2020-2021学年河南省濮阳市高二（上）11月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省濮阳市高二（上）11月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知椭圆x216+y236=1上一点P到椭圆一个焦点的距离是3，则点P到另一个焦点的距离为( )
A.3B.5C.7D.9

2. mn<0是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3. 已知椭圆x241+y225=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )
A.10B.20C.241D.441

4. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为2，则点(4, 0)到C的渐近线的距离为（ ）
A.2B.2C.322D.22

5. 若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为( )
A.22B.1C.2D.2

6. 过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60∘，则椭圆的离心率为( )
A.22B.33C.12D.13

7. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0，斜率为2的直线与双曲线C相交于点A，B，且弦AB中点坐标为1,1，则双曲线C的离心率为( )
A.2B.3C.2D.3

8. 已知椭圆： x24+y23=1，直线l：y=x+57，椭圆上任意一点P，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A.37B.27C.314D.214

9. 已知双曲线x2m−y2n=1m>0,n>0和椭圆x25+y22=1有相同的焦点，则4m+1n的最小值为( )
A.2B.3C.4D.5

10. 已知F是椭圆C:x23+y22=1的右焦点，P为椭圆C上一点， A(1,22)，则 |PA|+|PF|的最大值为( )
A.4+2B.42C.4+3D.43

11. 设F1，F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|=6|OP|，则C的离心率为( )
A.5B.3C.2D.2

12. 已知F1(−c, 0)，F2(c, 0)为椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，P（不在x轴上）为椭圆上一点，且满足PF→1⋅PF2→=c2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.[33, 22)B.[13, 12]C.[33, 1)D.(0, 22]
二、填空题

已知方程x25−m+y2m+3=1表示椭圆，则m的取值范围为________.

若直线y=x+m与双曲线x24−y2=1有两个公共点，则实数m的取值范围是________.

与圆C1:x+32+y2=9外切且与圆C2:x−32+y2=1内切的动圆圆心轨迹方程为________.

已知椭圆C:x22+y2=1，点P是椭圆C上的一个动点，满足OP→⋅PF2→≥−1（O为坐标原点，F2为椭圆的右焦点），则点P的横坐标的取值范围是________.
三、解答题

求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，a=2，离心率为32；

(2)焦点的坐标为(5, 0)，(−5, 0)，渐近线方程为y=±43x.

已知离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(1, 0)作斜率为2的直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB|的长．

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为5，虚轴长为4．
(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点(0, 1)，倾斜角为45∘的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，点(2, 2)在C上．
(1)求C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

已知点A(0, −2)，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．
(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(5, 0)，离心率为53．
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若动点P(x0, y0)为椭圆外一点，且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省濮阳市高二（上）11月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设所求距离为d，由题得：a=6．
根据椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：
2a=3+d⇒d=2a−3=9．
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
双曲线的标准方程
【解析】
根据充分必要条件的定义进行判断：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p是q的充分必要条件．
【解答】
解：①mn<0⇔m>0，n<0或m<0，n>0．
若m>0，n<0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线；
若m<0，n>0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，
所以由mn<0不能推出方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，即充分性不成立；
②若方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则m<0，n>0，所以mn<0，即必要性成立．
综上，mn<0是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的必要不充分条件．
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】
根据：∵ 椭圆x241+y225=1，得出a=41，运用定义整体求解△ABF2的周长为4a，即可求解．
【解答】
解：∵ 椭圆x241+y225=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，
∴ a=41，
∴ △ABF2的周长=|AB|+|BF2|+|AF2|
=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=441．
故选D.
4.
【答案】
D
【考点】
双曲线的渐近线
点到直线的距离公式
【解析】
本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．
【解答】
解：通解 由离心率e=ca=2，得c=2a，
又b2=c2−a2，得b=a，
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x．
由点到直线的距离公式，
得点(4,0)到C的渐近线的距离为41+1=22．
故选D．
优解 离心率e=2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y=±x，
由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为41+1=22．
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得a＝b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的两条渐近线方程为y=±bax，
由两条渐近线互相垂直，可得−ba⋅ba=−1，
可得a=b，即有c=a2+b2=2a，
可得离心率e=ca=2．
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
【解析】
把x=−c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60∘推断出2cb2a=3整理得3e2+2e−3=0，进而求得椭圆的离心率e．
【解答】
解：由题意知点P的坐标为(−c, b2a)或(−c, −b2a)，
∵ ∠F1PF2=60∘，
∴ 2cb2a=3，
即2ac=3b2=3(a2−c2),
∴ 3e2+2e−3=0，
∴ e=33或e=−3（舍去）．
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
直线与双曲线的位置关系
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
双曲线的离心率
【解析】
设Ax1,y1，Bx2,y2，根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．
【解答】
解：设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x12a2−y12b2=1,x22a2−y22b2=1,
两式相减：
x1+x2x1−x2a2=y1−y2y1+y2b2，
即k=y1−y2x1−x2=b2a2⋅x1+x2y1+y2，
∵ 弦AB中点坐标为1,1，
∴x1+x2=2，y1+y2=2，
又∵ 直线的斜率为2，
∴k=b2a2⋅22=2，
∴b2a2=2，
∴b2=2a2=c2−a2，
即c2=3a2，
∴e=ca=3．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
点到直线的距离公式
【解析】
利用参数法设参数点，利用点到直线的距离公式，构造距离，利用三角函数求最值.
【解答】
解：设点P的坐标为为2csθ,3sinθ，
∴ P到直线l的距离
d=|3sinθ−2csθ−57|2=|7sinθ+φ−57|2，
其中tanφ=−233，
当sinθ+φ=−1时，d取得最大值，此时dmax=314.
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
基本不等式在最值问题中的应用
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 双曲线x2m−y2n=1m>0,n>0和椭圆x25+y22=1有相同的焦点，
∴ m+n=5−2=3，
∴ 4m+1n=13m+n4m+1n
=135+4nm+mn≥135+24nm⋅mn=3，
当且仅当4nm=mn，即m=2n=2时，等号成立，
∴ 4m+1n的最小值为3.
故选B .
10.
【答案】
D
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，设椭圆的左焦点为F′，
∵ 椭圆的方程为x23+y22=1，其中a=3，P为椭圆C上的一点，
则|PF′|+|PF|=2a=23，
则c=3−2=1，则F(1,0)，F′(−1,0)，
则|PF|=2a−|PF′|=23−|PF′|，
则|PA|+|PF|=|PA|+23−|PF′|=23+|PA|−|PF′|，
分析可得：|PA|−|PF′|≤|AF′|=23，
当P，A，F′三点共线且P在远离A点的一侧时，等号成立，
则|PA|+|PF|的最大值为43.
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
点到直线的距离公式
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2−2|PF2|⋅|F1F2|cs∠PF2O，代值化简整理可得3a=c，问题得以解决．
【解答】
解：双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=bax，
∴ 点F2到渐近线的距离d=bca2+b2=b，即|PF2|=b，
∴ |OP|=|OF2|2−|PF2|2=c2−b2=a，cs∠PF2O=bc.
∵ |PF1|=6|OP|，
∴ |PF1|=6a.
在三角形F1PF2中，
由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2−2|PF2|⋅|F1F2|cs∠PF2O，
∴ 6a2=b2+4c2−2×b×2c×bc
=4c2−3b2=4c2−3(c2−a2)，
即3a2=c2，
∴ 3a=c，
∴ e=ca=3.
故选B．
12.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
椭圆的离心率
【解析】
设P(x0, y0)，(−a【解答】
解：设P(x0, y0)(−a则x02a2+y02b2=1，
∴ y02=b2(1−x02a2).①
∵ c2=PF1→⋅PF2→=(−c−x0)(c−x0)+(−y0)2，②
将①代入②，得2c2=x02+b2(1−x02a2).
∵ b2=a2−c2，
∴ 3c2=a2+c2a2x02，
∴ 3e2−1e2=x02a2∈[0, 1)，
∴ 13≤e2<12，
∴ 33≤e<22．
故选A．
二、填空题
【答案】
(−3, 1)∪(1, 5)
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
利用椭圆的简单性质求解．
【解答】
解：∵ 方程x25−m+y2m+3=1是椭圆，
∴ 5−m>0,m+3>0,5−m≠m+3, 解得−3∴ m的取值范围是：(−3, 1)∪(1, 5)．
故答案为：(−3, 1)∪(1, 5)．
【答案】
m>3或m<−3
【考点】
直线与双曲线结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：联立 x24−y2=1,y=x+m,
消去y，得3x2+8mx+4m2+4=0，
依题意有Δ=8m2−4×3×4m2+4>0，
即m2>3，
解得m>3或m<−3.
故答案为： m>3或m<−3.
【答案】
x24−y25=1(x≥2)
【考点】
轨迹方程
双曲线的定义
双曲线的标准方程
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
找出两圆圆心坐标与半径，设设动圆圆心M(x, y)，半径为r，根据动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，即可确定出M轨迹方程．
【解答】
解：由圆C1：(x+3)2+y2=9，得圆心C1(−3, 0)，半径r1=3，
由圆C2：(x−3)2+y2=1，得圆心C2(3, 0)，r2=1.
设动圆圆心M(x, y)，半径为r.
根据题意得：|MC1|=r+3,|MC2|=r−1,
整理得：|MC1|−|MC2|=4，
则动圆圆心M在以C1(−3, 0)，C2(3, 0)为焦点的双曲线的右支上，
a=2，b=5，c=3，其轨迹方程为x24−y25=1(x≥2)．
故答案为：x24−y25=1(x≥2).
【答案】
0,2
【考点】
平面向量数量积的运算
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为椭圆C:x22+y2=1，F2为椭圆的右焦点，
所以F21,0.
设点Px,y，
所以OP→=x,y，PF2→=1−x,−y.
由OP→⋅PF2→≥−1，得x−x2−y2≥−1，
又因Px,y在椭圆C:x22+y2=1上，
所以y2=1−x22，
所以x−x2−1+x22≥−1，解得0≤x≤2.
因为Px,y在椭圆C:x22+y2=1上，
所以−2≤x≤2，
所以点P的横坐标的取值范围是0,2．
故答案为：0,2.
三、解答题
【答案】
解：(1)焦点在x轴上，a=2，离心率为32，
可得e=ca=32，即有c=3，b=9−4=5，
则双曲线的方程为x24−y25=1.
(2)可设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，
由题意可得c=5=a2+b2.
由渐近线方程y＝±bax，可得ba=43，
解得a=3，b=4，
则双曲线方程为x29−y216=1．
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
（1）由离心率公式可得c，进而得到b，即可得到所求双曲线方程；
（2）设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a, b>0)，运用渐近线方程和焦点坐标，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．
【解答】
解：(1)焦点在x轴上，a=2，离心率为32，
可得e=ca=32，即有c=3，b=9−4=5，
则双曲线的方程为x24−y25=1.
(2)可设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，
由题意可得c=5=a2+b2.
由渐近线方程y＝±bax，可得ba=43，
解得a=3，b=4，
则双曲线方程为x29−y216=1．
【答案】
解：(1)由题意可得e=ca=22，2a2+1b2=1，a2=b2+c2，
解得a2=4，c2=b2=2，
故椭圆C的方程为x24+y22=1.
(2)∵ 过点(1, 0)作斜率为2的直线l，
∴ 直线l:y=2x−2，
联立x24+y22=1，y=2x−2，
整理，得9x2−16x+4=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则x1+x2=169，x1x2=49，
∴ |AB|=1+22⋅(x1+x2)2−4x1x2
=5⋅16292−169
=4935.
【考点】
椭圆的标准方程
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意可得e=ca=22，2a2+1b2=1，a2=b2+c2，
解得a2=4，c2=b2=2，
故椭圆C的方程为x24+y22=1.
(2)∵ 过点(1, 0)作斜率为2的直线l，
∴ 直线l:y=2x−2，
联立x24+y22=1，y=2x−2，
整理，得9x2−16x+4=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则x1+x2=169，x1x2=49，
∴ |AB|=1+22⋅(x1+x2)2−4x1x2
=5⋅16292−169
=4935.
【答案】
解：(1)依题意可得ca=5,2b=4,c2=a2+b2,
解得a=1，b=2，c=5，
∴ 双曲线的标准方程为x2−y24=1．
(2)直线l的方程为y=x+1，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由y=x+1，4x2−y2=4，可得3x2−2x−5=0，
由韦达定理可得 x1+x2=23，x1x2=−53，
即 |AB|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=249+203=823.
原点到直线l的距离为d=22，
即S△OAB=12⋅|AB|⋅d=12×823×22=43，
∴ △AOB的面积为43．
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
双曲线的应用
点到直线的距离公式
【解析】
（1）运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=1，b=2，进而得到双曲线的方程；
（2）直线l的方程为y=x+1，代入双曲线的方程，设A(x1, y1)、B(x2, y2)，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．
【解答】
解：(1)依题意可得ca=5,2b=4,c2=a2+b2,
解得a=1，b=2，c=5，
∴ 双曲线的标准方程为x2−y24=1．
(2)直线l的方程为y=x+1，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由y=x+1，4x2−y2=4，可得3x2−2x−5=0，
由韦达定理可得 x1+x2=23，x1x2=−53，
即 |AB|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=249+203=823.
原点到直线l的距离为d=22，
即S△OAB=12⋅|AB|⋅d=12×823×22=43，
∴ △AOB的面积为43．
【答案】
解：(1)由椭圆C:x2a2+y2b2=1，(a>b>0)的离心率22，
点(2, 2)在C上，
可得a2−b2a=22，4a2+2b2=1，
解得a2=8，b2=4，
所以C的方程为：x28+y24=1．
(2)设直线l:y=kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(xM, yM)，
把直线y=kx+b代入x28+y24=1可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2−8=0，
故xM=x1+x22=−2kb2k2+1，yM=kxM+b=b2k2+1，
于是在OM的斜率为：KOM=yMxM=−12k，即KOM⋅k=−12．
∴ 直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．
（2）设直线l:y=kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(xM, yM)，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【解答】
解：(1)由椭圆C:x2a2+y2b2=1，(a>b>0)的离心率22，
点(2, 2)在C上，
可得a2−b2a=22，4a2+2b2=1，
解得a2=8，b2=4，
所以C的方程为：x28+y24=1．
(2)设直线l:y=kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(xM, yM)，
把直线y=kx+b代入x28+y24=1可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2−8=0，
故xM=x1+x22=−2kb2k2+1，yM=kxM+b=b2k2+1，
于是在OM的斜率为：KOM=yMxM=−12k，即KOM⋅k=−12．
∴ 直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【答案】
解：(1)设F(c, 0)，
∵ 直线AF的斜率为233，
∴ 2c=233，
解得c=3．
又ca=32，b2=a2−c2，
解得a=2，b=1．
∴ 椭圆E的方程为x24+y2=1.
(2)设P(x1, y1)，Q(x2, y2)．
由题意可设直线l的方程为：y=kx−2．
联立y=kx−2,x2+4y2=4,
化为(1+4k2)x2−16kx+12=0，
当Δ=(−16k)2−4×12(1+4k2)=16(4k2−3)>0时，即k2>34时，
x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2．
∴ |PQ|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
=(1+k2)[(16k1+4k2)2−481+4k2]
=41+k24k2−34k2+1，
点O到直线l的距离d=21+k2．
∴ S△OPQ=12d⋅|PQ|=44k2−34k2+1，
设4k2−3=t>0，
则4k2=t2+3，
∴ S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤424=1，
当且仅当t=2，即4k2−3=2，
解得k=±72时取等号．
满足Δ>0，
∴ △OPQ的面积最大时直线l的方程为：y=±72x−2．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
（1）设F(c, 0)，利用直线的斜率公式可得2c=233，可得c．又ca=32，b2=a2−c2，即可解得a，b；
（2）设P(x1, y1)，Q(x2, y2)．由题意可设直线l的方程为：y=kx−2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：(1)设F(c, 0)，
∵ 直线AF的斜率为233，
∴ 2c=233，
解得c=3．
又ca=32，b2=a2−c2，
解得a=2，b=1．
∴ 椭圆E的方程为x24+y2=1.
(2)设P(x1, y1)，Q(x2, y2)．
由题意可设直线l的方程为：y=kx−2．
联立y=kx−2,x2+4y2=4,
化为(1+4k2)x2−16kx+12=0，
当Δ=(−16k)2−4×12(1+4k2)=16(4k2−3)>0时，即k2>34时，
x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2．
∴ |PQ|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
=(1+k2)[(16k1+4k2)2−481+4k2]
=41+k24k2−34k2+1，
点O到直线l的距离d=21+k2．
∴ S△OPQ=12d⋅|PQ|=44k2−34k2+1，
设4k2−3=t>0，
则4k2=t2+3，
∴ S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤424=1，
当且仅当t=2，即4k2−3=2，
解得k=±72时取等号．
满足Δ>0，
∴ △OPQ的面积最大时直线l的方程为：y=±72x−2．
【答案】
解：(1)依题意知a2−b2=5，ca=5a=53，
解得a=3，b=2，
∴ 椭圆C的标准方程为x29+y24=1．
(2)①当两条切线中有一条斜率不存在时，
切点分别位于椭圆长轴与短轴的端点处，
此时P点的坐标为(±3, ±2)，符合题意；
②当两条切线斜率均存在时，
设过点P(x0, y0)的切线为y=k(x−x0)+y0，
则x29+y24=x29+[k(x−x0)+y0]24=1，
4x2+9[k2(x−x0)2+y02+2ky0(x−x0)]=36，
4x2+9[k2x2+k2x02−2k2x0x+y02+2ky0x−2ky0x0]=36，
整理得(9k2+4)x2+18k(y0−kx0)x+9[(y0−kx0)2−4]=0，
∴ Δ=[18k(y0−kx0)]2−4(9k2+4)×9[(y0−kx0)2−4]=0，
整理得(x02−9)k2−2x0y0k+(y02−4)=0，
∴ k1⋅k2=y02−4x02−9=−1，
∴ x02+y02=13．
把点(±3, ±2)代入亦成立，
∴ 点P的轨迹方程为：x2+y2=13．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线的轨迹问题
圆锥曲线的切线和法线
【解析】
（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．
（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△＝0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1⋅k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程．
【解答】
解：(1)依题意知a2−b2=5，ca=5a=53，
解得a=3，b=2，
∴ 椭圆C的标准方程为x29+y24=1．
(2)①当两条切线中有一条斜率不存在时，
切点分别位于椭圆长轴与短轴的端点处，
此时P点的坐标为(±3, ±2)，符合题意；
②当两条切线斜率均存在时，
设过点P(x0, y0)的切线为y=k(x−x0)+y0，
则x29+y24=x29+[k(x−x0)+y0]24=1，
4x2+9[k2(x−x0)2+y02+2ky0(x−x0)]=36，
4x2+9[k2x2+k2x02−2k2x0x+y02+2ky0x−2ky0x0]=36，
整理得(9k2+4)x2+18k(y0−kx0)x+9[(y0−kx0)2−4]=0，
∴ Δ=[18k(y0−kx0)]2−4(9k2+4)×9[(y0−kx0)2−4]=0，
整理得(x02−9)k2−2x0y0k+(y02−4)=0，
∴ k1⋅k2=y02−4x02−9=−1，
∴ x02+y02=13．
把点(±3, ±2)代入亦成立，
∴ 点P的轨迹方程为：x2+y2=13．