i〕 得到点P,M,Q的坐标，然后根据中点坐标公式即可证明；
 〔ii〕由    得到  然后利用弦长公式求出进而可以求解.

22.【解析】【分析】〔1〕求出 的定义域，对 求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
〔2〕由〔1〕可得  ，设 ， 利用导数求出单调递减，从而可得 ,即可得证.