2020-2021学年福建省莆田市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年福建省莆田市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知等比数列{an}中， a4=4，则lg2a3+lg2a5=( )
A.2B.3C.4D.5

2. 双曲线2x2−y2=8的实轴长是( )
A.22B.2C.42D.4

3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若acsA−bcsB=0，则△ABC一定是( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

4. 数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则an=( )
A.n2−n+1B.n2+1C.(n−1)2+1D.2n

5. 设变量x，y满足约束条件x+y≤3，x−y≥−1，y≥1，则目标函数z=4x+2y的最大值为( )
A.12B.10C.8D.2

6. 给出如下四个命题：
①“x2−5x<0”是“|x−1|<1”的充分而不必要条件；
②命题“若a=−1，则函数fx=ax2+2x−1有一个零点”的逆命题为真命题；
③若p是q的必要条件，则¬p是¬q的充分条件；
④在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB"的必要不充分条件．
其中正确的命题是( )
A.①B.②C.③D.④

7. 当双曲线M：x2m−y2m2+4=1的离心率取得最小值时，M的渐近线方程为( )
A.y=±2xB.y=±22xC.y=±2xD.y=±12x

8. 设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d．已知a3=12，S12>0，a7<0，则下列结论错误的是( )
A.a6>0B.−4C.Sn<0时，n的最小值为13D.S13a13>0

9. 若两个正实数x，y满足2x+1y=1，并且x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.(−∞, −2]∪[4, +∞)B.(−∞, −4]∪[2, +∞)
C.(−2, 4)D.(−4, 2)

10. 椭圆x24+y23=1的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是( )
A.3B.6C.3D.32

11. 同学们有如下解题经验：在某些数列求和中，可把其中一项分裂为两项之差，使某些项可以抵消，从而实现化简求和．如：已知数列an的通项an=1nn+1，则将其通项化为an=1n−1n+1，再求和．斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列an中，a1=1 ，a2=1，an+2=an+1+ann∈N∗，记数列an的前n项和为Sn，则下列结论中正确的是( )
A.S2019=a2020+2B.S2019=a2021+2
C.a2020=S2019+1D.a2021=S2019+1

12. 已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0, b2>0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )
A.52B.4C.92D.9
二、填空题

若命题“∃x∈R，x2−4x−m=0”是真命题，则m的取值范围为________.

△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则csB=________.

椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为________.

将n2个数排成n行n列的一个数阵，如下图：
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m>0）．已知a11=2，a13=a61+1，记这n2个数的和为S．下列结论正确的有________.
①m=3②a67=17×37③aij=(3i−1)×3j−1④S=14n(3n+1)(3n−1)
三、解答题

已知p:x2−8x−20≤0，其解集为A．q:x2−2x+1−m2≤0．其解集为B．
(1)求集合B；

(2)当m>0，若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

若原点O和点F−2,0分别为双曲线x2a2−y2=1a>0的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点．
(1)求双曲线的方程；

(2)求OP→⋅FP→的取值范围．

已知数列an的首项a1=1，an+1=4anan+2n∈N∗.
(1)证明：数列{1an−12}是等比数列；

(2)设bn=1an，求数列bn的前n项和Sn.

在△ABC中，点D是BC的中点，且AB=2.

(1)若AC=4，BC=3，求AD；

(2)若∠ADB=π3，求△ABC面积的最大值．

若各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+1(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若正项等比数列{bn}满足b2=2，2b7+b8=b9，求Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn；

(3)对于(2)中的Tn，若对任意的n∈N∗，不等式λ⋅(−1)n<12n+1(Tn+21)恒成立，求实数λ的取值范围．

已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点F在直线3x−y+32=0上，且a+b=2+2．
(1)求椭圆的方程；

(2)直线l与椭圆交于A，C两点，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△PAC的重心，探求△PAC面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建省莆田市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
对数的运算性质
等比数列的性质
【解析】
由等比数列性质得到a3a5=a42=16，再利用对数的运算求解即可.
【解答】
解：等比数列{an}中， a4=4，
∴ a3a5=a42=16，
∴ lg2a3+lg2a5=lg2(a3a5)=lg216=4.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
化简双曲线方程为标准方程，求出a即可．
【解答】
解：双曲线2x2−y2=8化为标准方程为x24−y28=1，
∴ a2=4，
∴ a=2，
∴ 2a=4，
即双曲线2x2−y2=8的实轴长是4.
故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
三角形的形状判断
正弦定理
二倍角的正弦公式
【解析】
利用正弦定理由a⋅csA＝bcsB可得sinAcsA＝sinBcsB，再利用二倍角的正弦即可判断△ABC的形状．
【解答】
解：在△ABC中，
∵ acsA=bcsB，
∴ 由正弦定理得，sinAcsA=sinBcsB，
即sin2A=sin2B，
∴ 2A=2B或2A=π−2B，
∴ A=B或A+B=π2，
∴ △ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
数列递推式
【解析】
数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，移项可得，an+1−an=2n，进行叠加，从而求出an；
【解答】
解：数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，
∴ an+1−an=2n，
a2−a1=2，
a3−a2=4，
⋯
an+1−an=2n，
进行叠加可得，
an+1−a1=2+4+6+⋯+2n=n(2+2n)2=n(n+1)，
∴ an+1=1+n(n+1)，
∴ an=n(n−1)+1=n2−n+1.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
【解答】
解：如图所示，作出不等式组对应的平面区域（阴影部分）．
由z=4x+2y，
得y=−2x+12z.
由图象可知当直线y=−2x+12z经过点C时，
直线y=−2x+12z的截距最大，
即此时z最大．
由x+y=3，y=1，
解得：x=2，y=1，
即C(2, 1).
将点C(2, 1)代入目标函数z=4x+2y，
得z=4×2+2×1=10．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
四种命题的真假关系
【解析】
利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论．
【解答】
解：①由x2−5x<0，解得0由|x−1|<1，解得0所以，x2−5x<0是|x−1|<1的必要不充分条件，故命题①错误；
②由题意知，函数fx=ax2+2x−1有一个零点，
当a=0时，函数fx=2x−1有一个零点，符合题意；
当a≠0时，令Δ=4+4a=0，解得a=−1，此时函数有一个零点，
所以，函数fx=ax2+2x−1有一个零点的等价条件为a=−1或a=0，
故命题“若a=−1，则函数fx=ax2+2x−1有一个零点”的逆命题为：
“函数fx=ax2+2x−1有一个零点，则a=−1，此命题为假命题，故命题②错误；
③若p是q的必要条件，可得q⇒p，则¬p⇒¬q，
所以¬p是¬q的充分条件，故命题③正确；
④在△ABC，A>B，
则a>b，
由正弦定理可得：sinA>sinB，
反之也成立，
故“A>B”是“sinA>sinB"的充要条件，故命题④错误．
综上，命题③正确．
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
求出离心率，利用基本不等式得到m=2时双曲线的离心率最小，求出双曲线的方程，进而得到渐近线方程.
【解答】
解：由题意得m>0，
e=1+m2+4m=1+m+4m≥
1+2m⋅4m=5，
当且仅当m=4m，即m=2时，等号成立，
∴ 离心率取得最小值时双曲线的方程为x22−y28=1，
∴ 渐近线方程为y=±82x=±2x.
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
数列与不等式的综合
【解析】
将各个选项进行逐一分析求解即可.
【解答】
解：由题意得，等差数列an的前n项和为Sn，S12>0，
∴ S12=12a1+a122=12a6+a72
=6(a6+a7)>0.
又∵ a7<0，
∴ a6>0，故A正确；
∵ a3=a1+2d，
∴ a1=12−2d，
∴ a7=a1+6d=12+4d<0，
∴ d<−3.
∵ a6=a1+5d=12+3d>0，
∴ d>−4.
又a6+a7>0，
∴ 24+7d>0，
∴ d>−247，
∴ −247∵ S13=13(a1+a13)2=13a7<0，
S12=6(a6+a7)>0，
∴ Sn<0时，n的最小值为13，故C正确；
由等差数列性质可知，a13<0，
又S13<0，
∴ S13a13>0，故D正确.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
基本不等式
函数恒成立问题
【解析】
x+2y>m2+2m恒成立，即m2+2m【解答】
解：∵ x>0，y>0，且2x+1y=1，
∴ x+2y=(x+2y)(2x+1y)=2+4yx+xy+2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．
∴ (x+2y)min=8．
∴ x+2y>m2+2m恒成立，即m2+2m<(x+2y)min=8，
解得：−4故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
椭圆的标准方程
【解析】
先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．
【解答】
解：根据题意，作出椭圆的图象，如图所示.
设椭圆的右焦点为E，
由椭圆的定义得，△FAB的周长为
AB+AF+BF=AB+(2a−AE)+
(2a−BE)=4a+AB−AE−BE.
∵ AE+BE≥AB，
∴ AB−AE−BE≤0，当AB过点E时取等号，
∴ AB+AF+BF=4a+AB−AE−BE≤4a，
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大，
则△FAB的高EF=2．
∴ 直线x=m=c=1，
把x=1代入x24+y23=1，
解得y=±32，
∴ AB=3，
∴ S△FAB=12×3×EF=12×3×2=3．
故选C．
11.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
利用累加法进行求和即可.
【解答】
解：∵ an+2=an+1+ann∈N∗，
∴ an+2−an+1=an，
∴ Sn=a1+a2+a3+⋯+an
=a3−a2+a4−a3+a5−a4+a6−a5+⋯an+2−an+1
=an+2−a2
=an+2−1，
∴ S2019=a2021−1，即a2021=S2019+1.
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．
【解答】
解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|−|PF2|=2a2，①
由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1.②
又∵ PF1⊥PF2，
∴ |PF1|2+|PF2|2=4c2，③
①​2+②​2，得|PF1|2+|PF2|2=2a12+2a22，④
将④代入③，得a12+a22=2c2，
∴ 4e12+e22=4c2a12+c2a22=52+2a22a12+a122a22
≥52+22a22a12⋅a122a22=52+2=92．
当且仅当2a22a12=a122a22时，等号成立.
故选C．
二、填空题
【答案】
[−4,+∞)
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 命题“∃x∈R，x2−4x−m=0”是真命题，
∴ Δ=(−4)2−4(−m)≥0，
解得：m≥−4.
故答案为：[−4,+∞).
【答案】
34
【考点】
余弦定理
等比中项
【解析】
由a，b，c，且a，b，c成等比数列且c＝2a可得，b=2a，c＝2a，结合余弦定理COSB=a2+c2−b22ac可求
【解答】
解：∵ a，b，c成等比数列且c=2a，
∴ b2=ac=2a2，
∴ csB=a2+c2−b22ac=3a24a2=34.
故答案为：34.
【答案】
12
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】
由题意并结合图形，得出相应线段，再把三角形的面积用式子表示出来，得出a,b,c的关系式，求解即可.
【解答】
解：如图，由椭圆的性质可知，
|AB|=2c，|AC|=|BC|=a，|OC|=b，
∴ S△ABC=12|AB|⋅|OC|=12⋅2c⋅b=bc，
S△ABC=12a+a+2c×b3=ba+c3,
∴ ba+c3=bc，
整理得，a=2c，
故椭圆离心率为e=ca=12.
故答案为：12.
【答案】
①③④
【考点】
归纳推理
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
数列的求和
【解析】
根据等差数列和等比数列的通项公式可求出a的值，再结合题目条件可以算出ail，再利用分组求和法求出S．
【解答】
解：∵ a11=2，a13=a61+1，
∴ 2m2=2+5m+1，
解得m=3或m=−12（舍去），
∴ aij=ai1⋅3j−1=[2+(i−1)m]×3j−1=(3i−1)×3j−1，
∴ a67=17×36，
∴ S=(a11+a12+a13+⋯+a1n)+(a21+a22+a23+
⋯+a2n)+⋯+(an1+a​n2+an3+⋯+ann)
=a11(1−3n)1−3+a21(1−3n)1−3+⋯+an1(1−3)n1−3
=12(3n−1)⋅(2+3n−1)n2
=14n(3n+1)(3n−1).
故答案为：①③④.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 方程x2−2x+1−m2=0的两根为1−m，1+m，
∴ 当m>0时，解集为1−m,1+m；
当m=0时，解集为1；
当m<0时，解集为1+m,1−m.
(2)∵ p:x2−8x−20≤0，
解得−2≤x≤10，
∴ A=−2,10.
∵ q:x2−2x+1−m2≤0且m>0，
解得1−m≤x≤1+m，
∴ B=1−m,1+m .
∵ “非p”是“非q”的充分不必要条件，
∴ q是p的充分不必要条件，
∴ B⊂A.
∵ m>0，
∴ 1−m≥−2且1+m≤10，
解得：0∴ 实数m的取值范围为0【考点】
一元二次不等式的解法
集合的含义与表示
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】


【解答】
解：(1)∵ 方程x2−2x+1−m2=0的两根为1−m，1+m，
∴ 当m>0时，解集为1−m,1+m；
当m=0时，解集为1；
当m<0时，解集为1+m,1−m.
(2)∵ p:x2−8x−20≤0，
解得−2≤x≤10，
∴ A=−2,10.
∵ q:x2−2x+1−m2≤0且m>0，
解得1−m≤x≤1+m，
∴ B=1−m,1+m .
∵ “非p”是“非q”的充分不必要条件，
∴ q是p的充分不必要条件，
∴ B⊂A.
∵ m>0，
∴ 1−m≥−2且1+m≤10，
解得：0∴ 实数m的取值范围为0【答案】
解：(1)∵ 点F−2,0为双曲线x2a2−y2=1a>0的左焦点，
∴ c=2.
又∵ c2=a2+b2，
∴ a2+1=4，
∴ a2=3，
∴ 双曲线的方程为x23−y2=1.
(2)设双曲线右支上点P的坐标为x,y且x≥3 ，
则OP→⋅FP→=x,y⋅x+2,y
=x2+2x+y2=4x23+2x−1.
令g(x)=4x23+2x−1=43(x+34)2−74(x≥3)，
则gx在[3,+∞)上为增函数，
∴ gxmin=g3=3+23，
∴ OP→⋅FP→的取值范围为[3+23,+∞).
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的定义
二次函数的性质
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 点F−2,0为双曲线x2a2−y2=1a>0的左焦点，
∴ c=2.
又∵ c2=a2+b2，
∴ a2+1=4，
∴ a2=3，
∴ 双曲线的方程为x23−y2=1.
(2)设双曲线右支上点P的坐标为x,y且x≥3 ，
则OP→⋅FP→=x,y⋅x+2,y
=x2+2x+y2=4x23+2x−1.
令g(x)=4x23+2x−1=43(x+34)2−74(x≥3)，
则gx在[3,+∞)上为增函数，
∴ gxmin=g3=3+23，
∴ OP→⋅FP→的取值范围为[3+23,+∞).
【答案】
(1)证明：∵ an+1=4anan+2，
∴ 1an+1=an+24an=14+12an，
∴ 1an+1−12=121an−12.
又a1=1，
∴ 1a1−12=12，
∴ 数列1an−12是以12为首项，以12为公比的等比数列.
(2)解：由(1)知1an−12=12⋅12n−1=12n，
∴ 1an=12n+12，
∴ bn=1an=12n+12，
∴ Sn=12+12+122+12+
123+12+⋯+12n+12
=12+122+⋯+12n+n2
=12(1−12n)1−12+n2
=1−12n+n2.
【考点】
等比关系的确定
数列的求和
【解析】


【解答】
(1)证明：∵ an+1=4anan+2，
∴ 1an+1=an+24an=14+12an，
∴ 1an+1−12=121an−12.
又a1=1，
∴ 1a1−12=12，
∴ 数列1an−12是以12为首项，以12为公比的等比数列.
(2)解：由(1)知1an−12=12⋅12n−1=12n，
∴ 1an=12n+12，
∴ bn=1an=12n+12，
∴ Sn=12+12+122+12+
123+12+⋯+12n+12
=12+122+⋯+12n+n2
=12(1−12n)1−12+n2
=1−12n+n2.
【答案】
解：(1)在△ABC中，由余弦定理得，
csB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC
=4+9−1612=−14.
在△ABD中，由余弦定理得，
AD2=AB2+BD2−2⋅AB⋅BD⋅csB
=4+94−2×2×32×−14=314，
∴ AD=312.
(2)设BD=DC=m，AD=n，
在△ABD中，由余弦定理得，
AB2=BD2+AD2−2BD⋅AD⋅cs∠ADB，
则4=m2+n2−mn≥2mn−mn=mn.
当且仅当m=n=2时，等号成立，
∴ S△ABC=2S△ABD=mnsin∠ADB
=32mn≤23，
∴ 当△ABD为正三角形时，△ABC的面积取得最大值，最大值为23.
【考点】
余弦定理
正弦定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)在△ABC中，由余弦定理得，
csB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC
=4+9−1612=−14.
在△ABD中，由余弦定理得，
AD2=AB2+BD2−2⋅AB⋅BD⋅csB
=4+94−2×2×32×−14=314，
∴ AD=312.
(2)设BD=DC=m，AD=n，
在△ABD中，由余弦定理得，
AB2=BD2+AD2−2BD⋅AD⋅cs∠ADB，
则4=m2+n2−mn≥2mn−mn=mn.
当且仅当m=n=2时，等号成立，
∴ S△ABC=2S△ABD=mnsin∠ADB
=32mn≤23，
∴ 当△ABD为正三角形时，△ABC的面积取得最大值，最大值为23.
【答案】
解：(1)因为2Sn=an+1(n∈N∗)，
所以4Sn=(an+1)2且an>0.
由4S1=4a1=(a1+1)2，
得a1=1.
又4Sn+1=(an+1+1)2，
所以4an+1=4sn+1−4sn=(an+1+1)2−(an+1)2，
所以(an+1+an)(an+1−an)−2(an+1+an)=0.
因为an>0，
所以an+1+an≠0，
所以an+1−an=2，
所以{an}是公差为2的等差数列.
又a1=1，
所以an=2n−1．
(2)设数列{bn}的公比为q.
因为2b7+b8=b9，
所以2+q=q2，
解得：q=−1（舍）或q=2，
所以b1=1，
所以bn=2n−1，
所以Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn
=1×1+3×2+5×22+⋯+(2n−1)⋅2n−1，
所以2Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n−1)⋅2n，
所以−Tn=1+2(2+22+⋯+2n−1)−(2n−1)⋅2n，
所以Tn=(2n−1)⋅2n−1−2(2+22+⋯+2n−1)
=(2n−1)⋅2n−1−2(2n−2)
=(2n−3)⋅2n+3．
(3)不等式λ⋅(−1)n<12n+1(Tn+21)可化为(−1)n⋅λ<(n−32)+62n−1，
当n为偶数时，λ<(n−32)+62n−1.
记g(n)=(n−32)+62n−1，
所以λg(n+2)−g(n)=2+62n+1−62n−1=2−92n，
当n=2时，g(n+2)当n≥4时，g(n)单调递增，g(n)min=g(4)=134，即λ<134；
当n为奇数时，λ>(32−n)−62n−1.
记ℎ(n)=32−(n+62n−1)，
所以λ>ℎ(n)max，
ℎ(n+2)−ℎ(n)=−2−62n+1+62n−1=−2+92n，
当n=1时，ℎ(n+2)>ℎ(n)，即ℎ(3)>ℎ(1)，
当n≥3时，ℎ(n)单调递减，ℎ(n)max=ℎ(3)=−3，
所以λ>−3．
综上所述，实数λ的取值范围为(−3, 134)．
【考点】
数列递推式
数列的求和
数列与不等式的综合
函数恒成立问题
【解析】
（1）先把已知递推关系式两边平方化简，再结合公式an＝sn−sn−1得出数列相邻项间的关系，利用等差数列定义求通项；（2）由已知求出数列{bn}通项，再用错位相减法求和；（3）将所求Tn代入不等式，用关于n的式子表示实数λ的范围，根据恒成立，对n进行讨论分别求出λ的取值范围，对关于n的式子可以构造函数求解，最后汇总得出结果．
【解答】
解：(1)因为2Sn=an+1(n∈N∗)，
所以4Sn=(an+1)2且an>0.
由4S1=4a1=(a1+1)2，
得a1=1.
又4Sn+1=(an+1+1)2，
所以4an+1=4sn+1−4sn=(an+1+1)2−(an+1)2，
所以(an+1+an)(an+1−an)−2(an+1+an)=0.
因为an>0，
所以an+1+an≠0，
所以an+1−an=2，
所以{an}是公差为2的等差数列.
又a1=1，
所以an=2n−1．
(2)设数列{bn}的公比为q.
因为2b7+b8=b9，
所以2+q=q2，
解得：q=−1（舍）或q=2，
所以b1=1，
所以bn=2n−1，
所以Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn
=1×1+3×2+5×22+⋯+(2n−1)⋅2n−1，
所以2Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n−1)⋅2n，
所以−Tn=1+2(2+22+⋯+2n−1)−(2n−1)⋅2n，
所以Tn=(2n−1)⋅2n−1−2(2+22+⋯+2n−1)
=(2n−1)⋅2n−1−2(2n−2)
=(2n−3)⋅2n+3．
(3)不等式λ⋅(−1)n<12n+1(Tn+21)可化为(−1)n⋅λ<(n−32)+62n−1，
当n为偶数时，λ<(n−32)+62n−1.
记g(n)=(n−32)+62n−1，
所以λg(n+2)−g(n)=2+62n+1−62n−1=2−92n，
当n=2时，g(n+2)当n≥4时，g(n)单调递增，g(n)min=g(4)=134，即λ<134；
当n为奇数时，λ>(32−n)−62n−1.
记ℎ(n)=32−(n+62n−1)，
所以λ>ℎ(n)max，
ℎ(n+2)−ℎ(n)=−2−62n+1+62n−1=−2+92n，
当n=1时，ℎ(n+2)>ℎ(n)，即ℎ(3)>ℎ(1)，
当n≥3时，ℎ(n)单调递减，ℎ(n)max=ℎ(3)=−3，
所以λ>−3．
综上所述，实数λ的取值范围为(−3, 134)．
【答案】
解：(1)∵ 直线3x−y+32=0与x轴的交点为−2,0，
∴ c=2，
联立a2−b2=2，a+b=2+2，
∴ 解得a=2，b=2，
∴ 椭圆的方程为x24+y22=1．
(2)若直线l的斜率不存在，
则S=12⋅6⋅3=362.
若直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+m，
联立直线l的方程和椭圆方程，
可得(1+2k)x2+4kmx+2m2−4=0.
设Ax1,y1，Cx2,y2，
则x1+x2=−4km1+2k2，x1⋅x2=2m2−21+2k2 ，
y1+y2=kx1+x2+2m=2m1+2k2.
由题意得，点O为△PAC的重心，
设Px0,y0，
则x1+x2+x03=0，y1+y2+y03=0，
∴ x0=−(x1+x2)=4km1+2k2，y0=−(y1+y2)=−2m1+2k2，
代入椭圆x24+y22=1，
得4k2m21+2k22+2m21+2k22=1，
整理得m2=1+2k22.
设坐标原点O到直线l的距离为d，
则△PAC的面积S=12|AC|⋅3d
=121+k2x1−x2⋅3m1+k2
=32x1−x2⋅m
=32−4km1+2k22−4⋅2m2−21+2k2⋅m
=322221+2k2−m21+2k2⋅m
=32⋅21+2k2−1+2k221+2k2⋅1+2k22=362.
综上所述，△PAC面积S为定值362．
【考点】
椭圆的标准方程
两点间的距离公式
根与系数的关系
椭圆中的平面几何问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 直线3x−y+32=0与x轴的交点为−2,0，
∴ c=2，
联立a2−b2=2，a+b=2+2，
∴ 解得a=2，b=2，
∴ 椭圆的方程为x24+y22=1．
(2)若直线l的斜率不存在，
则S=12⋅6⋅3=362.
若直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+m，
联立直线l的方程和椭圆方程，
可得(1+2k)x2+4kmx+2m2−4=0.
设Ax1,y1，Cx2,y2，
则x1+x2=−4km1+2k2，x1⋅x2=2m2−21+2k2 ，
y1+y2=kx1+x2+2m=2m1+2k2.
由题意得，点O为△PAC的重心，
设Px0,y0，
则x1+x2+x03=0，y1+y2+y03=0，
∴ x0=−(x1+x2)=4km1+2k2，y0=−(y1+y2)=−2m1+2k2，
代入椭圆x24+y22=1，
得4k2m21+2k22+2m21+2k22=1，
整理得m2=1+2k22.
设坐标原点O到直线l的距离为d，
则△PAC的面积S=12|AC|⋅3d
=121+k2x1−x2⋅3m1+k2
=32x1−x2⋅m
=32−4km1+2k22−4⋅2m2−21+2k2⋅m
=322221+2k2−m21+2k2⋅m
=32⋅21+2k2−1+2k221+2k2⋅1+2k22=362.
综上所述，△PAC面积S为定值362．